Bac S – métropole – septembre 2014

Métropole – Septembre 2014

Bac S – Correction – Mathématiques

Vous pouvez trouver l’énoncé du sujet ici.

Exercice 1

  1.  a. $f(0) = 0 + 1 + a \times 0 \times 1 = 1$. donc $A(0;1)$ appartient bien à $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\begin{align} d &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\\
    &=\dfrac{3 – 1}{-1 – 0} \\\\
    &= -2
    \end{align}$
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $$f'(x) = 1 + a\text{e}^{-x^2} – 2x \times ax\text{e}^{-x^2} = 1 – a(2x^2 – 1)\text{e}^{-x^2}$$
    $\quad$
    d. Si la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en $A$ cela signifie donc que $f'(0) = d$.
    Par conséquent $f'(0) = 1 + a = -2$ soit $a= -3$.
    $\quad$
  2. a. si $x \in ]-1;0[$ alors $x+1 \in ]0;1[$ et $-3x \in ]0;3[$.
    la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc sur $]-1;0[$ en particulier.
    Par conséquent $-3x\text{e}^{-x^2} > 0$ et donc $f(x) > 0$.
    $\quad$
    b. Si $x<-1$ alors $2x^2> 2$ et $2x^2-1 > 1$. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    On a donc bien $f'(x) > 0$.
    $\quad$
    c. Sur l’intervalle $\left[ -\dfrac{3}{2};-1 \right]$, $f'(x) > 0$. Donc la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
    De plus $f\left(-\dfrac{3}{2} \right) \approx -0,03 <0$ et $f(-1) \approx 1,10 > 0$.
    $0 \in \left[f\left(-\dfrac{3}{2} \right);f(-1) \right]$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection) l’équation $f(x) = 0$ possède bien une unique solution $c$ dans $\left[ -\dfrac{3}{2};-1 \right]$.
    $\quad$
    $\left(-\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2} \right) \approx 0,02 >0$. Donc $c < -\dfrac{3}{2}+2\times 10^{-2}$
    $\quad$
  3. a. Par définition on a donc $\mathscr{A} = \displaystyle \int_c^0 f(x) \mathrm{d}x$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction $F$ définie sur $R$ par
    $$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x + \dfrac{3}{2}\text{e}^{-x^2}$$
    $\begin{align} I & = \displaystyle \int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x) \mathrm{d}x \\\\
    &= F(0) – F\left(-\dfrac{3}{2} \right) \\\\
    &= \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} \\\\
    &= \dfrac{15}{8} – \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2,25} ~\text{u.a.}
    \end{align}$

$\quad$

Exercice 2

  1. a. D’après l’énoncé on a $E(X) = 10 = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda = 0,1$.
    $\quad$
    b. On cherche à calculer :
    $\begin{align} P(10 \le X \le 20) & = \text{e}^{-0,1 \times 10} – \text{e}^{-0,1 \times 20} \\\\
    &= \text{e}^{-1} – \text{e}^{-2} \\\\
    & \approx 0,2325
    \end{align}$
    $\quad$
    c. On cherche donc à calculer :
    $\begin{align} P_{X \ge 10}(X \ge 10 + 5) &= P(X \ge 5) \\\\
    &= \text{e}^{-5\times 0,1} \\\\
    &=\text{e}^{-0,5} \\\\
    & \approx 0,6065
    \end{align}$
    $\quad$
  2. a. La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$ d’espérance $E(Y) = 0,8n$ et d’écart-type $\sigma = \sqrt{n\times 0,8 \times 0,2} = 0,4\sqrt{n}$
    $\quad$
    b. On a $p_1 = P(Z \le 71) = 0,5 + P(64,8 \le Z \le 71) \approx 0,9575$.
    $\quad$
    c. On cherche donc à calculer $P(Y > 70) = 1 – P(Y \le 70) = 1 – p_1 \approx 0,0425$

$\quad$

Exercice 3

  1. a. On a donc $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = (1-0,2)u_n = 0,8u_n$.
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0 = 10$.
    $\quad$
    b. Par conséquent $u_n = 10 \times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. On cherche la valeur de $n$ telle que :
    $\begin{align} u_n < 0,01 \times 10 & \Leftrightarrow 10 \times 0,8^n < 0,1 \\\\
    & \Leftrightarrow 0,8^n < 0,01 \\\\
    & \Leftrightarrow n \ln 0,8 < \ln 0,01 \\\\
    & \Leftrightarrow n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,8} \\\\
    & \Leftrightarrow n > 21
    \end{align}$
    La quantité de médicament dans le sang est inférieure à $1\%$ de la quantité initiale au bout de $21$ minutes.
    $\quad$
  2. a. $v_3 = 0,8 \times 6,4 = 5,12$
    $v_4 = 0,8 \times 5,12 + 4 = 8,10$ arrondi à $10^{-2}$ car $0,8 \times 5,12 < 5$
    $v_5 = 0,8 \times 8,10 = 6,48$ arrondi à $10^{-2}$
    $v_6 = 0,8 \times 6,48 = 5,18$ arrondi à $10^{-2}$
    $\quad$
    b. On a donc injecté initialement $10$ mL mais on a réinjecté $4$ doses de $4$ mL.
    On a donc injecté au total $26$ mL de médicament.
    $\quad$
    c. Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel.
    $\quad$ $v$ est un réel.
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $v$ la valeur $10$.
    Traitement :
    $\quad$ Pour $n$ allant de $1$ à $30$
    $\qquad$ Affecter à $v$ la valeur $0,8 \times v$
    $\qquad$ Si $v \le 6$ alors affecter à $v$ la valeur $v+2$.
    $\qquad$ Afficher $v$.
    $\quad$ Fin de boucle
    $\quad$
  3. a. Toutes le minutes il reste donc $80\%$ de la quantité précédente soit $0,8w_n$. On rajoute alors $1$ mL.
    Donc $w_{n+1} = 0,8w_n+1$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align} z_{n+1} &= w_{n+1} – 5 \\\\
    &= 0,8w_n + 1 – 5 \\\\
    &= 0,8w_n – 4 \\\\
    &= 0,8w_n – 0,8 \times 5 \\\\
    &= 0,8(w_n-5)\\\\
    &= 0,8z_n
    \end{align}$
    $\quad$
    De plus $z_0 = w_0 – 5 = 10 – 5 = 5$.
    La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $z_0=5$.
    $\quad$
    c. On a par conséquent $z_n = 5 \times 0,8^n = w_n – 5$ donc $w_n = 5 + 5 \times 0,8^n$
    $\quad$
    d. $-1<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = 5$.
    Au bout d’un certain temps, l’organisme conservera $5$ mL de médicament dans le sang avec ce programme.

