Polynésie Juin 2015

BAC ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce bac est disponible ici.

Exercice 1

$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} g'(x) &= 2 \times 3\e^{3x} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{x} \\\\
&=6\e^{3x} + \dfrac{1}{2x}
\end{align*}$
Réponse c
$\quad$
La tangente $T$ au point d’abscisse $0$ traverse la courbe en ce point. Le point d’abscisse $0$ est donc un point d’inflexion pour $C$.
Par conséquent la fonction $f$ est concave sur $[-2;0]$ et convexe sur $[0;4]$.
Réponse d.
$\quad$
$n$ étant un nombre entier, les deux premières réponses sont impossibles.
$1,9^7 \approx 89,4$ et $1,9^8 \approx 169,8$.
Par conséquent l’algorithme affiche $8$.
Réponse c
$\quad$
$X$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;5]$.
Par conséquent $E(X) = \dfrac{5 + 0}{2} = \dfrac{5}{2}$.
Réponse c
$\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

Partie A Etude de l’efficacité du traitement

a. $n 100 \ge 30$, $f = 0,18$
$nf = 18 \ge 5$ et $n(1-f) = 82 \ge 5$. Les conditions sont réunies pour fournir l’intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$.
$$\begin{align*} I_{100}&= \left[0,18 – \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,18+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right] \\\\
& =[0,08;0,28]
\end{align*}$$
b. $n=100 \ge 30$, $f=0,32$
$nf=32 \ge 5$ et $n(1-f) = 68 \ge 5$. Les conditions sont réunies pour fournir l’intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$.
$$\begin{align*} J_{100}&= \left[0,32 – \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,32+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right] \\\\
& =[0,22;0,42]
\end{align*}$$
Les deux intervalles n’étant pas disjoints, on ne peut pas dire si le traitement est efficace.

Partie B Qualité de la prodction

$\quad$
$\quad$
a. On veut calculer $p(T \cap A) = 0,25 \times 0,12 = 0,03$
$\quad$
b. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(A) &= p(A \cap T) + p\left(A \cap \overline{T}\right) \\\\
&= 0,25 \times 0,12 + 0,75 \times 0,3 \\\\
&= 0,255
\end{align*}$
$\quad$
On calcule pour cela :
$\begin{align*} p_A(T) & = \dfrac{p(A \cap T)}{p(A)} \\\\
& = \dfrac{0,03}{0,255} \\\\
& \approx 0,12
\end{align*}$
On ne peut donc pas affirmer qu’il y a une chance sur quatre pour qu’il provienne de la partie du champ traitée.
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fruits abîmés.
On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que deux issues : $A$ et $\overline{A}$. De plus $p(A)=0,255$.
Par conséquent $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(5;0,255)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(X \le 1) &=P(X = 0) + P(X= 1) \\\\
&= (1-0,255)^5 + \displaystyle \binom{5}{1}0,255 \times (1-0,255)^4 \\\\
& \approx 0,622
\end{align*}$
$\quad$

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

a.
$\begin{align*} P&=H \times C \\\\
& = \begin{pmatrix} 8&10&14 \\6&6&10 \\12&10&18 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 25\\20\\15\end{pmatrix} \\\\
&= \begin{pmatrix} 8 \times 25 + 10 \times 20 + 14 \times 15 \\6 \times 25 + 6 \times 20 + 10 \times 15 \\ 12 \times 25 + 10 \times 20 + 18 \times 15 \end{pmatrix} \\\\
&=\begin{pmatrix} 610\\420\\770\end{pmatrix}
\end{align*}$
$\quad$
b. Les coefficients de la matrice $P$ correspondent aux coûts de production des différents modèles de planches de surf.
$\quad$
a. On veut donc que :
$\begin{cases} 8a+10b+14c=500 \\
6a+6b+10c=350 \\
12a+10b+18c=650
\end{cases}$
Ainsi les réels $a$, $b$ et $c$ doivent être solutions du système $H \times \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 500\\350\\650 \end{pmatrix}$.
$\quad$
b. On a ainsi $\begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} =H^{-1} \times \begin{pmatrix} 500\\350\\650 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25 \\12,5 \\12,5 \end{pmatrix}$.
Donc $a=25$, $b= 12,5$ et$ c=12,5$
$\quad$

Partie B

a.
$\quad$
b. On a donc $M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3\\0,5&0,5\end{pmatrix}$.
$\quad$
a. Si $n=0$, aucune étape n’a été faite. Il est donc $22$ heures et toutes les lumières sont allumées.
Par conséquent $a_0 = 1$ et $b_0=0$.
$\quad$
Puisque $P_{n+1} = P_n \times M$ alors $P_n = P_0 \times M^n $.
$\quad$
b. $P_3 = M^3 \times P_0 = \begin{pmatrix} 0,628 & 0,372\end{pmatrix}$
La matrice $P_3$ correspond à l’étape 3. Il est donc $22$ heures et $30$ secondes.
la probabilité qu’un spot soit éteint à $22$ heures et $30$ secondes est donc de $0,372$.
$\quad$
L’état stable $\begin{pmatrix} a&b \end{pmatrix}$ vérifie :
$\begin{align*} \begin{cases} a+b=1 \\\\a=0,7a+0,5b \\\\b=0,3a+0,5b \end{cases} &\ssi \begin{cases} a+b=1 \\\\0,3a=0,5b \\\\0,5b = 0,3a \end{cases} \\\\
& \ssi \begin{cases} a+b= 1 \\\\0,6a = b \end{cases} \\\\
& \ssi \begin{cases} b = 0,6a \\\\1,6a = 1 \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} a=0,625 \\\\b= 0,375 \end{cases}
\end{align*}$
L’état stable est donc $\begin{pmatrix} 0,625 & 0,375 \end{pmatrix}$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A

