Bac S – Amérique du Sud – Novembre 2015

Amérique du Sud – Novembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_u$ passe par $A(1;0)$ par conséquent $u(1)=0$.
    Elle passe également pas $B(4;0)$ donc $u(4)=0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} u(x)=a$.
    La droite d’équation $y=1$ étant asymptote à la courbe $\mathscr{C}_u$ cela signifie donc que $a=1$.
    $\quad$
  3. Ainsi $u(x)=1+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}$.
    Puisque $u(1)=0$ on obtient $1+b+c=0$ soit $b+c=-1 \quad (1)$.
    Puisque $u(4)=0$ on obtient $1+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{16}=0$ soit $16+4b+c=0$ ou encore $4b+c=-16 \quad (2)$.
    On fait $(2)-(1)$ : $3b=-15$ soit $b=-5$
    Ainsi $-5+c=-1$ soit $c=4$.
    On vérifie dans l’équation $2$ $4\times (-5)+4=-20+4=-16$
    $\quad$
    Par conséquent $u(x)=1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2-5x+4}{x^2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f(x)=\dfrac{x^2-5x\ln x-4}{x}$.
    $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln x=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+}x^2-5x\ln x-4 = -4$
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} x=0^+$
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. $f(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right)$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty}  \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}  \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{4}{x^2}\right) =1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=1-5\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^2} = u(x)$.
    Le signe de $u(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    bacS -amerique du sud-nov2015-ex1

Partie C

  1. L’aire hachurée correspond à l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_u$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=4$.
    La fonction $-u$ est continue et positive sur $[1;4]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_1^4-u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
    &=-\left(f(4)-f(1)\right) \\\\
    &=-(3-5\ln 4 +3) \\\\
    &=5\ln 4-6
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire $\mathscr{A}_{\lambda}$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe $\mathscr{C}_u$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=4$ et $x=\lambda$.
    La fonction $u$ est continue et positive sur $[4;\lambda]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{\lambda}&=\int_4^{\lambda}u(x)\mathrm{d}x\phantom{\dfrac{1}{4}} \\\\
    &=f(\lambda)-f(4) \\\\
    &=f(\lambda)-\left(3-5\ln 4\right) \\\\
    &=f(\lambda)-\dfrac{4}{\lambda}-3+5\ln 4
    \end{align*}$
    On veut donc résoudre l’équation $f(\lambda)-3+5\ln 4=5\ln 4 -6$
    soit $f(\lambda)=-3$.
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[4;+\infty[$.
    De plus $f(4)=3-5\ln 4 <-3$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$
    Par conséquent $-3\in [f(4);+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(\lambda)=-3$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Il existe donc une valeur de $\lambda$ telle que $\mathscr{A}=\mathscr{A}_{\lambda}$
    $\quad$

Exercice 2

  1. On a $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
    Ainsi $\overrightarrow{AC}.\vec{u}=4+0-4=0$.
    Les droites $\Delta$ et $(AC)$ sont donc orthogonales.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  2. $\overrightarrow{AB}(-4;3;-7)$ et $\overrightarrow{AC}(1;0;-2)$
    $\dfrac{1}{-4} \neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    Regardons si les coordonnées des points $A, B$ et $C$ vérifient l’équation $2x+5y+z-5=0$.
    $2\times 3+5\times (-1)+4-5 = 6-5+4-5=0 \checkmark$
    $2\times (-1)+5\times 2-3-5=-2+10-3-5=0 \checkmark$
    $2\times 4+5\times (-1)+2-5=8-5+2-5=0 \checkmark$
    $2x+5y+z-5=0$ est donc une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    L’affirmation est vraie.
    $\quad$
  3. Regardons si les coordonnées données vérifient l’équation du plan $P$.
    $2(1+s-2s’)-3(1-2s+s’)+2(1-4s+2s’)-7$ $=2+2s-4s’-3+6s-3s’+2-8s+4s’-7$ $ = -6-3s’$.
    Or $-6-3s’$ n’est pas toujours égal à $0$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(2;-3;2)$.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(4;-1;2)$.
    $\vec{n}.\vec{u}=8+3+4=15 \neq 0$
    La droite $\Delta$ ne peut donc pas appartenir à un plan parallèle à $P$.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$

