Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2014

Antilles Guyane – Septembre 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $\quad$
    S-antilles-sept2014-ex1
  2. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align} p(A) &= p(N \cap A) + p\left(\overline{N} \cap A \right) \\\\
    &= 0,91 \times 0,96 + 0,09 \times 0,03 \\\\
    &= 0,8763
    \end{align}$
    $\quad$
  3. On veut calculer $p_A(N) = \dfrac{p(A\cap N)}{p(A)}$ $=\dfrac{0,91 \times 0,96}{0,8763}$ $\approx 0,9969$

$\quad$

Partie B

  1. $P(D \le 4) = 0,5$ signifie que la probabilité qu’une peluche “vive” moins de $4$ ans est de $0,5$.
    $\quad$
    On a ainsi $1- \text{e}^{-4\lambda} = 0,5$ $\Leftrightarrow -4\lambda = \ln 0,5$ $\Leftrightarrow \lambda = -\dfrac{ \ln 0,5}{4}$
    $\quad$
  2. On veut calculer $P_{D\ge 3}(D \ge 8) $ $=P_{D \ge 3}(D \ge 3 + 5)$ $=P(D \ge 5)$ $= \text{e}^{-5\lambda}$ $\approx 0,4204$ (durée de vie sans vieillissement).

Partie C

  1. Puisque $X=\dfrac{J-\mu}{\sigma}$, $X$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} P(J \le 385) = 0,975 & \Leftrightarrow P(J – 358 \le 27) = 0,975 \\\\
    & \Leftrightarrow P\left(\dfrac{J – 385}{\sigma} \le \dfrac{27}{\sigma}\right) = 0,975 \\\\
    &\Leftrightarrow P\left(X \le \dfrac{27}{\sigma} \right) = 0,975
    \end{align}$
    Par conséquent, en utilisant la calculatrice, on obtient  $\dfrac{27}{\sigma} \approx 1,96$ et $\sigma \approx 14$.

$\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. $f(x) = -\left(-x\text{e}^{-x}\right)$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{x} = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
    $f'(x) = \text{e}^{-x} – x\text{e}^{-x} = (1-x)\text{e}^{-x}$.
    La fonction exponentielle est toujours positive. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $1-x$.
    Or $1-x \ge 0$ $\Leftrightarrow x <1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    S-antilles-sept2014-ex2

Partie B

  1. $\quad$
    Bac S - Antilles guyane - sept2014 - ex2 cor
  2. Initialisation : $u_0=1 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 0$.
    On a $u_{n+1} = f(u_n) = u_n \text{e}^{-u_n}$.
    La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
    Un produit de nombre strictement positif est strictement positif.
    Par conséquent $u_{n+1} >0$.
    $\quad
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n > 0$.
    $\quad$
  3. $u_{n+1} – u_n $  $= u_n \text{-u_n} – u_n $ $= u_n\left(\text{e}^{-u_n} – 1\right)$.
    D’après la question précédente, $u_n > 0$ donc $\text{e}^{-u_n}-1 <0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. a. La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$.
    b. $x\text{e}^{-x} = x $ $\Leftrightarrow x\text{e}^{-x}-x = 0$ $ \Leftrightarrow x\left(\text{e}^{-x} -1\right) = 0$ $\Leftrightarrow x= 0$ ou $ \text{e}^{-x} – 1 = 0$ $\Leftrightarrow x=0$
    La limite de la suite $(u_n)$ est donc $0$.

$\quad$

Partie C

Déclaration des variables :
$\quad$ $S$ et $u$ sont des nombres réels
$\quad$ $k$ est un nombre entier
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $1$
$\quad$ $S$ prend la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $100$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $u\times \text{e}^{-u}$
$\qquad$ $S$ prend la valeur $S+u$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher $S$

$\quad$

Exercice 3

  1. $\quad$
    $\begin{align} \text{e}^x – x^n = 0 &\Leftrightarrow \text{e}^x=x^n \\\\
    &\Leftrightarrow x = n \ln (x) \\\\
    &\Leftrightarrow \ln(x) = \dfrac{x}{n} \\\\
    &\Leftrightarrow \ln(x) – \dfrac{x}{n} = 0
    \end{align}$
    $\quad$
  2. Soit $f_n$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f_n(x)=\ln(x) – \dfrac{x}{n}$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f_n'(x) = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{n}$.
    $f_n'(x) >0 \Leftrightarrow x < n$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    S-antilles-sept2014-ex3
    $\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) = -\infty$
    $f(x) = x\left(\dfrac{\ln(x)}{x} – \dfrac{1}{n} \right)$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
    $\quad$
    $\ln n -1 > 0 \Leftrightarrow n > \text{e}$.
    Par conséquent si $n \le 2$, $f_n(x) < 0$ et  l’équation $(E_2)$ n’aura pas de solution.
    Si $n \ge 3$, la fonction $f_n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc continue .
    Sur $]0;n[$ la fonction est strictement croissante.
    $\lim\limits_{x \to 0} f_n(x) =-\infty$ et $f_n(n) >0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Sur $]n;+\infty[$, la fonction $f_n$ est strictement décroissante.
    $f_n(n) >0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x) = -\infty$.
    D’après le théorème de la bijection l’équation $f_n(x)=0$ possède une unique solution.
    $\quad$
    Par conséquent l’équation $(E_2)$, et donc $(E_1)$ possède deux solutions si, et seulement si, $n \ge 3$

