Centres étrangers – juin 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Exercice 1

Affirmation 1 : Vraie
On calcule :
$\begin{align*} P(X \geqslant 187) &= 0,5 + P(187 \leqslant X \leqslant 200) \\
& \approx 0,903 \\
& > 0,9 \end{align*} $
$\quad$
Affirmation 2 : Vraie
On appelle $f$ la fonction définie sur $I=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ par $f(x)=x-\cos x$.
Cette fonction est dérivable sur $I$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $I$.
$f'(x)=1+\sin x \geqslant 0$ car $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$ pour tout réel $x$.
La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $I$.
De plus $f(0)=-1<0$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intérmédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.
$\quad$
Affirmation 3 : Fausse
Regardons si le système suivant possède un unique couple solution solution :
$\begin{align*} \begin{cases} 1+2t=-5t’+3 \\2-3t=2t’ \\4t=t’+4 \end{cases} &\ssi \begin{cases} 2t=-5t’+2 \\-3t=2t’-2 \\t’=4t-4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2t=-5(4t-4)+2 \\-3t=2(4t-4)-2 \\t’=4t-4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2t=-20t+20+2 \\-3t=8t-8-2\\t’=4t-4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}22t=22 \\-11t=-10\\t’=4t-4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=1\\t=\dfrac{8}{11}\\t’=4t-4 \end{cases}
\end{align*}$
Ce système ne possède donc pas de solution.
Les droites ne sont pas sécantes.
$\quad$
Affirmation 4 : Vraie
Un vecteur directeur de $\mathscr{D}_1$ est $\vec{u}(2;-3;4)$ et un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(1;2;1)$.
$\vec{u}.\vec{n}=2-6+4=0$.
Donc la droite $\mathscr{D}_1$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$

Exercice 2

Partie A : Etude de quelques exemples

a. Si $f$ est constante, il suffit de prendre $a=0,5$.
$A_1$ et $A_2$ sont les aires de deux rectangles de même longueur et largeur.
$\quad$
b. Si $f(x)=x$ sur $[0;1]$.
On a $A_1=\displaystyle \int_0^a x\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^a = \dfrac{a^2}{2}$
Et $A_2=\displaystyle \int_a^1 x\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_a^1=\dfrac{1-a^2}{2}$.
On veut donc que $\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{1-a^2}{2}$ soit $a^2=1-a^2$ et donc $2a^2=1$ d’où $a^2=\dfrac{1}{2}$.
Puisque $a>0$ on a alors $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$
a. On a $A_1=\displaystyle \int_0^a f(x)\mathrm{d}x $ et $A_2=\displaystyle \int_a^1 f(x)\mathrm{d}x $.
$\quad$
$\quad$
b. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;1]$ alors :
$A_1=F(a)-F(0)$ et $A_2=F(1)-F(a)$.
$\begin{align*} A_1=A_2 & \ssi F(a)-F(0)=F(1)-F(a) \\
&\ssi 2F(a)=F(1)+F(0) \\
&\ssi F(a)=\dfrac{F(1)+F(0)}{2}
\end{align*}$
$\quad$
Il n’y a que des équivalences dans la démarche précédente. La réciproque est donc vraie.
a. Si $f(x)=\e^x$ alors une primitive sur $[0;1]$ est $F$ définie par $F(x)=\e^x$.
On sait que $F(a)=\dfrac{F(1)+F(0)}{2}$
On a donc $\e^a=\dfrac{\e^0+\e^1}{2}=\dfrac{1+\e}{2}$.
Par conséquent $a=\ln \dfrac{1+\e}{2}$.
$\quad$
b. Si $f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$ alors une primitive $F$ sur $[0;1]$ est définie par $F(x)=-\dfrac{1}{x+2}$.
On sait que $F(a)=\dfrac{F(1)+F(0)}{2}$
Ainsi $\dfrac{1}{a+2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{2}$
Donc $\dfrac{1}{a+2}=\dfrac{5}{12}$.
D’où $5(a+2)=12$.
Par conséquent $5a+10=12$ et $a=\dfrac{2}{5}$.
$\quad$