Exercice 3

Partie A

  1. a.
    bacS -amerique du sud-nov2015-ex3

    b.
    $P(M\cap T) = 0,98p$ $\quad$ $P\left(\overline{M} \cap T\right) = 0,01(1-p)$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T) &= P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T\right) \\\\
    &= 0,98p + 0,01(1-p) \\\\
    &=0,98p +0,01-0,01p\\\\
    &=0,97p+0,01
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer
    $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}$ $ = \dfrac{0,98p}{0,97p+0,01} = \dfrac{98p}{97p+1}$
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$
    $f'(p)=\dfrac{98(97p+1)-97\times 98p}{(97p+1)^2} = \dfrac{98}{(97p+1)^2} >0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(p)> 0,95 &\ssi \dfrac{98p}{97p+1} > 0,95 \\\\
    &\ssi 98p > 0,95(97p+1) \\\\
    &\ssi 98p>92,15p+0,95 \\\\
    &\ssi 5,85p>0,95 \\\\
    &\ssi p>\dfrac{0,95}{5,85} \\\\
    &\ssi p>\dfrac{19}{117}
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. Les $1~000$ tirages sont indépendants, aléatoires avec remises et présentent chacun deux issues : $M$ et $\overline{M}$.
    De plus $P(M)=0,15$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1~000$ et $p=0,15$.
    $\quad$
    $\quad$
    b. $n=1~000$ et $p=0,15$
    $n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $np=150 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-p)=850 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est alors :
    $\begin{align*} I_{1~000} &= \left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}};0,15+ 1,96\sqrt{\dfrac{0,15 \times 0,85}{1~000}}\right] \\\\
    &\approx [0,127;0,173]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{197}{1~000} = 0,197 \notin I_{1~000}$
    On peut donc remettre en cause le chiffre publié par l’institut de veille sanitaire.
    $\quad$
  2. $n=1~000 \ge 30 \checkmark$ $\quad$ $nf=197 \ge 5 \checkmark$ $\quad$ $n(1-f)=803 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de confiance au seuil de confiance de $95\%$ est :
    $\begin{align*} J_{1~000}&=\left[0,197-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,197+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\\\
    &\approx [0,165;0,229]
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après le graphique, on peut conjecturer que $\mu \approx 120$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    Bac S-amérique du sud-nov2015-ex2
  2. a. $T’$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p(T<110)=0,18 &\ssi p(T-\mu<110-\mu)=0,18 \\\\
    &\ssi p\left(\dfrac{T-\mu}{10}<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18 \\\\
    &\ssi p\left(T'<\dfrac{110-\mu}{10}\right) = 0,18
    \end{align*}$
    En utilisant la calculatrice, on trouve que $\dfrac{110-\mu}{10}\approx -0,915$ soit $\mu \approx 119$.
    Cette valeur est très proche de celle conjecturée à la question 1. $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. On a $u_n+v_n=120$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. En $B3$ on peut saisir : $=B2*0,9+C2*0,05$ et en $C3$ : $=B2*0,1+C2*0,95$
    $\quad$
  3. On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et que sur le long terme, il y aura $40$ millions de ruraux et $80$ millions de citadins.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Initialisation : Si $n=0$, $u_0=90$ et $u_1=82,5$
    On a bien $u_1<u_0$. La suite est décroissante.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_{n+1} \le u_n$ soit $u_{n+1}-u_n \le 0$
    $\begin{align*} u_{n+2}-u_{n+1} &= 0,85u_{n+1}+6-\left(0,85u_n+6\right) \\\\
    &=0,85u_{n+1}-0,85u_n \\\\
    &=0,85\left(u_{n+1}-u_n\right)\\\\
    &\le 0
    \end{align*}$
    Par conséquent la propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $u_{n+1} \le u_n$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} w_{n+1} &=u_{n+1}-40 \\\\