$\quad$

Exercice 4

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. $\quad$
    $\begin{align} f\left(-1+\text{i}\sqrt{3}\right) &= \left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right) + 9 \\\\
    &=1 -2\sqrt{3}\text{i} – 3 – 2 +\sqrt{3}\text{i} + 9 \\\\
    &= 5
    \end{align}$
    $\quad$
  2. $f(x) = 5  \Leftrightarrow z^2+2z+4 = 0$
    $\Delta = 2^2- 4 \times 4 = -12$
    Il y a donc deux racines complexes : $z_1 = \dfrac{-2 -\text{i}\sqrt{12}}{2} = -1 – \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \overline{z_1} = -1 + \text{i}\sqrt{3}$
    $|z_1| = \sqrt{1 + 3} = 2$.
    Donc $z_1 = 2\left(-\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 2\text{e}^{-2\text{i}\pi/3}$ et $z_2 = 2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$
    $\quad$
  3. $f(z)=\lambda$ $\Leftrightarrow z^2+2z+9-\lambda$
    $\Delta = 2^2 – 4(9-\lambda) $ $= 4 – 36 + 4\lambda$ $=4(-8 + \lambda)$.
    L’équation $f(z)=\lambda$ possède donc deux solutions complexes conjuguées si, et seulement si, $\lambda <8$.
    $\quad$
  4. $|f(z)-8|=|z^2 + 2z + 1|  $ $= \left|(z+1)^2\right|$ $ = |z+1|^2$.
    Par conséquent $|f(z)-8|=3 \Leftrightarrow |z+1| = \sqrt{3}$.
    $(F)$ est donc bien le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    $\quad$
  5. a. $\quad$
    $\begin{align} f(x+\text{i}y) &= \left(x+\text{i}y\right)^2+2(x+\text{i}y) + 9 \\\\
    &= x^2+2xy\text{i} – y^2 + 2x + 2y\text{i} + 9 \\\\
    &= x^2-y^2+2x + 9 + \text{i}(2xy+2y)
    \end{align}$
    b. $f(z)$ est nombre réel si, et seulement si, $2xy+2y=0$ $\Leftrightarrow 2y(x+1)=0$ $\Leftrightarrow y = 0$ ou $x=-1$.
    $(E)$ est donc la réunion des droites d’équation $y=0$ et $x=-1$.
    $\quad$
  6. Regardons dans un premier temps l’intersection de $(F)$ avec $D_1$ d’équation $y=0$.
    Il s’agit donc de deux points d’abscisse respective $-1 – \sqrt{3}$ et $1+\sqrt{3}$. On a donc $C\left(-1-\sqrt{3};0\right)$ et $D\left(-1+\sqrt{3};0\right)$.
    $\quad$
    Regardons maintenant l’intersection de $(F)$ avec la droite $D_2$ d’équation $x=-1$.
    Il s’agit de deux points d’ordonnée respective $0+\sqrt{3}$ et $0-\sqrt{3}$. On a donc $G\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $H\left(-1;-\sqrt{3}\right)$.
    bac S- Antilles Guyane-sept2014-ex4

$\quad$

Exercice 4

Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité

  1. L’agence $X$ conserve $60\%$ de ses fonds d’une année sur l’autre.
    $\quad$
    Chaque année le siège de la banque transfère $3$ millions d’euros à l’agence $Y$.
    $\quad$
  2. $U_0=\begin{pmatrix} 50 \\\\10 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. $PDQ = \begin{pmatrix} 0,6&0,15 \\\\0,2&0,4 \end{pmatrix} = A$.
    $\quad$
    b. Ce coefficient est obtenu à partir du calcul suivant : $0,25 \times 3 – 0,375 \times (2) = 0$
    $\quad$
  4. a. $\quad$
    $ \begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1} – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\\\
    &= AU_n+B – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\\\
    &=AU_n  + \begin{pmatrix} -4 \\ -11/3 \end{pmatrix}
    \end{align}$
    Or $A\begin{pmatrix} -5 \\-20/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\-11/3 \end{pmatrix}$
    Donc $V_{n+1}=AV_n$.
    $\quad$
    b. $V_0 = \begin{pmatrix} = 45 \\ 10/3 \end{pmatrix}$.
    On a ainsi $V_n = A^nV_0$ pour tout $n \in \N$.
    $\quad$
  5. a. Ce coefficient est donné par :
    $\begin{align} v &= 45(0,25\times 0,3^n+0,75 \times 0,7^n) + \dfrac{10}{3}\left[0,375(-0,3^n+0,7^n)\right] \\\\
    &= 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n
    \end{align}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $x_n = 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n + 5$
    $\quad$
    c. $-1<0,3<1$ et $-1<0,7<1$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n  \to +\infty} 0,3^n = \lim\limits_{n  \to +\infty} 0,7^n = 0$.
    Donc $\lim\limits_{n  \to +\infty} x_n = 5$.
    Au bout d’un grand nombre d’année, les fonds disponibles de l’agence X seront de $5$ millions d’euros.