Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2022

Amérique du Sud – 26 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(D\cap A)&=P(D)\times P_D(A) \\
    &=0,01\times 0,97 \\
    &=0,009~7\end{align*}$
    La probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active est égale à $0,009~7$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme d’active est :
    $\begin{align*} P_A(D)&=\dfrac{P(A\cap D)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,009~7}{0,014~65} \\
    &\approx 0,662\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(D,\conj{D}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)=P(A\cap D)+P\left(A\cap \conj{D}\right) &\ssi 0,014~65=0,009~7+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &\ssi 0,99\times P_{\conj{D}}(A)=0,004~95 \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=\dfrac{0,004~95}{0,99} \\
    &\ssi P_{\conj{D}}(A)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  4. La probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} p&=P\left(\left(\conj{A}\cap D\right)\cup\left(A\cap \conj{D}\right)\right) \\
    &=P(\left(\conj{A}\cap D\right)+P\left(A\cap \conj{D}\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
    &=P(D)\times P_D\left(\conj{A}\right)+P\left(\conj{D}\right))\times P_{\conj{D}}(A) \\
    &=0,01\times 0,03+0,99\times 0,005 \\
    &=0,005~25 \\
    &<0,01\end{align*}$

Partie B

  1. On répète $5$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,005~25$.
    $\quad$
  2. La probabilité qu’un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,005~25\times (1-0,005~25)^4 \\
    &\approx 0,025~7\end{align*}$
    $\quad$
  3. La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,005~2)^5 \\
    &\approx 0,026~0\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $n$ systèmes d’alarme prélevés.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,005~25$.

$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,07&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,07 \\
&\ssi P(Y=0)\pp 0,93 \\
&\ssi (1-0,005~25)^n \pp 0,93 \\
&\ssi n\ln(0,994~75) \pp \ln(0,93) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)}\approx 13,79$

Il faut donc prélever au moins $14$ systèmes d’alarme pour que la probabilité d’avoir au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieur à $0,07$.