Partie B – Utilisation d’une suite pour déterminer une valeur approchée de $a$

$f(x)=4-3x^2$
La fonction $F$ définie sur $[0;1]$ par $F(x)=4x-x^3$ est donc une primitive de $f$ sur cet intervalle.
On réutilise la propriété de la question A.2.b.
$4a-a^3=\dfrac{0+(4-1)}{2}$
Soit $4a-a^3=\dfrac{3}{2}$
Donc $8a-2a^3=3$
Ainsi $8a=2a^3+3$
Et par conséquent $a=\dfrac{a^3}{4}+\dfrac{3}{8}$.
$\quad$
a. $u_1=g(0)=\dfrac{3}{8}$.
$\quad$
b. La fonction $g$ est croissante comme somme d’une fonction croissante et d’une fonction constante sur $[0;1]$.
$\quad$
c. Initialisation : Si $n=0$.
Alors $u_0=0$ et $u_1=\dfrac{3}{8}$.
On a bien $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 1$
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité :On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
La fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$.
Par conséquent $g(0) \leqslant g\left(u_{n}\right) \leqslant g\left(u_{n+1}\right) \leqslant g(1)$.
Soit $0 \leqslant \dfrac{3}{8} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \dfrac{5}{8} \leqslant 1$
La propriété est donc héréditaire.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc pour tout entier naturel $n$ on a : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$; elle converge.
On appelle $\alpha$ la limite de cette suite.
On sait que $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Par unicité des limites $\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}=\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\alpha$
$g\left(u_n\right)=\dfrac{{u_n}^3}{4}+\dfrac{3}{8}$.
Par produit et somme de limites, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{{u_n}^3}{4}+\dfrac{3}{8} = \dfrac{\alpha^3}{4}+\dfrac{3}{8}$.
Ainsi $\alpha=\dfrac{\alpha^3}{4}+\dfrac{3}{8}$.
Et $\alpha=a$.
$\quad$
e. On a, à l’aide de la calculatrice, $u_{10} \approx 0,389~807~84$
$\quad$

Exercice 3

Partie A – Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

a. Il y a $700$ tirages indépendants, aléatoires, qu’on peut supposer avec remise (la population doit être suffisamment grande).
A chaque tirage il n’y a que deux issues : la personne accepte ou n’accepte pas de répondre à la question.
La probabilité qu’elle accepte de répondre est $p=0,6$.
Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=700$ et $p=0,6$.
$\quad$
b. $P(X \geqslant 400) = 1-P(X \leqslant 399) \approx 0,94$.
$\quad$
On appelle $X_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personne acceptant de répondre à la question parmi $n$ personnes.
$X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.
On veut que $P\left(X_n \geqslant 400\right) > 0,9$.
On fait des essais à la calculatrice.
Si $n=693$ alors $P\left(X_n \geqslant 400\right) \approx 0,896~6$
Si $n=694$ alors $P\left(X_n \geqslant 400\right) \approx 0,904~5$
Il faut donc interroger $694$ personnes.
$\quad$
Remarque : Dans ce raisonnement on suppose que $\left(P\left(X_n\geqslant 400\right)\right)$ est une suite croissante.
En effet, si à un groupe de taille $n$ on ajoute un individu alors l’événement $\left(X_n \geqslant 400\right)$ est inclus dans l’événement $\left(X_{n+1} \geqslant 400\right)$ et alors $P\left(X_n \geqslant 400\right) \leqslant P\left(X_{n+1} \geqslant 400\right)$.
$\quad$

Partie B – Proportion de personnes favorables au projet dans la population

On a $n\geqslant 50 \geqslant 30$, $f=0,29$ donc $nf \geqslant 14,5 \geqslant 5$ et $n(1-f) \geqslant 35,5 \geqslant 5$
Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est donc
$$I_n=\left[0,29-\dfrac{1}{\sqrt{n}};0,29+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$$
$\quad$
L’amplitude de cet intervalle est donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
On veut ainsi que $\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,04$
Soit $\dfrac{2}{0,04}\leqslant \sqrt{n}$
C’est-à-dire $50 \leqslant \sqrt{n}$ et donc $n \geqslant 2~500$.
$\quad$

Partie C – Correction due à l’insincérité de certaines réponses

$P_F(A) = 1-0,15=0,85$.
Et $P_{\overline{F}}(A)=0,15$ puisque le taux ne change pas en fonction de l’opinion.
$\quad$
a.

$\quad$
b. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(A)=P(F\cap A)+P\left(\overline{F}\cap A\right) &\ssi 0,29 = 0,85x+0,15(1-x) \\
&\ssi 0,29 = 0,85x+0,15-0,15x \\
&\ssi 0,14=0,7x \\
&\ssi x = \dfrac{0,14}{0,7} \\
&\ssi x= 0,2
\end{align*}$
$\quad$
Remarque : on ne demandait à cette question qu’une égalité et non la solution de l’équation mais j’étais parti dans la résolution 😉 .
On veut calculer $P(F)=0,2$
Donc $20\%$ des personnes sont réellement favorable au projet.
$\quad$

Exercice 4

Candidat/e/s n’ayant pas choisi la spécialité mathématique

Partie A – Ligne brisée formée à partir de sept points

$z_1=\left(1+\dfrac{1}{6}\right)\e^{\ic\pi/3} = \dfrac{7}{6}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\right)$
Donc $z_1=\dfrac{7}{12}+\dfrac{7\sqrt{3}}{12}\ic$
$\quad$
$z_0=1\e^0\ic = 1$ est bien un entier.
$z_6=2\e^{12\ic\pi/6}=2\e^{2\ic\pi} = 2$ est également un entier.
$\quad$
La hauteur issur de $M_1$ dans le triangle $OM_0M_1$ correspond à la partie imaginaire de $z_1$. Elle mesure donc $\dfrac{7\sqrt{3}}{12}$.
L’aire de ce triangle vaut ainsi $\dfrac{\dfrac{7\sqrt{3}}{12} \times 1}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{24}$.
$\quad$

