Exercice 1

Partie A

1. a.
   
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p\left(\overline{D}\right) &=p\left(A \cap \overline{D}\right)+p\left(B \cap \overline{D}\right) \\
   &=0,65\times 0,92+0,35\times 0,95 \\
   &=0,930~5
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{\overline{D}}(A) &=\dfrac{p\left(A \cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)} \\
   &=\dfrac{0,65 \times 0,92}{0,930~5} \\
   &=\dfrac{0,598}{0,930~5} \\
   &\approx 0,642~7
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’ampoules sans défaut.
   On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants, identiques et possédant chacun exactement deux issues : $D$ et $\overline{D}$. On sait que $\left(\overline{D}\right)=0,930~5$.
   $n=10$ et $p=0,930~5$.
   Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,92$.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X\geqslant 9) &=P(X=9)+P(X = 10) \\
   &=\displaystyle \binom{10}{9}\times 0,92^9\times 0,08+\binom{10}{10} \times 0,92^{10}
   &\approx 0,812~1
   \end{align*}$
   Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(X \pg 9) = 1-P(X\pp 8)$.
   $\quad$

Partie B

1. a.
   $\begin{align*} P(T \geqslant a) &= 1-P(X\leqslant a) \\
   &=\displaystyle 1-\int_0^a \lambda\e^{-\lambda x}\mathrm{d}x \\
   &=1-\big[-\e^{-\lambda x}\big]_0^a \\
   &=1+\e^{-\lambda a}-1 \\
   &=\e^{-\lambda a}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Soit $t$ et $a$ deux réels positifs.
   $\begin{align*} \displaystyle P_{T \geqslant t}\left(T \geqslant t+a\right) &=\dfrac{P\left(\left(T \geqslant t\right)\cap \left(T \geqslant t+a\right)\right)}{P\left(T\geqslant t\right)} \\
   &=\dfrac{P\left(T\geqslant t+a\right)}{P\left(T \geqslant t\right)} \\
   &=\dfrac{\e^{-\lambda(t+a)}}{\e^{-\lambda t}} \\
   &=\e^{-\lambda a} \\
   &=P\left(T\geqslant a\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a. On sait que $E(T)=10~000$. Or $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda =\dfrac{1}{10~000} = 10^{-4}$
   $\quad$
   b. $P(T\geqslant 5~000)=\e^{-5~000\times 10^{-4}}\approx 0,606~5$
   $\quad$
   c. On veut calculer
   $\begin{align*} P_{T \geqslant 7~000}(T \geqslant 12~000) &= P_{T \geqslant 7~000}(T \geqslant 7~000+5~000) \\
   &= P(T \geqslant 5~000) \\
   &\approx 0,606~5
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie C

1. On a $n=1~000 \geqslant 30$ et $p=0,06$ donc $np=60 \geqslant 5$ et $n(1-p)=940 \geqslant 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{1~000} &=\left[0,06-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{1~000}};0,06+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{1~000}} \right] \\
   &\approx [0,045~2;0,074~8]
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fréquence observée est $f=\dfrac{71}{1~000}=0,071\in I_{1~000}$
   Au risque d’erreur de $5\%$ on ne peut pas remettre en cause l’affirmation de l’entreprise.
   $\quad$

Exercice 2

1. On appelle $M$ le point d’affixe $z$ et $A$ le point d’affixe $2$.
   $|z-2|=1 \ssi AM=1$
   Donc $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.
   $\quad$
2. Si un point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ alors ses coordonnées sont $(x;ax)$ et donc son affixe est $z=x+ax\ic$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} |x+ax \ic -2|=1 &\ssi \left|(x-2)+ax \ic\right| = 1 \\
   &\ssi (x-2)^2+(ax)^2 = 1 \\
   &\ssi x^2-4x+4+a^2x^2=1\\
   &\ssi \left(a^2+1\right)x^2-4x+3=0
   \end{align*}$
   Le discriminant est :
   $\begin{align*} \Delta &=16-12\left(1+a^2\right) \\
   &=4\left(4-3-3a^2\right) \\
   &=4\left(1-3a^2\right)
   \end{align*}$
   Or $1-3a^2=0 \ssi a^2=\dfrac{1}{3} \ssi a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   Par conséquent :
   • si $a\in \left]-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[$ alors $\Delta >0$ et le cercle et la droite ont deux points en commun;
   • si $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ou si $a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ alors $\Delta =0$ et la droite et le cercle n’ont qu’un point en commun;
   • si $x\in \left]-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty\right[$ alors $\Delta <0$ et la droite et le cercle n’ont aucun point en commun.

