Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Liban – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(J\cap C)&=P(J)\times P_J(C)\\
    &=0,2\times 0,06 \\
    &=0,012\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(C)&=P(J\cap C)+P\left(\conj{J}\cap C\right) \\
    &=0,012+P\left(\conj{J}\right)P_{\conj{J}}(C)\\
    &=0,012+0,8\times 0,125 \\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C\left(\conj{J}\right)&=\dfrac{P\left(C\cap \conj{J}\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,8\times 0,125}{0,112} \\
    &\approx 0,893\end{align*}$
    La probabilité que le skieur ait un forfait SÉNIOR sachant qu’il a choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,893$.
    $\quad$
  5. Un skieur ayant choisi l’option coupe-file a moins de vingt-cinq ans ou plus de vingt-cinq ans.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(J)&=1-P_C\left(\conj{J}\right) \\
    &\approx 0,107\\
    &<0,15\end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

Partie B

  1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,112$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,112)^{30} \\
    &=1-0,888^{30} \\
    &\approx 0,972\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,972$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
    &=0,888^{30}+\dbinom{30}{1}0,112^1\times 0,888^{29} \\
    &\approx 0,136\end{align*}$
    La probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,136$.
    $\quad$
  4. L’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=30\times 0,112 \\
    &=3,36\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On appelle $v_n$ le volume d’eau, en litres, contenu dans la bouteille au bout de $n$ heures.
    On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=(1-0,15)v_n$ soit $v_{n+1}=0,85 v_n$.
    $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $1$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=0,85^n$.
    $\begin{align*} u_n \pp 0,25&\ssi 0,85^n \pp 0,25 \\
    &\ssi n\ln(0,85)\pp \ln(0,25) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)} \qquad \text{car } \ln(0,85)<0 \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)}\approx 8,53$.
    C’est donc au bout de $9$ heures que le volume d’eau devient inférieur à un quart de litre.
    Réponse c
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n=6$.
    Initialisation : $u_0=6$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2} u_n+3 \\
    &=\dfrac{1}{2}\times 6+3 \\
    &=6\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n, $u_n=6$.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Soit $x\in ]0;+\infty[$
    $\begin{align*} f(2x)&=4\ln(3\times 2x) \\
    &=4\left(\ln(2)+\ln(3x)\right) \\
    &=4\ln(2)+4\ln(3x)\\
    &=\ln\left(2^4\right)+f(x)\\
    &=\ln(16)+f(x)\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x>1$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$ : $C_g$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
    $\quad$
    $C_g$ ne peut avoir d’asymptote verticale qu’en $1$.
    Pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}$.
    Ainsi $g(x)$ est le taux d’accroissement de la fonction $\ln$ entre $1$ et $x$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 1^+} g(x)=\ln'(1)=\dfrac{1}{1}$.
    $C_g$ n’a pas d’asymptote verticale.
    Réponse c
    $\quad$
  5. $h$ est définie sur $]0;2]$. Par conséquent :
    $\begin{align*} h(x)=0&\ssi 1+2\ln(x)=0 \\
    &\ssi 2\ln(x)=-1 \\
    &\ssi \ln(x)=-0,5 \\
    &\ssi x=\e^{-0,5}\end{align*}$
    Or $\e^{-0,5}\in \left[\dfrac{1}{\e};2\right]$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. D’une part
    $\begin{align*} h\left(\sqrt{\e}\right)&=\left(\sqrt{\e}\right)^2\left(1+2\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
    &=\e\left(1+2\times \dfrac{1}{2}\ln(\e)\right) \\
    &=2\e\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} h’\left(\sqrt{\e}\right)&=4\left(\sqrt{\e}\right)\left(1+\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
    &=4\sqrt{e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\\
    &=6\sqrt{\e}\end{align*}$
    Une équation de la tangente à $C_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est donc $y=6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e$
    Or
    $\begin{align*} 6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e&=6\sqrt{\e}x-6\e+2\e \\
    &=6\sqrt{\e}x-4\e \\
    &=\left(6\e^{1/2}\right).x-4\e\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  7. Pour tout réel $x\in ]0;2]$ on a
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(1+\ln(x)\right)+4x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4+4\ln(x)+4 \\
    &=8+4\ln(x)\end{align*}$
    $\begin{align*} h\dsec(x)>0&\ssi 8+4\ln(x)>0 \\
    &\ssi 4\ln(x)>8 \\
    &\ssi \ln(x)>0,5 \\
    &\ssi x>\sqrt{\e}\end{align*}$.
    On a, de même, $h\dsec(x)=0 \ssi x=\sqrt{\e}$.
    $\sqrt{2}\in ]0;2]$.
    La courbe $C_h$ possède donc un unique point d’inflexion sur $]0;2]$.
