Bac S – Polynésie – Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc
    $\begin{align*}1-\ic &= \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\ic}{\sqrt{2}}\right) \\\\
    &=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)\\\\
    &=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. On a , pour tout $\theta \in \R$ :
    $\begin{align*}\e^{\ic \theta}(1-\ic) &= \left(\cos(\theta) + \ic \sin(\theta)\right)(1-\ic) \\\\
    &= \cos(\theta)-\ic\cos(\theta) +\ic\sin(\theta) +\sin (\theta) \\\\
    &= \cos(\theta) + \sin(\theta) + \ic\left(\sin (\theta) – \cos (\theta)\right)
    \end{align*}$
    $\quad$
    On a également la forme exponentielle :
    $\e^{\ic \theta}(1-\ic) = \sqrt{2}\e^{\ic\theta}\e^{-\ic\pi/4} = \sqrt{2}\e^{\left(\theta – \pi/4\right)\ic}$
    $\quad$
  3. Par identification des parties réelles on obtient : $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Il semblerait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$.
    $\quad$
    b. Il semblerait que la courbe $\mathscr{C}_f$ soit toujours en-dessous de la courbe $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
    c. L’écart semble entre ces deux courbes semble maximal pour $x=1,5$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} g(x)-f(x)&=\e^{-x}-\e^{-x}\cos(x)\\\\
    &=\e^{-x}\left(1-\cos(x)\right)
    \end{align*}$
    Or la fonction exponentielle est strictement positive et pour tout réel $x$ on a, $ \cos(x) \le 1$.
    Par conséquent $g(x)-f(x) \ge 0$ et la courbe $\mathscr{C}_g$ est au-dessus de $\mathscr{C}_f$ sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\left. \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} -x = -\infty\\\\ \lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0 \end{array}\right\}  \lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
    Puisque, pour tout réel $x$ de $[0;+\infty[$, on a $-1 \le \cos(x) \le 1$, alors $-\e^{-x} \le f(x) \e^{-x}$.
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
    La droite d’équation $y=0$ est, par conséquent, également asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} h'(x) &=-\e^{-x} -\left(-\e^{-x}\cos(x)-\e^{-x}\sin(x)\right) \\\\
    &=\e^{-x}\left(\cos(x)+\sin(x)-1\right) \\\\
    &=\e^{-x}\left[\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right] \qquad \text{d’après A.3}
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $-\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{\pi}{4}$.
    Or sur $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]$ on a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\le \cos(y) \le 1$.
    Donc sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $1 \le \sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
    Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \ge 0$ sur cet intervalle.
    $\quad$
    Sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, on a $\dfrac{\pi}{4} \le x-\dfrac{\pi}{4} \le \dfrac{7\pi}{4}$.
    Or sur $\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$ on a $-1\le \cos(y) \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
    Donc sur $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$, $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$.
    Ainsi $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1 \le 0$ sur cet intervalle.
    $\quad$
    c. La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $\sqrt{2}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) – 1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    Bac S - polynésie-septembre 2015-ex1
    $\quad$
  5. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et positive sur $[0;2\pi]$.
    Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est donnée par :
    $\begin{align*} \mathscr{A} &=\displaystyle \int_0^{2\pi} h(x)\mathrm{d}x \\\\
    &= H(2\pi)-H(0) \\\\
    &= \dfrac{1}{2}\e^{-2\pi}(-2+1) – \dfrac{1}{2}(-2+1)\\\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(1-\e^{-2\pi}\right) \text{u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 2

Partie A

  1. On veut calculer $P(T \ge 60) = 0,5 – P(40 \le T \le 60) \approx 0,0062$
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, on a $\mu’=50$.
    On sait également que :
    $\begin{align*} P(T’ \le 43) = 0,1 & \ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le \dfrac{43-50}{\sigma’}\right)=0,1 \\\\
    &\ssi P\left(\dfrac{T’-50}{\sigma’} \le -\dfrac{7}{\sigma’}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $\dfrac{T’-50}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
    Par conséquent à l’aide de la touche Inverve Loi Normale on obtient $-\dfrac{7}{\sigma’} \approx -1,2816$ soit $\sigma’ \approx 5,4621$.
    $\quad$