Exercice 3

Partie A

1. $f(x)=x\e^{1-x^2}=x\e\times \dfrac{1}{\e^{x^2}}=\dfrac{\e}{x}\times \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{X}{\e^X}=0$
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{\e^{x^2}}=0$.
   De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e}{x}=0$.
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} f'(x)&=\e^{1-x^2}+x\times (-2x)\e^{1-x^2} \\
   &=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x^2$.
   Or $1-2x^2=0 \ssi x^2=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ou $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
   et $1-2x^2>0 \ssi \dfrac{1}{2}>x^2 \ssi x \in \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
   où $\alpha=f\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{0,5}$ et $\beta =f\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{0,5}$
   $\quad$

Partie B

1. Il semblerait que $\mathscr{C}_g$ soit toujours au-dessus de $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$
2. Pour tout $x\in]-\infty;0]$, $f(x) \leqslant 0$ et $g(x)>0$ (car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et donc sur l’intervalle étudié).
   Donc sur cet intervalle $f(x)< g(x)$.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} f(x) \leqslant g(x) &\ssi x\e^{1-x^2}\leqslant \e^{1-x} \\
   &\ssi x \leqslant \dfrac{\e^{1-x}}{\e^{1-x^2}} \\
   &\ssi x \leqslant \e^{x^2-x} \\
   &\ssi \ln x \leqslant x^2-x \\
   &\ssi \Phi(x) \leqslant 0
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $\Phi'(x)=\dfrac{1}{x}-2x+1 = \dfrac{-2x^2+x+1}{x}$
   Pour tout $x\in ]0;+\infty[$, le signe de $\Phi'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+x+1$
   $\Delta = 1^-4\times (-2)=9 >0$
   Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{-1-3}{-4}=1$ et $x_2=\dfrac{-1+3}{-4}=-\dfrac{1}{2}$
   Le coefficient principal est $a=-2<0$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   c. D’après le tableau de variations, pour tout réel $x >0$ on a $\Phi(x) \leqslant 0$.
   $\quad$
4. a. D’après la question 3.a. pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) \leqslant g(x) \ssi \Phi(x) \leqslant 0$.
   Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est bien toujours en dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]0;+\infty[$.
   On a prouvé que pour tout $x \leqslant 0$, $f(x)\leqslant g(x)$.
   Donc $\mathscr{C}_f$ est bien toujours en dessous de $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty;0]$.
   La conjecture de la question 1. est donc valide.
   $\quad$
   b. Sur $]-\infty;0]$, $f(x) < g(x)$ : les deux courbes n’ont pas de point commun sur cet intervalle.
   Sur $]0;+\infty[$, $f(x)=g(x) \ssi \Phi(x)=0 \ssi x=1$
   $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_f$ ont donc un unique point commun : le point $A$ d’abscisse $1$.
   $g(1)=\e^0=1$.
   $\quad$
   c. $f'(1)=(1-2)\e^0=-1$ et $g'(1)=-\e^0=-1$
   Les deux tangentes en $A$ ont donc le même coefficient directeur. Puisqu’elles passent par le point $A$ cela signifie donc qu’elles sont confondues.
   $\quad$