$\quad$

Exercice 4

(Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

  1. On teste l’équation fournie pour chacun des points :
    $A$ : $4 + 0 = 4$
    $B$ : $4 + 0 = 4$
    $D$ : $2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \times 2 = 4$.
    L’équation du plan $(ABD)$ est donc bien $4x + z\sqrt{2} = 4$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\vec{u}\left(1;0;\sqrt{2} \right)$.
    Or $\vec{CD}\left(2;0;2\sqrt{2} \right) = 2\vec{u}$.
    Donc $\mathscr{D}$ est parallèle à $(CD)$.
    De plus en prenant $t=0$ on constate que $O$ appratient à $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Le point $G$ appartient à la fois au plan $(ABD)$ et à la droite $\mathscr{D}$. Ses coordonnées vérifient donc toutes leurs équations.
    On obtient ainsi $4t+t\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ soit $6t = 4$ d’où $t = \dfrac{2}{3}$.
    Par conséquent $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};0;\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.
    $\quad$
  3. a. On a donc $L\left(\dfrac{1 – 2}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$ soit $L\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{-\sqrt{3}}{2};0\right)$.
    Par conséquent $\vec{BL}\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{3}{2}\sqrt{3};0\right) = -\dfrac{3}{2}\vec{OB}$.
    Donc $(BL)$ passe par $O$.
    $\vec{AC}\left(-3;\sqrt{3};0\right)$
    De plus $\vec{BL}.\vec{AC} = -\dfrac{1}{2} \times (-3) + \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} + 0 = \dfrac{3}{2} – \dfrac{3}{2} = 0$.
    Les droites $(BL)$ et $(AC)$ donc sont bien orthogonales.
    $\quad$
    b. On a $AB = 2\sqrt{3}$, $AC= \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$ et $BC= \sqrt{(-2-1)^2+3} = 2\sqrt{3}$.
    Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
    D’après la question 3.a. On a $\vec{BL} = \dfrac{3}{2}\vec{BO}$ donc $\vec{BO} = \dfrac{2}{3}\vec{BL}$.
    $BL$ est la médiane issue de $B$ du triangle $ABC$. Par conséquent le centre de gravité (qui est aussi le centre du cercle circonscrit) se trouve au $\dfrac{2}{3}$ de cette médiane en partant de $B$. Il s’agit par conséquent de $O$.
    $\quad$
  4. $AD = \sqrt{4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
    $BC = \sqrt{ 4 \times 2 + 1 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
    $CD = \sqrt{4 \times 2 +4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
    Les six arêtes ont bien la même longueur. Le tétraèdre est régulier.

$\quad$

 

Exercice 4

(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

  1. a. On a $a_1 = 0,8a_0+0,1b_0 = 0,8 \times 0,5 + 0,1 \times 0,5 = 0,45$ et $b_1 = 1 – a_1 = 0,55$.
    Donc $U_1=\begin{pmatrix}0,45\\\\0,55 \end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a donc $a_{n+1} = 0,8a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,2a_n+0,9b_n$.
    $\quad$
    c. Si on pose $M=\begin{pmatrix} 0,8&0,1 \\\\0,2&0,9 \end{pmatrix}$ on a ainsi $U_{n+1}=MU_n$
    $\quad$
    d. Au bout de $3$ jours on a $U_3 = M^3U_0$ $= \begin{pmatrix}0,3905\\\\0,6095\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a. $P^2 = \begin{pmatrix}3&0\\\\0&3\end{pmatrix}$
    Par conséquent $P \times P = 3I_2$ cela signifie donc que $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{3}P$
    $\quad$
    b. $P^{-1}MP = \begin{pmatrix}1&0\\\\0&0,7 \end{pmatrix} = D$
    $\quad$
    c. Démontrons ce résultat par récurrence
    Initialisation : si $n=1$ alors $P^{-1}MP = D$ soit $M=PDP^{-1}$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $M^n = PD^nP^{-1}$.
    Donc $ M^{n+1} = M\times M^n = PDP^{-1} \times PD^n\times P^{-1} = PDD^nP^{-1} = PD^nP^{-1}$.
    La propriété est vraie au rang $n$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on a $M^n = PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  3. On a $U_{n}=M^nU_0 = \begin{pmatrix} 0,5 \times \dfrac{1 + 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \times \dfrac{1 – 0,7^n}{3} \\\\0,5 \times \dfrac{2 – 2\times 0,7^n}{3} + 0,5 \dfrac{2 + 0,7^n}{3} \end{pmatrix}$
    $-1<07<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0,7^n = 0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n = \dfrac{2}{3}$.
    Sur le long terme la cage A contiendra donc $\dfrac{1}{3}$ de la population des souris et la cage B les deux tiers.