Exercice 1

1. a. On a $I(0,5;0;0)$ et $J(1;1;0,5)$.
   Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+0,5}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0,5+0}{2}\right)$ soit $(0,75;0,5;0,25)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix}1-0,5\\1-0\\0,5-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix}$ et $\vect{NF}\begin{pmatrix}1-0,75\\0-0,5\\1-0,25\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   c. Par conséquent $\vect{IJ}.\vect{NF}=0,125-0,5+0,375=0$.
   $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont bien orthogonaux.
   $\quad$
   d. 
   $\begin{align*} IJ&=\sqrt{0,5^2+1^2+0,5^2} \\
   &=\sqrt{0,25+1+0,25} \\
   &=\sqrt{1,5}\end{align*}$
   Par conséquent l’aire du triangle $FIJ$ est égale à
   $\begin{align*} A_{FIJ}&=\dfrac{IJ\times NF}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{1,5}\times \dfrac{\sqrt{14}}{4}}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{1,5\times 14}}{8} \\
   &=\dfrac{\sqrt{21}}{8}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont deux vecteurs non colinéaires (car orthogonaux) du plan $(FIJ)$ car $N$ est le milieu de $[IJ]$.
   Or $\vec{u}.\vect{IJ}=2-1-1=0$ et $\vec{u}.\vect{NF}=2-0,5-1,5=0$
   Ainsi $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(FIJ)$.
   C’est donc un vecteur normal à ce plan.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne de ce plan est par conséquent de la forme $4x-y-2z+d=0$.
   Or $I(0,5;0;0)$ appartient à ce plan.
   Ainsi $2-0-0+d=0 \ssi d=-2$.
   Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $4x-y-2z-2=0$.
   $\quad$
   c. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ et $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$.
   Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases}$ pour tout $t\in \R$.
   $\quad$
   d. On appelle $H’$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(FIJ)$.
   Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases}4x-y-2z-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} &\ssi \begin{cases} 16t-1+t-2+4t-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 21t=5\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{5}{21}\\[3mm]x=\dfrac{20}{21}\\[3mm]y=\dfrac{16}{21}\\[3mm]z=\dfrac{11}{21}\end{cases}\end{align*}$
   $H’$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{20}{21};\dfrac{16}{21};\dfrac{11}{21}\right)$.
   Ainsi $\vect{HH’}\begin{pmatrix}\dfrac{20}{21}\\[3mm]-\dfrac{5}{21}\\[3mm]-\dfrac{10}{21}\end{pmatrix}$
   Par conséquent la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à :
   $\begin{align*} HH’&=\sqrt{\left(\dfrac{20}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{21}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{400}{21^2}+\dfrac{25}{21^2}+\dfrac{100}{21^2}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{525}{21^2}} \\
   &=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}\end{align*}$
   $\quad$
   e. Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{A_{FIJ}\times HH’}{3}\\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21}}{3} \\
   &=\dfrac{\dfrac{5\times 21}{8\times 21}}{3} \\
   &=\dfrac{5}{24} ~\text{u.v}\end{align*}$
   $\quad$

 

 

Exercice 2

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n=2}$

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} P\left(D_1\cap D_2\right)&=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4} \\
   &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
   La probabilité que le robot de déplace deux fois à droite est égale à $\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$
3. $\left(D_1,\conj{D_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p_2&=P\left(D_2\right) \\
   &=P\left(D_1\cap D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\right) \\
   &=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
   &=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3} \\
   &=\dfrac{7}{12}\end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{D_2}\left(D_1\right)&=\dfrac{P\left(D_1\cap D_2\right)}{P\left(D_2\right)} \\
   &=\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{7}{12}} \\
   &=\dfrac{3}{7}\end{align*}$.
   La probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement sachant qu’il s’est déplacé à droite lors du deuxième déplacement est égale à $\dfrac{3}{7}$.
   $\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{p_n}$

1. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\left(D_n,\conj{D_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(D_{n+1}\right) \\
   &=P\left(D_n\cap D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\cap D_{n+1}\right) \\
   &=P\left(D_n\right)P_{D_n}\left(D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\right)P_{\conj{D_n}}\left(D_{n+1}\right) \\
   &=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right) \\
   &=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n \\
   &=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $R(n):~p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$
   Initialisation : $p_1=\dfrac{1}{3}$ et $p_2=\dfrac{7}{12}$
   Or $p_1=\dfrac{4}{12}<p_2$ et $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}>p_2$.
   Donc $p_1\pp p_2<\dfrac{2}{3}$ et $R(1)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}&\ssi \dfrac{1}{4}p_n\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}<\dfrac{1}{6} \\
   &\ssi \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{4}{6} \\
   &\ssi p_{n+1}\pp p_{n+2}<\dfrac{2}{3}\end{align*}$
   Et $R(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(p_n\right)$ est donc croissante et majorée par $\dfrac{2}{3}$. Par conséquent, d’après le théorème de la limite monotone, elle converge.
   $\quad$
3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{3} \\
   &=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3} \\
   &=\dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6} \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)\\
   &=\dfrac{1}{4}u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   Ainsi $p_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   $-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=\dfrac{2}{3}$.
   Sur le long terme, le robot se déplace à droite $2$ fois sur $3$.
   $\quad$

Partie C

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de déplacement vers la droite.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{3}{4}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{4}$.
Le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements si, et seulement si, il s’est déplacé $5$ fois vers la droite et donc $5$ fois vers la gauche.

$\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{10}{5} \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \\
&\approx 0,058\end{align*}$

La probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est environ égale à $0,058$.
$\quad$

 

 

 

Exercice 3

Partie A

1. On a :
   $\begin{align*} f\left(\ln(5)\right)&=\dfrac{6}{1+5\e^{-\ln(5)}} \\
   &=\dfrac{6}{1+\dfrac{5}{5}}\\
   &=\dfrac{6}{2}\\
   &=3\end{align*}$
   Le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5);3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{6}{1}=6$.
   La droite d’équation $y=6$ est donc une asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.
   $\quad$
3. a. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{6\times \left(-5\e^{-x}\right)}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
   &=\dfrac{30\e^{-x}}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
   De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
4. a. La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $5\e^{-x}-1$.
   Or $5\e^{-x}-1=0\ssi 5\e^{-x}=1\ssi \e{-x}=\dfrac{1}{5} \ssi -x=\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x=\ln(5)$
   et $5\e^{-x}-1>0\ssi 5\e^{-x}>1\ssi \e{-x}>\dfrac{1}{5} \ssi -x>\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x<\ln(5)$.
   La fonction $f$ est donc convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$ et concave sur $\left[\ln(5);+\infty\right[$.
   La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $\ln(5)$. Par conséquent le point $A$ est le point d’inflexion de la courbe $C_f$.
   $\quad$
   b. $f'(0)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$ et $f(0)=\dfrac{6}{6}=1$.
   Une équation de la tangente $d$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=\dfrac{5}{6}x+1$.
   La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$. La courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle, en particulier $d$.
   Par conséquent, pour tout $x\in \left]-\infty;\ln(5)\right]$, on a $f(x)\pg \dfrac{5}{6}x+1$.
   $\quad$
5. a. $F_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} F_k'(x)&=\dfrac{k\e^x}{\e^x+5} \\
   &=\dfrac{k}{1+5\e^{-x}}\end{align*}$
   $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ on a $F_k'(x)=f(x)$.
   Donc, par identification, $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, $k=6$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et positive sur $\R$.
   Par conséquent l’aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=\ln(5)$ est égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{\ln(5)} f(x)\dx \\
   &=F_{6}\left(\ln(5)\right)-F_{6}(0) \\
   &=6\ln\left(\e^{\ln(5)}+5\right)-6\ln(1+5) \\
   &=6\ln(10)-6\ln(6) \\
   &=6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right) \\
   &=6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f'(x)\right)^2 &=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}\right)^2 \\
   &=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
   &=\dfrac{6+30\e^{-x}-6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
   &=f'(x)\end{align*}$
   $f$ est donc une solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. L’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=\dfrac{1}{6}$.
   L’ensemble des fonctions solution de cette équation différentielle est donc $\acco{x\mapsto C\e^{-x}-\dfrac{1}{6},~ \text{pour tout }C\in \R}$.
   $\quad$
3. a. $g$ ne s’annule pas sur $R$ donc $h$ ne s’annule pas non plus sur $\R$. Par hypothèses, $g$ et $h$ sont dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\dfrac{1}{h(x)}$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-h'(x)}{h^2(x)} \\
   &=\dfrac{h(x)-\dfrac{1}{6}}{h^2(x)} \qquad h\text{~est solution de } y’=y+\dfrac{1}{6} \\
   &=\dfrac{1}{h(x)}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{h^2(x)} \\
   &=g(x)-\dfrac{1}{6}g^2(x)\end{align*}$
   Ainsi, si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’=y-\dfrac{1}{6}y^2$.
   $\quad$
   b. Soit $m$ un réel positif.
   La fonction $g_m$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a alors $g’_m(x)=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2}$.
   De plus
   $\begin{align*} g_m(x)-\dfrac{1}{6}g_m^2(x)&=\dfrac{6}{1+6m\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{36}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
   &=\dfrac{6+36m\e^{-x}-6}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
   &=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
   &=g’_m(x)\end{align*}$
   Pour tout réel $m$ positif, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également choisir un réel $C$ et utiliser l’ensemble solution de la question B.2. pour obtenir une fonction $h$ et en déduire l’expression de $g$.
   $\quad$