Partie C

1. Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\e^{1-x^2}$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} \displaystyle \int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\mathrm{d}x &= \big[-\e^{1-x}-F(x)\big]_0^1 \\
   &=-1+\dfrac{1}{2}-\left(-\e+\dfrac{1}{2}\e\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\e-1\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Ce résultat  correspond à l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$, $\mathscr{C}_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $\vect{DF}(1;1;1)$
   $\vect{BG}(0;-1;1)$ et $\vect{BE}(-1;0;1)$ ne sont clairement pas colinéaires.
   $\vect{DF}.\vect{BG}=0-1+1=0$ et $\vect{DF}.\vect{BE}=-1+0+1=0$
   Ainsi le vecteur $\vect{DF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGE)$.
   Il est par conséquent normal au plan $(BGE)$.
   $\quad$
   b. Le plan $\mathscr{P}$ est parallèle au plan $(BGE)$.
   $\vect{DF}$ est donc également normal à $(BGE)$.
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est de la forme $$x+y+z+d=0$$
   Le point $I(0,5;1;0)$ appartient à ce plan donc :
   $$0,5+1+d=0 \ssi d=-1,5$$
   Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $x+y+z-1,5=0$.
   $\quad$
2. Le point $N$ appartient à $[AE]$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;1;z_N\right)$.
   Il appartient au plan $\mathscr{P}$ donc $0+1+z_N-1,5=0 \ssi z_N=0,5$
   Ainsi $N$ est le milieu de $[AE]$.
   $\quad$
3. a. On a $\vect{HB}(-1;-1;1)$
   Une représentation paramétrique de la droite $(HB)$ est donc $\begin{cases} x=-t\\y=-t \quad t\in \R \\z=1+t \end{cases}$.
   b. $\vect{HB}.\vect{DF}=-1-1+1=-1 \neq 0$
   Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(HB)$ sont donc sécants.
   On injecte les équations de $(HB)$ dans l’équation de $\mathscr{P}$.
   $-t-t+1+t-1,5=0 \ssi -t-0,5=0 \ssi t=-0,5$
   Donc $T(0,5;0,5;0,5)$.
   $\quad$
4. Calculons dans un premier temps l’aire du triangle $BGF$ rectangle en $F$.
   $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$
   Donc le volume du tétraèdre $FBGE$ est $\mathscr{V}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \times 1}{3}=\dfrac{1}{6}$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Variables :
   $\quad$ $X$ est un nombre entier
   $\quad$ $Y$ est un nombre entier
   Début :
   $\quad$ Pour $X$ vairant de $-5$ à $10$
   $\qquad$ Pour $Y$ variant de $-5$ à $10$
   $\quad \qquad $ Si $7X-3Y=1$
   $\quad \qquad$ Alors Afficher $X$ et $Y$
   $\quad \qquad$ Fin Si
   $\qquad$ Fin Pour
   $\quad$ Fin Pour
   Fin
   $\quad$
2. a. $7\times 1 -3\times 2 = 7 -6 =1$
   Le couple $(1;2)$ est donc une solution particulière de $(E)$.
   $\quad$
   b. On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$.
   On a donc $7x-3y=1$ et $7 \times 1 -3\times 2 = 1$
   Par différence on obtient $7(x-1)-3(y-2)=0$
   Soit $7(x-1)=3(y-2)$
   $7$ et $3$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $x-1=3k$ et $y-2=7k$
   Soit $x=1+3k$ et $y=2+7k$.
   $\quad$
   Réciproquement: soit $k$ un entier relatif alors
   $7(1+3k)-3(2+7k)=7+21k-6-21k=1$
   $\quad$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1+3k;2+7k)$ pour tout entier relatif $k$.
   $\quad$
   c. On veut que $-5 \leqslant 1+3k \leqslant 10$ et $-5 \leqslant 2+7k \leqslant 10$
   Soit $-6 \leqslant 3k \leqslant 9$ et $-7 \leqslant 7k \leqslant 8$
   D’où $ -2 \leqslant k \leqslant 3$ et $-1 \leqslant k \leqslant \dfrac{8}{7}$
   Les valeurs possibles pour $k$ sont donc $-1,0$ et $1$.
   Les couples recherchés sont donc $(-2;-5)$, $(1;2)$ et $(4;9)$.
   $\quad$