    &=0,85u_n+6-40 \\\\
    &=0,85u_n-34\\\\
    &=0,85u_n-0,85\times 40\\\\
    &=0,85\left(u_n-40\right) \\\\
    &=0,85w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=u_0-40=50$.
    $\quad$
    b. On a donc $w_n=50\times 0,85^n$.
    Or $u_n=w_n+40$ donc $u_n = 40+50\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. Puisque $u_n+v_n=120$ on a alors $v_n=120-u_n = 80-50\times 0,85^n$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante et la suite $\left(v_n\right)$, du fait que la population est constante, est croissante.
    $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=40$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=80$.
    Les conjectures faites à la partie A sont donc validées.
    $\quad$
  4. a. La boucle s’arrête quand $u \le 120-u$ soit $u<v$.
    Cet algorithme détermine donc le nombre d’années nécessaires pour que la population rurale soit inférieure à la population citadine
    $\quad$
    b. D’après la feuille de calcul, l’algorithme affiche $6$
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Chaque année $90\%$ des ruraux restent à la campagne et $95\%$ des citadins restent à la ville.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $R_{n+1}=0,9R_n+0,05C_n$ et $C_{n+1}=0,10R_n+0,95C_n$.
    $MU_{n}=\begin{pmatrix} 0,9R_n+0,05C_n\\\\0,1R_n+0,95C_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    $\quad$
    b. $U_1=\begin{pmatrix} 0,9\times 90+0,05\times 30\\\\0,1 \times 90 + 0,95 \times 30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 82,5\\\\37,5\end{pmatrix}$
    $\quad$
    En 2011, il y avait donc $82,5$ millions de ruraux et $37,5$ millions de citadins.
    $\quad$
  2. Puisque $U_{n+1}=MU_n$ alors on a $U_n=M^nU_0$.
    $\quad$
  3. $\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} = I_2$
    où $I_2$ est la matrice identité d’ordre $2$
    La matrice $P$ est donc inversible et son inverse est la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. a. A l’aide de la calculatrice, on trouve $\Delta = \begin{pmatrix}1&0&\\0&0,85\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\Delta=P^{-1}MP \ssi P\Delta=MP \ssi P\Delta P^{-1}=M$
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$, d’après la question précédente, $M=P\Delta P^{-1}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
    $M^{n+1}=M^nM=P \Delta^n P^{-1}P\Delta P^{-1} = P\Delta^n \Delta P^{-1} = P\Delta^{n+1} P^{-1}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=P\Delta^n P^{-1}$.
    $\quad$
  5. a. On a $U_n=M^nU_0$ donc $U_n=\begin{pmatrix} 30+60\times 0,85^n+10-10\times 0,85^n\\\\60-60\times 0,85^n+20+10\times 0,85^n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40+50\times 0,85^n\\80-50\times 0,85^n\end{pmatrix}$
    On a donc $R_n=50\times 0,85^n+40$ et $C_n=80-50\times 0,85^n$.
    $\quad$
    b. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} R_n=50$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} C_n=80$.
    $\quad$
  6. a.
    Entrée :
    $\quad$ $n, R$ et $C$ sont des nombres
    Initialisation :
    $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $R$ prend la valeur $90$
    $\quad$ $C$ prend la valeur $30$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $R\ge C$ faire
    $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
    $\qquad$ $R$ prend la valeur $50\times 0,85^n+40$
    $\qquad$ $C$ prend la valeur $120-R$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $n$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} 50\times 0,85^n+40<80-50\times 0,85^n &\ssi 100\times 0,85^n<40 \\\\
    &\ssi 0,85^n < 0,4 \\\\
    &\ssi n \ln 0,85 < \ln 0,4 \\\\
    &\ssi n > \dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,85}\\\\
    & \ssi n>6
    \end{align*}$
    L’algorithme affichera donc $6$.