 

 

Exercice 4

1. L’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie le plus petit entier naturel tel que $u_n\pg 100$ où $\left(u_n\right)$ est la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,05u_n+3$.
   Voici les $19$ valeurs approchées des premiers termes de la suites :
   $$\begin{array}{|c|c|}
   \hline0&7\\
   \hline
   1&10.35\\
   \hline
   2&13.8675\\
   \hline
   3&17.560875\\
   \hline
   4&21.43891875\\
   \hline
   5&25.5108646875\\
   \hline
   6&29.786407921875\\
   \hline
   7&34.275728317968756\\
   \hline
   8&38.989514733867196\\
   \hline
   9&43.938990470560555\\
   \hline
   10&49.13593999408858\\
   \hline
   11&54.59273699379301\\
   \hline
   12&60.322373843482666\\
   \hline
   13&66.3384925356568\\
   \hline14&72.65541716243965\\
   \hline
   15&79.28818802056163\\
   \hline
   16&86.25259742158971\\
   \hline
   17&93.5652272926692\\
   \hline18&101.24348865730268\\
   \hline\end{array}$$
   $18$ est donc la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 100$.
   Affirmation 1 vraie
   $\quad$
2. $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{1}{5^n}$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=\dfrac{1-\dfrac{1}{5^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{5}}$
   Or $-1<\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{5^{n+1}}=0$.
   Par conséquent $\left(S_n\right)$ converge vers :
   $\begin{align*} \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{5}}&=\dfrac{1}{~\dfrac{4}{5}~} \\
   &=\dfrac{5}{4}\end{align*}$
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. Il existe $\dbinom{30}{2}$ binômes de délégués différents.
   Or
   $\begin{align*} \dbinom{30}{2}&=\dfrac{30\times 29}{2} \\
   &=435\\
   &\neq 870\end{align*}$
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
4. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\left(\ln(x)\right)^2+2x\times \dfrac{\ln(x)}{x} \\
   &=\left(\ln(x)\right)^2+2\ln(x) \\
   &=\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)
   \end{align*}$
   Pour tout réel $x\pg 1$ on a $\ln(x)\pg 0$ (et ne s’annule qu’en $1$) et $\ln(x)+2\pg 2$.
   La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
   Or $f(1)=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ car $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\ln(x)\right)^2=+\infty$
   De plus $1\in [0;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$
5. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x&\phantom{123}&u'(x)=1\\
   v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
   Par conséquent
   $\begin{align*} \int_0^1 x\e^{-x}\dx&=\Big[-x\e^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1-\e^{-x}\dx \\
   &=-\e^{-1}+\int_0^1\e^{-x}\dx \\
   &=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
   &=-\e^{-1}-\e^{-1}+1\\
   &=-2\e^{-1}+1 \\
   &=\e^{-1}\left(-2+\e\right) \\
   &=\dfrac{\e-2}{\e}\end{align*}$
   Affirmation 5 vraie
   $\quad$

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.
Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.