Partie B

1. a. $MX_n=\begin{pmatrix} -\dfrac{13}{2}x_n+3y_n \\-\dfrac{35}{2}x_n+8y_n \end{pmatrix}=X_{n+1}$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=M^nX_0$.
   $\quad$
2. a. $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
   On a donc $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ qui est bien une matrice diagonale.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, on a : $D^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{2^n}\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   c. Initialisation : Si $n=0$ alors $M^0=I_2$ où $I_2$ est la matrice identité.
   $PD^0P^{-1}=PI_2P^{-1}=PP^{-1}=I_2=M^0$
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$: $M^n=PD^nP^{-1}$
   $\begin{align*} M^{n+1}&= M^n \times M \\
   &=PD^nP^{-1}\times PDP^{-1} \\
   &=PD^nDP^{-1} \\
   &=PD^{n+1}P^{-1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $M^n=PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
3. On a $X_n=M^nX_0$
   Donc $\begin{cases} x_n=-14+\dfrac{15}{2^n}+12-\dfrac{12}{2^n} \\y_n=-35+\dfrac{35}{2^n}+30-\dfrac{28}{2^n} \end{cases}$ soit $\begin{cases} x_n=-2+\dfrac{3}{2^n}\\y_n=-5+\dfrac{7}{2^n}\end{cases}$.
   $\quad$
4. On considère un entier naturel $n$.
   $\begin{align*} 7x_n-3y_n-1 &=-14+\dfrac{21}{2^n}+15-\dfrac{21}{2^n}-1 \\
   &=1-1 \\
   &=0
   \end{align*}$
   Pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient bien à la droite $\mathscr{D}$.

Exercice 1    5 points

Les valeurs approchées des résultats seront données à $10^{-4}$ près.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit $65\%$ de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:

• à la sortie de la machine A, $8\%$ des ampoules présentent un défaut;
• à la sortie de la machine B, $5\%$ des ampoules présentent un défaut.

On définit les événements suivants:

• $A$: “l’ampoule provient de la machine A”;
• $B$: “l’ampoule provient de la machine B”;
• $D$: “l’ampoule présente un défaut”.

1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.
   a. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
   $\quad$
   b. Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à $0,930~5$.
   $\quad$
   c. L’ampoule tirée est sans défaut.
   Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.
   $\quad$
2. On prélève $10$ ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à tirages avec remise.
   Calculer la probabilité d’obtenir au moins $9$ ampoules sans défaut.
   $\quad$

Partie B

1. On rappelle que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positif $a$, $P(T\pp a) = \displaystyle\int_0^a\lambda\e^{-\lambda x}\dx$.
   a. Montrer que $P(T\pg a)=\e^{-\lambda a}$.
   $\quad$
   b. Montrer que si $T$ suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs $t$ et $a$ on a $$P_{T\pg t}(T\pg t+a)=P(T\pg a)$$
   $\quad$
2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle d’espérance $10~000$.
   a. Déterminer la valeur exacte du paramètre $\lambda$ de cette loi.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité $P(T\pg 5~000)$.
   $\quad$
   c. Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant $7~000$ heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse $12~000$ heures.
   $\quad$

Partie C

L’entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu’il n’y a pas plus de $6\%$ d’ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient $71$ ampoules défectueuses sur $1~000$.

1. Dans le cas où il y aurait exactement $6\%$ d’ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence d’ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille $1~000$.
   $\quad$
2. A-t-on des raisons de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise?
   $\quad$

Exercice 2    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

On note $\mathscr{C}$ l’ensemble des points $M$ du plan d’affixe $z$ tels que $|z-2|=1$.

1. Justifier que $\mathscr{C}$ est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
   $\quad$
2. Soit $a$ un nombre réel. On appelle $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y=ax$.
   Déterminer le nombre de points d’intersection entre $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ en fonction des valeurs du réel $a$.
   $\quad$

Exercice 3    7 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x\e^{1-x^2}$.

1. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   Indication: on pourra utiliser que pour tout réel $x$ différent de $0$, $f(x)=\dfrac{\e}{x}\times\dfrac{x^2}{\e^{x^2}}$.
   $\quad$
   On admettra que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $0$.
   $\quad$
2. a. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa dérivée.
   Démontrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=\left(1-2x^2\right)\e^{1-x^2}$$
   $\quad$
   b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
   $\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x)=\e^{1-x}$.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.

Le but de cette partie est d’étudier la position relative de ces deux courbes.