Partie B

On est en mesure de construire l’arbre suivant :

Bac S - polynésie-septembre 2015-ex2

  1. D’après la formule des probabilités totales, on a alors :
    $\begin{align*} p(D)&=p(M\cap D) + p\left(M \cap \overline{D}\right) \\\\
    &=0,1 \times 0,82 + 0,9 \times 0,27 \\\\
    &=0,325
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} p_{\overline{D}}(M) &= \dfrac{p\left(M \cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)} \\\\
    &= \dfrac{0,1 \times 0,18}{1-0,325}\\\\
    &=\dfrac{2}{75}\\\\
    &\approx 0,0267
    \end{align*}$
    Cela signifie donc qu’environ $2,67\%$ des individus ayant un dépistage négatif sont atteints par la maladie étudiée.
    $\quad$
  3. Calculons :
    $\begin{align*} p_D(M) &= \dfrac{p(D\cap M)}{p(D)} \\\\
    &= \dfrac{0,1 \times 0,82}{0,325} \\\\
    & = \dfrac{82}{325} \\\\
    & \approx 0,2523
    \end{align*}$
    Il y a donc effectivement environ une chance sur quatre que le patient ait contracté la maladie.
    $\quad$

Partie C

On a $n=300$ et $p=0,82$
Ainsi $n\ge 30$, $np=246\ge 5$ et $n(1-p)=54\ge 5$.
Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique. Le seuil choisi sera de $95\%$

$$\begin{align*} I_{300} &= \left[0,82-1,96\sqrt{\dfrac{0,82 \times 0,18}{300}};0,82+1,96\sqrt{\dfrac{0,82 \times 0,18}{300}}\right] \\\\
& \approx[0,77;0,87]
\end{align*}$$

Or la fréquence observée quand les personnes ne sont pas à jeun est $f=0,74 \notin I_{300}$

Ainsi ce dépistage ne peut pas, au risque de $5\%$, être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun.