Partie B – Ligne brisée formée à partir de $n+1$ points

$OM_k=\left|z_k\right|=1+\dfrac{k}{n}$ pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$.
$\quad$
$\left(\vec{u},\vect{OM_k}\right) = \arg\left(z_k\right) = \dfrac{2k\pi}{n}$ modulo $2\pi$ .
$\left(\vec{u},\vect{OM_{k+1}}\right) = \arg\left(z_{k+1}\right) = \dfrac{2(k+1)\pi}{n}$ modulo $2\pi$.
$\quad$
$\begin{align*} \left(\vect{OM_k},\vect{OM_{k+1}}\right)&= \left(\vect{OM_k},\vec{u}\right)+\left(\vec{u},\vect{OM_{k+1}}\right) \\
&=-\left(\vec{u},\vect{OM_k}\right)+\left(\vec{u},\vect{OM_{k+1}}\right) \\
&=\dfrac{2(k+1)\pi}{n}-\dfrac{2k\pi}{n} \quad [2\pi]\\
&=\dfrac{2\pi}{n} \quad [2\pi]
\end{align*}$
$\quad$
On appelle $H$ le pied de la hauteur dans le triangle $OM_kM_{k+1}$.
Le triangle $OHM_{k+1}$ est donc rectangle en $H$.
Ainsi $\sin \widehat{HOM_{k+1}}=\dfrac{HM_{k+1}}{OM_{k+1}}$.
Or $\widehat{HOM_{k+1}}=\widehat{M_kOM_{k+1}}$
Donc $\sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)=\dfrac{HM_{k+1}}{1+\dfrac{k}{n}}$.
D’où $HM_{k+1}=\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\times \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
A&0,323&0,711&1,170&1,705&2,322&3,027&3,826&4,726&5,731&6,848 \\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
L6 : Tant que $A_n<7,2$
L13 : Afficher $n$
$\quad$

Exercice 4

Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématique

Partie A – Chiffrement de Hill

On décompose HILL en HI et LL
Ainsi dans un premier temps $X=\begin{pmatrix}7\\8\end{pmatrix}$
$Y=AX=\begin{pmatrix}51\\105\end{pmatrix}$
Or $51\equiv 25\quad [26]$ et $105\equiv 1 \quad [26]$.
Donc HI est codé par ZB
$\quad$
On prend maintenant le couple de lettre LL $X=\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}$
$Y=AX=\begin{pmatrix}77\\154\end{pmatrix}$
Or $77\equiv 25\quad [26]$ et $154\equiv 24 \quad [26]$.
Donc HI est codé par ZY

Donc HILL est codé par ZBZY
$\quad$

Partie B – Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

$a$ et $26$ sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Bezout il existe donc deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que
$u\times a+26 \times v=1$
En passant au modulo $26$ on a alors $u \times 26\equiv 1\quad [26]$.
$\quad$
a.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&0&1&2&3&4&5 \\
\hline
r&0&21&16&11&6&1\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. L’algorithme permet de fournir un entier naturel $u$ tel que $u\times a \equiv 1\quad [26]$
L’algorithme affiche $5$ pour $a=21$ donc $5\times 21 \times 5 \equiv 1\quad [26]$.
$\quad$
a. $12A=\begin{pmatrix} 60&24\\84&84\end{pmatrix}$
$A^2=\begin{pmatrix} 39&24\\84&63\end{pmatrix}$
Donc $12A-A^2=\begin{pmatrix}21&0\\0&21\end{pmatrix}$
Soit $12A-A^2=21I$.
b. $12A-A^2=21I \ssi (12I-A)\times A =21I$
Donc $B=12I-A$.
$\quad$
c. Si $AX=Y$ alors $BAX=BY$ soit $21IA=BY$ et donc $21X=BY$.
$\quad$

Partie C – Déchiffrement

$B=12I-A=\begin{pmatrix} 7&-2\\-7&5\end{pmatrix}$
Donc $21X=BY \ssi \begin{cases} 21x_1=7y_1-2y_2 \\21x_2=-7y_1+5y_2\end{cases}$
$\quad$
On multiplie les deux lignes de ce système par $5$.
$\begin{cases} 5\times 21x_1=35y_1-10y_2\\5\times 21x_2=-35y_1+25y_2\end{cases}$
On passe au modulo $26$ et on utilise le fait que $5\times 21 \equiv 1 \quad[26]$
Donc $\begin{cases} x_1\equiv 9r_1+16r_2 \quad [26] \\x_2=17r_1+25r_2 \quad [26] \end{cases}$
$\quad$
On prend dans un premier temps $r_1=21$ et $r_2=11$
Donc $x_1\equiv 9\times 21+16\times 11\equiv 365 \equiv 1\quad [26]$
et $x_2 \equiv 17 \times 21+25\times 11 \equiv 632 \equiv 8\quad [26]$
$\quad$
On prend ensuite $r_1=20$ et $r_2=15$
Donc $x_1\equiv 9\times 20+16\times 15\equiv 420\equiv 4\quad [26]$
et $x_2 \equiv 17 \times 20+25\times 15 \equiv 715 \equiv 13\quad [26]$
$\quad$
Ainsi VLUP est la version codé de BIEN.
$\quad$