1. Après observation du graphique, quelle conjecture peut-on émettre?
   $\quad$
2. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0]$, $f(x)<g(x)$.
   $\quad$
3. Dans cette question, on se place dans l’intervalle $]0;+\infty[$.
   On pose, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)=\ln x-x^2+x$.
   a. Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $$f(x)\pp g(x)\text{ équivaut à }\Phi(x)\pp 0$$
   On admet pour la suite que $f(x)=g(x)$ équivaut à $\Phi(x)=0$.
   $\quad$
   b. On admet que la fonction $\Phi$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Dresser le tableau de variation de la fonction $\Phi$. (Les limites en $0$ et $+\infty$ ne sont pas attendues.)
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $\Phi(x)\pp 0$.
   $\quad$
4. a. La conjecture émise à la question 1. de la partie B est-elle valide?
   $\quad$
   b. Montrer que $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont un unique point commun, noté $A$.
   $\quad$
   c. Montrer qu’en ce point $A$, ces deux courbes ont la même tangente.
   $\quad$

Partie C

1. Trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
   $\quad$
2. En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^1\left(\e^{1-x}-x\e^{1-x^2}\right)\dx$.
   $\quad$
3. Interpréter graphiquement ce résultat.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

$ABCDEFGH$ est un cube d’arête égale à $1$.

L’espace est muni du repère orthonormé $\left(D;\vect{DC},\vect{DA},\vect{DH}\right)$.

Dans ce repère, on a: $D(0;0;0)$, $C(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $H(0;0;1)$ et $E(0;1;1)$.

Soit $I$ le milieu de $[AB]$.

 

Soit $\mathscr{P}$ le plan parallèle au plan $(BGE)$ et passant par le point $I$.

On admet que la section du cube par le plan $\mathscr{P}$ représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, et $N$ appartiennent respectivement aux arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CG]$, $[GH]$, $[HE]$ et $[AE]$.

1. a. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(BGE)$.
   $\quad$
   b. En déduire une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
2. Montrer que le point $N$ est le milieu du segment $[AE]$.
   $\quad$
3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HB)$.
   $\quad$
   b. En déduire que la droite $(HB)$ et le plan $\mathscr{P}$ son sécants en un point $T$ dont on précisera les coordonnées.
   $\quad$
4. Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre $FBGE$.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l’équation suivante d’inconnues $x$ et $y$ entiers relatifs:

$$ 7x-3y=1\quad (E)$$

1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu’il donne les solutions entières $(x;y)$ de l’équation $(E)$ vérifiant $-5\pp x\pp 10$ et $-5\pp y\pp 10$.
   Variables:
   $\quad$ $X$ est un nombre entier
   $\quad$ $Y$ est un nombre entier
   Début :
   $\quad$ Pour $X$ variant de $-5$ à $10$
   $\qquad$ (1) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
   $\qquad \quad$(2) $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
   $\qquad \quad$ Alors Afficher $X$ et$ Y$
   $\qquad \quad$ Fin Si
   $\qquad$ Fin Pour
   $\quad$ Fin Pour
   Fin
   $\quad$
2. a. Donner une solution particulière de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   c. Déterminer l’ensemble des couples $(x;y)$ d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) tels que $5\pp x\pp 10$ et $-5\pp y\pp 10$.
   $\quad$

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\Ouv$.
On considère la droite $\mathscr{D}$ d’équation $$7x-3y-1=0$$
On définie la suite $(A_n)$ de points du plan de coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ vérifiant pour tout $n$ entier naturel: $$\begin{cases}x_0=1\\y_0=2\end{cases}\text{ et }\begin{cases}x_{n+1}= – \dfrac{13}{2}x_n + 3y_n\\y_{n+1}= -\dfrac{35}{2}x_n + 8y_n\end{cases}$$

1. On note $M$ la matrice $\begin{pmatrix} \dfrac{-13}{2}&3\\\dfrac{-35}{2}&8 \end{pmatrix}$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $X_n=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$.
   a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=MX_n$.
   $\quad$
   b. Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel $n$, $X_n$ en fonction de $M^n$ et $X_0$.
   $\quad$
2. On considère la matrice $P=\begin{pmatrix}-2&-3\\-5&-7 \end{pmatrix}$ et on admet que la matrice inverse de $P$, notée $P^{-1}$, est définie par $P^{-1}=\begin{pmatrix} 7&-3\\-5&2 \end{pmatrix}$.
   a. Vérifier que $P^{-1}MP$ est une matrice diagonale $D$ que l’on précisera.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, donner $D^n$ sans justification.
   $\quad$
   c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $M^n=\begin{pmatrix} -14+\dfrac{15}{2^n}&6-\dfrac{6}{2^n}\\-35+\dfrac{35}{2^n}&15-\dfrac{14}{2^n}\end{pmatrix}$.
   En déduire que, pour tout entier naturel $n$, une expression de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
   $\quad$