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. a. $\lim\limits_{x\to -\infty} 0,5x-2=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{0,5x-2}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ non nul on a
    $\begin{align*} 1+0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right) &=1+x-\e^{-0,5x}\times \e^{-2} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} 0,5x=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}=+\infty$.
    Par produit des limites, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=1-0,5\e^{0,5x-2}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} f'(x)<0&\ssi 1-0,5\e^{0,5x-2}<0 \\
    &\ssi -0,5\e^{0,5x-2}<-1 \\
    &\ssi \e^{0,5x-2}>2 \\
    &\ssi 0,5x-2>\ln(2) \\
    &\ssi 0,5x>2+\ln(2) \\
    &\ssi x>4+2\ln(2)\end{align*}$
    Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est bien $\left]4+2\ln(2);+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. En raisonnant de la même façon on obtient $f'(x)=0 \ssi x=4+2\ln(2)$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\begin{align*} f\left(4+2\ln(2)\right)&=1+4+2\ln(2)-\e^{2+\ln(2)-2} \\
    &=5+2\ln(2)-2\\
    &=3+2\ln(2)\end{align*}$
    $\quad$
  4. $4+2\ln(2)>0$.
    La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;0]$.
    $f(-1)=-\e^{-2,5}<0$ et $f(0)=1-\e^{-2}>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution sur l’intervalle $[-1;0]$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} \pp 4$
    Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=2-\e^{-1,5}\approx 1,78$
    Donc $u_0\pp u_1\pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty;4+2\ln(2)\right]$ donc sur $[0;4]$.
    $\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} \pp 4&\Rightarrow f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4) \\
    &\Rightarrow u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 5-1\end{align*}$
    Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $4$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  2. a. $\ell$ est solution de l’équation $x=f(x)$
    $\begin{align*} x=f(x)&\ssi 1+x-\e^{0,5x-2}=x \\
    &\ssi 1-\e^{0,5x-2}=0 \\
    &\ssi \e^{0,5x-2}=1 \\
    &\ssi 0,5x-2=0 \\
    &\ssi 0,5x=2 \\
    &\ssi x=4\end{align*}$
    Ainsi $\ell =4$.
    $\quad$
    b. La fonction $\texttt{valeur}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>a$.
    Cela signifie donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>3,99$ est $12$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a $R(3;2;0)$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} -4\\4\\0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Une équation du plan $\mathscr{P}_1$ est donc de la forme $-4x+4y+d=0$.
    $R(2;2;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}_1$ donc $-12+8+d=0 \ssi d=4$.
    Une équation de $\mathscr{P}_1$ est donc $-4x+4y+4=0$ soit $x-y-1=0$.
    $\quad$
    c. $10-9-1=0$ donc $E(10;9;8)$ appartient à $\mathscr{P}_1$.
    $\vect{EA}\begin{pmatrix} -5\\-9\\-9\end{pmatrix}$ et $\vect{EB}\begin{pmatrix} -9\\-5\\-9\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} EA&=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2+(-9)^2}\\
    &=\sqrt{25+81+81} \\
    &=\sqrt{187}\end{align*}$
    $\begin{align*} EB&=\sqrt{(-9)^2+(-5)^2+(-9)^2}\\
    &=\sqrt{187}\end{align*}$
    On a donc $EA=EB$.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
    $\vect{AB}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires.
    Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
    $\quad$
    b. Soit $t\in \R$.
    $\begin{align*} (2+t)-(1+t)-1&=2+t-1-t-1 \\
    &=0\end{align*}$
    La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_1$.
    $\begin{align*} (2+t)-t-2&=2+t-t-2 \\
    &=0\end{align*}$
    La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_2$.
    L’intersection de deux plans et une droite.
    Ainsi une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\y+z-3=0\end{cases} &\ssi  \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\1+t+t-3=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\t=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=2\\z=1\end{cases}\end{align*}$
    La droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathscr{P}_3$ en $\Omega(3;2;1)$.
    $\quad$
  4. a. $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AB]$ donc $\Omega A=\Omega B$.
    $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AC]$ donc $\Omega A=\Omega C$.
    $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AD]$ donc $\Omega A=\Omega D$.
    Ainsi $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D$.
    $\quad$
    b. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent donc à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega A$.
    Or
    $\begin{align*} \Omega A&=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2+(-1-1)^2} \\
    &=\sqrt{4+4+4} \\
    &=2\sqrt{3}\end{align*}$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :

  • un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
  • un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge,
l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées
mécaniques.