L’objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$.

1. a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.
   $\quad$
   b. Justifier que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ ont pour coordonnées respectives :$$\vect{IJ} \begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vect{NF} \begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$$
   $\quad$
   c. Démontrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont orthogonaux.
   $\quad$
   On admet que $NF = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
   $\quad$
   d. En déduire que l’aire du triangle $FIJ$ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
   $\quad$
2. On considère le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
   a. Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.
   $\quad$
   b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $4x-y-2z-2 = 0$.
   $\quad$
   c. On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
   $\quad$
   d. Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
   $\quad$
   e. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
   Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

La partie $C$ est indépendante des parties A et B.

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d’un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.
Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac{1}{3}$.
S’il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{3}{4}$.
S’il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n \pg 1$, on note :

• $D_n$ l’événement : « le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement »;
• $\conj{D_n}$ l’évènement contraire de $D_n$;
• $p_n$ la probabilité de l’événement $D_n$.

On a donc $p_1 = \dfrac{1}{3}$.

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n = 2}$.

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.
   $\quad$
3. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{12}$.
   $\quad$
4. Le robot s’est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ?
   $\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{(p_n)}$

On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d’un nombre important d’étapes.

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a :
   $$p_{n+1} = \dfrac{1}{4} p_n + \dfrac{1}{2}$$
   On pourra s’aider d’un arbre.
   $\quad$
2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $p_n \pp p_{n+1} < \dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
   b. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
   $\quad$
3. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \pg 1$, par $u_n = p_n-\dfrac{2}{3}$.
   a. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie C

Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d’un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe égale à $\dfrac{3}{4}$.
Quelle est la probabilité qu’il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$$
On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$.

1. Montrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5) ; 3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
   $\quad$
2. Montrer que la droite d’équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $C_f$.
   $\quad$
3. a. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{(1 + 5\e^{-x})^2}$$
   $\quad$
   b. En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
4. On admet que :
   $\bullet$ $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f”$ sa dérivée seconde ;
   $\bullet$ pour tout réel $x$,$$f\dsec(x) = \dfrac{30\e^{-x}(5\e^{-x} – 1)}{(1 + 5\e^{-x})^3}$$
   a. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion.
   $\quad$
   b. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]-\infty ; \ln(5)\right]$, on a : $f(x) \pg \dfrac{5}{6}x + 1$.
   $\quad$
5. On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln (\e^x + 5)$, où $k$ est une constante réelle.
   a. Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
   b. En déduire que l’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = \ln(5)$ est égale à $6 \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.
   $\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est d’étudier l’équation différentielle suivante : $$(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$$
On rappelle qu’une solution de l’équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a : $$u'(x) = u(x)-\dfrac{1}{6}u(x)^2$$

1. Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. Résoudre l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
3. On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s’annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $\R$. On note $g’$ et $h’$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
   a. Montrer que si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définie sur $\R$ par : $$g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\e^{-x}}$$
   Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.
   
   Python

   def seuil(S): n = 0 u = 7 while u < S: n = n + 1 u = 1.05 * u + 3 return (n)

   1 2 3 4 5 6 7

   def seuil(S):     n = 0     u = 7     while u < S:         n = n + 1         u = 1.05 * u + 3     return (n)

   
   Affirmation 1 : l’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie la valeur $\texttt{18}$.
   $\quad$
2. Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $S_n = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \cdots + \dfrac{1}{5^n}$.
   Affirmation 2 : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac{5}{4}$.
   $\quad$
3. Affirmation 3 : Dans une classe composée de $30$ élèves, on peut former $870$ binômes de délégués différents.
   $\quad$
4. On considère la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = x\left(\ln (x)\right)^2$.
   Affirmation 4 : l’équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
   $\quad$
5. Affirmation 5 : $$\ds \int_{0}^{1} x\e^{-x} dx = \dfrac{\e-2}{\e}$$
   $\quad$

$\quad$