Suite à l’évaporation du produit, la concentration restante du produit chaque semaine $0,9C_n$. La concentration augmente ensuite de $10 \text{ mg.l}^{-1}$.
Donc $C_{n+1} = 0,9 \times C_n + 10$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} V_{n+1} &= C_{n+1} – 100 \\\\
&= 0,9C_n + 10 – 100 \\\\
&= 0,9C_n – 90 \\\\
&= 0,9C_n – 0,9 \times 100 \\\\
&= 0,9\left(C_n – 100\right) \\\\
&= 0,9V_n
\end{align*}$.
La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $C_0 = 160 – 100 = 60$.
$\quad$
b. On a ainsi $V_n = 60 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
c. $C_n = V_n + 100 = 100 + 60 \times 0,9^n$
$\quad$
a. $0 < 0,9 < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} V_n = 100$.
Au bout d’un grand nombre de semaines, la concentration du produit se stabilisera à $100 \text{ mg.l}^{-1}$.
$\quad$
b. On veut résoudre :
$\begin{align*} V_n \le 140 & \ssi 100 + 60 \times 0,9^n \le 140 \\\\
& \ssi 60 \times 0,9^n \le 40 \\\\
& \ssi 0,9 ^n \le \dfrac{2}{3} \\\\
& \ssi n \ln 0,9 \le \ln \dfrac{2}{3} \\\\
& \ssi n \ge \dfrac{ \ln \dfrac{2}{3}}{\ln 0,9} \\\\
& \ssi n \ge 4
\end{align*}$
La concentration devient inférieure à $140 \text{mg.l}^{-1}$ au bout de $4$ semaines.
$\quad$
On voulait intervenir après $6$ semaines. Ce réglage ne convient donc pas.
$\quad$

Partie B

On a ainsi $C_{n+1} = 0,9 \times C_n + 12$
Par conséquent $C_0 = 160$, $C_1 = 156$ , $C_2 = 152,4$ , $C_3 = 149,16$, $C_4 \approx 146,24$, $C_5 \approx 143,62$ et $C_6 \approx 142,26$.
Au bout de $6$ semaines la concentration est conforme aux attentes.
Ce réglage vérifie donc la première condition.

$\quad$

Mais en faisant en sorte, par exemple, que la concentration augmente de $11,8 \text{ mg.l}^{-1}$ chaque semaine, on obtient $C_6 \approx 140,32$. Cela vérifie toujours la première condition mais on a consommé moins de produit.

Le réglage proposé n’est donc pas convenable.

$\quad$

Exercice 4

Partie A

En 2002, environ $50~000$ passagers avaient choisi la formule Privilège.
$\quad$
On peut estimer un écart d’environ $25~000$ passagers en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège.
$\quad$
L’abscisse du point d’intersection nous indique au bout de combien d’années, après 2000, les deux formules auront été choisies à parts égales par les passagers.
Environ $40~000$ passagers auront choisi la formule Avantage et autant auront choisi la formule Privilège.
$\quad$
Le nombre total de passager ayant choisi la formule durant la période entre 2007 et 2015 correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $C_p$ et les droites d’équation $x=7$ et $x=15$.
Cette aire est comprise entre celle d’un rectangle de hauteur $30~000$ et de longueur $8$ soit $240~000$ et celle d’un rectangle de hauteur $40~000$ et de longueur $8$ soit $320~000$.
Le nombre total de passage sur cette période est donc compris entre $240~000$ et $320~000$.
$\quad$

Partie B

a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[1;16]$.
Sur $[0;16]$, $x+1 > 0$ donc $E'(x) > 0 $ comme somme de nombres strictement positifs.
b. $\quad$

$\quad$
$E(16) =2\ln(17) + 3 + 3\e^{-3,2}$
$\quad$
a. La fonction $E$ est continue et strictement croissante sur $[0;16]$.
$E(0) = -6 <0$ et $E(16) > 0$.
Donc $0$ appartient à l’intervalle image de $[0;16]$.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $E(x) = 0$ possède une unique solution.
La calculatrice on obtient que $\alpha \approx 6,0$.
$\quad$
b. La fonction $E$ étant strictement croissante sur $[0;16]$, on obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$
De 2000 à 2006, la formule Privilège sera adoptée par plus de passagers que la formule Avantage.
En 2006, autant de passagers choisiront les deux formules.
De 2006 à 2016, la formule Avantage sera adoptée par plus de passagers que la formule Privilège.