On admet que :

  • $20\%$ des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
  • $80\% des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
  • parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, $6\%$ choisissent l’option coupe-file ;
  • parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5\%$ choisissent l’option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :

  • $J$ : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
  • $C$ : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $P(J\cap C)$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file
    est égale à $0,112$.
    $\quad$
  4. Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de $15\%$ des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.
    $\quad$

Partie B
On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est
égale à $0,112$.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi l’option coupe-file.

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
    Donner les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
    Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
    Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : suites, fonctions, fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Un récipient contenant initialement $1$ litre d’eau est laissé au soleil.
    Toutes les heures, le volume d’eau diminue de $15\%$.
    Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
    a. $2$ heures
    b. $8$ heures
    c. $9$ heures
    d. $13$ heures
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$ et $u_0=6$. On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
    b. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
    c. la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas monotone.
    d. la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=4\ln(3x)$
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ , on a :
    a. $f(2x)=f(x)+\ln(24)$
    b. $f(2x)=f(x)+\ln(16)$
    c. $f(2x)=\ln(2)+f(x)$
    d. $f(2x)=2f(x)$
    $\quad$
  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par :
    $$g(x)\dfrac{\ln(x)}{x-1}$$
    On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
    La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
    a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
    b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
    c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
    d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]0 ; 2]$ par : $$h(x) = x^2\left(1 + 2 \ln(x)\right)$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.
On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; 2]$.
On note $h’$ sa dérivée et $h\dsec$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; 2]$, on a :$$h'(x)=4x\left(1+\ln(x)\right)$$

  1. Sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{\e};2\right]$, la fonction $h$ s’annule :
    a. exactement $0$ fois.
    b. exactement $1$ fois.
    c. exactement $2$ fois.
    d. exactement $3$ fois.
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est :
    a. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x$
    b. $y=\left(6\sqrt{\e}\right).x+2\e$
    c. $y=6\e^{\frac{x}{2}}$
    d. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x-4\e$
    $\quad$
  3. Sur l’intervalle $]0 ; 2]$, le nombre de points d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : suites, fonctions, fonction exponentielle

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa dérivée.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1 + 0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right)$.
    En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
    b. Démontrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est
    l’intervalle $]4 + 2\ln(2) ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    On fera figurer la valeur exacte de l’image de $4 + 2\ln(2)$ par $f$.
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[-1; 0]$.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$ ,
$$u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ où } f \text{ est la fonction définie à la }\textbf{ partie A.}$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $$u_n\pp u_{n+1}\pp 4$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On notera $\ell$ la limite.
    $\quad$
  2. a. On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f(\ell)$.
    Démontrer que $\ell = 4$.
    $\quad$
    b. On considère la fonction $\texttt{valeur}$ écrite ci-dessous dans le langage Python :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def valeur(a):}\\
    \quad\text{u=0}\\
    \quad\text{n=0}\\
    \quad\text{while u<=a:}\\
    \qquad\text{u=1+u-exp(0.5*u-2)}\\
    \qquad\text{n=n+1}\\
    \quad\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$
    L’instruction $\texttt{valeur(3.99)}$ renvoie la valeur $12$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(5 ; 0 ; -1)$, $B(1 ; 4 ; -1)$, $C(1 ; 0 ; 3)$, $D(5 ; 4 ; 3)$ et $E(10 ; 9 ; 8)$

  1. a. Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
    Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
    $\quad$
    b. Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal.
    Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est :
    $$x-y-1=0$$
    $\quad$
    c. Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
    $\quad$
  2. On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation cartésienne $x-z-2=0$.
    a. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
    $\quad$
    b. On note $\Delta$ la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ .
    Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :$$\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases} \quad (t\in \R)$$
    $\quad$
  3. On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d’équation cartésienne $z+z-3=0$.
    Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.
On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.

  1. a. Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
    $\quad$
    b. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
    $\quad$

$\quad$