$\quad$

Exercice 3

  1. Dans le repère $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$, on a :
    $C(1;1;0)$, $E(0;0;1)$, $I(0,5;0;0)$, $J(0;1;0,5)$ et $K(0,5;1;1)$
    Ainsi $\vec{CE}(-1;-1;1)$, $\vec{IJ}(-0,5;1;0,5)$ et $\vec{IK}(0;1;1)$.
    $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent $\vec{CE}.\vec{IJ} = 0,5-1+0,5 = 0$ et $\vec{CE}.\vec{IK} = -1+1=0$.
    Le vecteur $\vec{CE}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    $\quad$
  2. On a $B(1;0;0)$ et $D(0;1;0)$. Ainsi $\vec{BD}(-1;1;0)$.
    Onc $\vec{BD}.\vec{CE} = 1-1=0$.
    Les deux vecteurs sont donc orthogonaux.
    Puisque $\vec{CE}$ est normal à $(IJK)$ alors $\vec{BD}$ est parallèle à $(IJK)$.
    $\quad$
  3. Soit $M(x;y;z)$ un point de $(CE)$. $\vec{BM}(x-1;y;z)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CE)$ est donnée par :
    $$\begin{cases} x=1-t \\\\y=1-t\\\\z=t\end{cases} \qquad t\in\R$$
    Les plans $(BDM)$ et $(IJK)$ soient parallèles si, et seulement si, $\vec{CE}$ est normal à $(BDM)$.
    On sait déjà que $\vec{CE}$ est orthogonal à $\vec{BD}$.
    Par conséquent, les deux plans sont parallèles si, et seulement si, $\vec{CE}$ et $\vec{BM}$ sont orthogonaux.
    Cela est alors équivalent à $\vec{CE}.\vec{BM}=0 \ssi 1-x-y+z=0$.
    En injectant dans cette équation les coordonnées des points fournies par la représentation paramétrique de $(CE)$, on obtient :
    $$1-(-1+t)-1+t+t=0 \ssi 3t=1 \ssi t=\dfrac{1}{3}$$.
    Ainsi, en reprenant la représentation paramétrique de $(CE)$, les coordonnées de $M$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Les diviseurs positifs de $6$, sont $1,2,3$ et $6$. Ainsi $S(6) = 12$.
    Les diviseurs positifs de $7$ sont $1$ et $7$. Ainsi $S(7)=8$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $2$, $1$ et $n$ sont des diviseurs positifs de $n$ distincts.
    Ainsi $S(n) \ge 1+n$.
    $\quad$
    b. Pour que $S(n)=1+n$ il faut que $n$ ne soit divisible exactement par $2$ nombres : $1$ et lui-même. C’est donc un nombre premier.
    $\quad$
  3. a. Si $n=p\times q$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts, alors les seuls diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $p$, $q$ et $pq$.
    Par conséquent $S(n)=1+p+q+pq = (1+p)(1+q)$.
    $\quad$
    b. Prenons $n=4$ et $m=2$.
    Les diviseurs positifs de $n$ sont $1$, $2$ et $4$. Ainsi $S(4)=7$.
    Puisque $2$ est premier, $S(2) = 3$
    Les diviseurs positifs de $8$ sont $1$, $2$, $4$ et $8$. Ainsi $S(8) = 15$.
    Par conséquent $S(8) \neq S(4) \times S(2)$.
    La proposition faite est donc fausse.
    $\quad$
  4. a. $n=p^k$ ou $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul.
    Les diviseurs de $n$ sont donc les $p^i$ pour $i\in \left\{0;1;\ldots;k\right\}$.
    $\quad$
    b. Ainsi $S(n) = \displaystyle \sum_{i=0}^k p^i= 1+p+p^2+\ldots +p^k = \dfrac{1-p^{k+1}}{1-p}$.
    $\quad$
  5. a. $n=p^{13}\times q^7$ avec $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts.
    Soit $m$ un diviseur de $n$.
    Supposons que $m$ soit divisible par un nombre premier $d$ différent de $p$ et $q$.
    Puisque $d$ divise $m$, il divise également $n$.
    Cela signifie donc que $m$ divise soit $p$ soit $q$. Ce qui est impossible.
    Donc $m$ s’écrit sous la forme $p^s\times q^t$ où $s$ et $t$ sont des entiers naturels.
    $s \le 13$ car $p^{14}$ ne divise pas $n$. De même $t \le 7$ car $q^8$ ne divise pas $n$.
    Par conséquent, il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
    $\quad$
    Réciproquement  supposons qu’il existe deux entiers naturels $s$ et $t$, tels que $0 \le s\le 13$ et $0 \le t \le 7$ tel que $m=p^s\times q^t$
    Alors $n=p^{13}\times q^7 = p^s\times p^{13-s}\times q^t\times q^{7-t} = m \times p^{13-s}\times q^{7-t}$.
    $m$ divise bien $n$.
    $\quad$
    b. On a donc :
    $$\begin{align*} S(n) &= \displaystyle \sum_{s=0}^{13} \sum_{t=0}^{7} p^s\times q^t \\\\
    &= \sum_{s=0}^{13}  p^s\times\sum_{t=0}^{7} q^t \\\\
    &= \sum_{s=0}^{13} p^s\times\dfrac{1-q^8}{1-q} \\\\
    &= \left(\sum_{s=0}^{13} p^s\right) \times\dfrac{1-q^8}{1-q}\\\\
    &= \dfrac{1-p^{14}}{1-p} \times \dfrac{1-q^8}{1-q}
    \end{align*}$$