$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. 
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{5}\times 4^2 \\
    &=\dfrac{16}{5} \end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{5}\times \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 \\
    &=\dfrac{256}{125} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On peut écrire :
    $\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u = 4} \\
    \quad \text{for i in range(1,p+1) :} \\
    \qquad \text{u = u**2 / 5} \\
    \quad \text{return u}\end{array}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~~ 0<u_n\pp 4$.
    Initialisation : $u_0=4$ donc $P(0)$ est vraie
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} 0<u_n\pp 4 &\Rightarrow 0<u_n^2\pp 16 \\
    &\Rightarrow 0<\dfrac{1}{5} u_n^2 \pp \dfrac{16}{5} \\
    &\Rightarrow0<u_{n+1}\pp 4\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n\pp 4$.
    $\quad$
    b. Soit $n \in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{5}u_n^2-u_n \\
    &=\dfrac{u_n}{5}\left(u_n-5\right)\end{align*}$
    Or $u_n>0$ et $u_n-5<0$ car $u_n\pp 4$
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  3. a. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x^2$. Elle est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    La suite $\left(u_n\right)$ est convergente et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Ainsi $\ell =\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \ell =\dfrac{1}{5}\ell^2 &\ssi 5\ell-\ell^2=0 \\
    &\ssi \ell(5-\ell)=0 \\
    &\ssi \ell=0 \text{ ou } \ell =5 \end{align*}$
    Pour tout $n\in \N$ on a $0<u_n\pp 4$.
    Par conséquent $\ell$ ne peut pas être égale à $5$.
    Ainsi $\ell=0$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{5}u_n^2\right) \\
    &=\ln\left(u_n^2\right)-\ln(5) \\
    &=2\ln\left(u_n\right)-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-\ln(5) \\
    &=2v_n-\ln(5)-\ln(5) \\
    &=2\left(v_n-\ln(5)\right) \\
    &=2w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme
    $\begin{align*} w_0&=v_0-\ln(5)\\
    &=ln(4)-\ln(5) \\
    &=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $w_n= \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n$.
    Donc
    $\begin{align*} v_n&=w_n+\ln(5) \\
    &=\ln(5)+\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n \end{align*}$
    $\quad$
  5. $\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0$ et $1<2$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n=-\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty$
    Or $v_n=\ln\left(u_n\right)$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0^+$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} g(\e)&=1+\e^2\left(1-2\ln(\e)\right) \\
    &=1+\e^2(1-2) \\
    &=1-\e^2 \\
    &\approx -6,39\end{align*}$
    Donc $g(\e)<0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Par hypothèse la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout $x>0$
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\left(1-2\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{-2}{x} \\
    &=2x-4x\ln(x)-2x \\
    &=-4x\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout $x>0$ on a $-4x<0$.
    $\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$.
    Ainsi $f'(x)=0 \ssi x=1$ et $f'(x)<0 \ssi 0<x<1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $g(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    $\quad$
    d. D’après la calculatrice $g(1,89) \approx 0,02>0$ et $g(1,90) \approx -0,02<0$.
    Donc $1,89 <\alpha<1,90$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.
    Ainsi:
    – pour tout $x\in [1;\alpha[$ on a $g(x)>0$;
    – $g(\alpha)=0$;
    – pour tout $x\in ]\alpha;+\infty[$ on a $g(x)>0$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $\ln(x)\pg 0$ donc $g\dsec(x)\pp 0$.
    La fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
    $\quad$
  2. a. $g(1)=2$ et $g(\alpha)=0$.
    L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
    Or le coefficient directeur de cette droite est
    $\begin{align*} a&=\dfrac{0-2}{\alpha-1} \\
    &=\dfrac{-2}{\alpha-1}\end{align*}$
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi 0=\dfrac{-2}{\alpha-1}\times \alpha+b \\
    &\ssi b=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\end{align*}$
    Ainsi l’équation réduite de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est concave sur $[1;\alpha]$. Ainsi la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de toutes ses cordes sur cet intervalle, en particulier de la droite $(AB)$.
    Ainsi, pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a donc $H(0;3;2)$ et $G(5;3;2)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{HG}\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$
    Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite $(GH)$ est $\begin{cases} x=5t\\y=3\\z=2\end{cases}$.
    $\quad$
  2. a. $M$ a donc pour coordonnées $(x;3;2)$ avec $x\in [0;5]$.
    Par conséquent $\vect{HM}\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}$
    $\vect{HM}=k\vect{HG}\ssi  x=5k$.
    Donc $M$ a pour coordonnées $(5k;3;2)$.
    $\quad$
    b. $\vect{AM}\begin{pmatrix} 5k\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix} 5k-5\\0\\2\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{AM}.\vect{CM}&=5k(5k-5)+0+4\\
    &=25k^2-25k+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le triangle $AMC$ est rectangle en $M$
    si, et seulement si, $\vect{AM}.\vect{CM}=0$
    si, et seulement si, $25k^2-25k+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\delta=(-25)^2-4\times 4\times 25=225>0$
    Les solutions de cette équation sont donc $k_1=\dfrac{25-\sqrt{225}}{50}=\dfrac{1}{5}$ et $k_2=\dfrac{25+\sqrt{225}}{50}=\dfrac{4}{5}$
    Ainsi, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ est rectangle si, et seulement si, $k=\dfrac{1}{5}$ ou $k=\dfrac{4}{5}$.
    $\quad$
  3. a. On a $A(0;0;0)$, $C(5;3;0)$ et $D(0;3;0)$
    Une équation cartésienne du plan $(ACD)$ est donc $z=0$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, un vecteur normal au plan $(ACD)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
    On a $\vect{MK}\begin{pmatrix} 0\\0\\-2\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{MK}$ sont colinéaires et $\vect{MK}$ un vecteur normal au plan $(ACD)$.
    De plus, la côte du point $K$ est $0$ donc $K$ appartient au plan $(ACD)$.
    Par conséquent, $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. $AD=3$, $DC=5$. Donc l’aire du triangle $ACD$ est $\mathscr{A}=\dfrac{15}{2}$.
    De plus $MK=2$.
    Le volume, en unités de volume, du tétraèdre $MACD$ est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times MK\times \mathscr{A} \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\times \dfrac{15}{2} \\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le point $M$ de coordonnées $(1;3;2)$ correspond au point obtenu à l’aide $k=\dfrac{1}{5}$ à la question 2.a.
    Par conséquent, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.
    $\begin{align*} AM^2&=1+9+4 \\
    &=14\end{align*}$
    Donc $AM=\sqrt{14}$
    $\begin{align*} MC^2&=(-4)^2+0+2 \\
    &=20\end{align*}$
    Donc $MC=\sqrt{20}$
    L’aire du triangle $AMC$ rectangle en $M$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}’&=\dfrac{AM\times MC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{14\times 20}}{2} \\
    &=\sqrt{70}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre $AMCD$ est
    $\begin{align*} V=5&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}’\times DP =5\\
    &\ssi \dfrac{1}{3}\times \sqrt{70}\times DP=5 \\
    &\ssi DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}} \end{align*}$
    Par conséquent $DP\approx 1,8$.
    $\quad$

 

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : Probabilités

PARTIE A

Le système d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l’alarme s’active avec une probabilité de $0,97$.
La probabilité qu’un danger se présente est de $0,01$ et la probabilité que l’alarme s’active est de $0,014~65$.
On note $A$ l’évènement « l’alarme s’active » et $D$ l’événement « un danger se présente ».
On note $\conj{M}$ l’évènement contraire d’un évènement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l’évènement $M$.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme s’active.
    Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est présenté est $0,005$.
    $\quad$
  4. On considère qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se présente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se présente et qu’elle s’active.
    Montrer que la probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à $0,01$.
    $\quad$

PARTIE B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d’alarme. On prélève successivement et au hasard $5$ systèmes d’alarme dans la production de l’usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note $S$ l’évènement « l’alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que $P(S) = 0,005~25$.
On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d’alarme prélevés.
Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

  1. Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
    $\quad$

PARTIE C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d’alarme.
Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d’avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : Suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{5}u_n^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel $p$.
    Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def suite_u(p) :}\\
    \quad \text{u= …}\\
    \quad \text{for i in range(1,…) :}\\
    \qquad \text{u =…}\\
    \quad \text{return u}\end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \pp 4$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l’égalité $\ell=\dfrac{1}{5}\ell^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln\left(u_n\right)$ et $w_n = v_n-\ln(5)$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n-\ln(5)$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $2$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)$
    $\quad$
  5. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$ et retrouver $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
    $\quad$

$\quad$

 

 

Exercice 3     7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$g(x)=1+x^2\left[1-2\ln(x)\right]$$

La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

  1. Justifier que $g(\e)$ est strictement négatif.
    $\quad$
  2. Justifier que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $g'(x)=-4x\ln(x)$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
  4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$

PARTIE B

  1. On admet que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g\dsec(x)= -4\left[\ln(x)+1\right]$.
    Justifier que la fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1 ; \alpha]$.
    $\quad$
  2. Sur la figure ci-dessous, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisses respectives $1$ et $\alpha$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que
$AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5; 0; 0)$, $(0; 3; 0)$ et $(0; 0; 2)$.

  1. a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.
    $\quad$
  2. Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vect{HM}=k\vect{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l’intervalle $[0; 1]$.
    a. Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k ; 3 ; 2)$.
    $\quad$
    b. En déduire que $\vect{AM}.\vect{Cm}=25k^2-25k+4$
    $\quad$
    c. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.
    $\quad$

Dans toute la suite de l’exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 3; 2)$.
On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ .
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule  $\dfrac{1}{3}\times$ Aire de la base $\times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

  1. On considère le point $K$ de coordonnées $(1; 3; 0)$.
    a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.
    $\quad$
    b. Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.
    $\quad$
  2. On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.
    Calculer la distance $DP$ en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.
    $\quad$

$\quad$