Exercice 1

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=2\e^{2x}-6$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} f'(x)-2f(x)&=2\e^{2x}-6-2\left(\e^{2x}-6x+1\right) \\
   &=-6+12x-2 \\
   &=12x-8\\
   &\neq -6x+1\end{align*}$
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*}u_n&=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\ldots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \\
   &=\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^k \\
   &=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}} \\
   &=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{4}} \\
   &=4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)\end{align*}$
   Or $-1<\dfrac{3}{4}<1$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
   Affirmation 2 fausse
   $\quad$
3. L’instruction $\text{suite(50)}$ renvoie la valeur de $u_{49}$ puisque la boucle $\text{for}$ de la ligne 3 permet à $\text{i}$ de prendre les valeurs de $0$ à $k-1$.
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
4. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}-2$.
   La tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisse si, et seulement si, $f'(1)=0$.
   $\begin{align*} f'(1)=0&\ssi a-2=0 \\
   &\ssi a=2\end{align*}$
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. $\left(R_1,\conj{R_1}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
   &=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right)+P_{\conj{R_1}}\left(R_2\right) \\
   &=0,85\times 0,6+0,15\times 0,4 \\
   &=0,57\end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*}P_{R_2}\left(\conj{R_1}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)}{P\left(R_2\right)} \\
   &=\dfrac{0,15\times 0,4}{0,57} \\
   &=\dfrac{2}{19}\end{align*}$
   La probabilité que le joueur ait raté le premier service sachant qu’il a réussi le deuxième est égale à $\dfrac{2}{19}$.
   $\quad$
4. a. $Z(\Omega)=\acco{0;1;2}$.
   $\begin{align*} P(Z=0)&=P\left(\conj{R_1}\cap \conj{R_2}\right) \\
   &=P\left(\conj{R_1}\right)P_{\conj{R_1}}\left(\conj{R_2}\right) \\
   &=0,15\times 0,6 \\
   &=0,09\end{align*} $
   $\begin{align*} P(Z=2)&=P\left(R_1\cap R_2\right) \\
   &=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right) \\
   &=0,85\times 0,6 \\
   &=0,51\end{align*} $
   $\left((Z=0),(Z=1),(Z=2)\right)$ forme un système complet d’événements fini. Par conséquent :
   $\begin{align*}P(Z=1)&=1-P(Z=0)-P(Z=2) \\
   &=1-0,09-0,51 \\
   &=0,4\end{align*}$
   $\quad$
   b. On a donc :
   $\begin{align*}E(Z)&=0\times P(Z=0)+1\times P(Z=1)+2\times P(Z=2) \\
   &=0,4+2\times 0,51 \\
   &=1,42\end{align*}$
   En moyenne, lorsque le joueur réalise $100$ doubles services, il réussit $142$ services.
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après l’énoncé $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=0,6$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)=0,6$.
   $\quad$
   b. Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} x_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
   &=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
   &=P\left(R_n\right)P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\right)P_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
   &=0,6x_n+0,4\left(1-x_n\right) \\
   &=0,6x_n+0,4-0,4x_n \\
   &=0,2x_n+0,4\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Soit $n\in \N$. On a
   $\begin{align*} u_{n+1}&=x_{n+1}-0,5 \\
   &=0,2x_n+0,4-0,5 \\
   &=0,2x_n-0,1 \\
   &=0,2\left(x_n-0,5\right) \\
   &=0,2u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_0=0,85-0,5=0,35$.
   $\quad$
   b. D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,35\times 0,2^n$.
   Or $x_n=u_n+0,5$ donc $x_n=0,5+0,35\times 0,2^n$.
   $\quad$
   $-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=0,5$.
   $\quad$
   c. Sur le long terme le joueur réussit un service sur deux.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A : appareil de la marque A

1. Il semblerait que la température maximale soit atteinte au bout de $200$ minutes.
   $\quad$
2. Il semblerait que la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes.
   $\quad$
3. $f$ semble être une fonction continue et positive sur $[0;600]$. Par conséquent $\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;600]$.
   Il y a environ $121$ carrés (en assemblant les carrés incomplets entre eux) compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=600$.
   Chaque carré à une aire égale à $25\times 50=1~250$ °C.min.
   Par conséquent
   $\begin{align*}\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt&\approx \dfrac{121\times 1250}{600}\\
   &\approx 252\end{align*}$
   Durant les $600$ premières minutes, la température moyenne du foyer était environ égale à $252$ °C.
   $\quad$

Partie 2 : étude d’une fonction

1. Par croissances comparées $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-0,01t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=20$.
   $\quad$
2. a. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
   $\begin{align*} g'(t)&=10\e^{-0,01t}-0,01\times 10t\e^{-0,01t} \\
   &=(10-0,1t)\e^{-0,01t}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$, $g'(t)$ est du signe de $-0,1t+10$.
   $\begin{align*} -0,1t+10>0&\ssi -0,1t>-10 \\
   &\ssi t<100\end{align*}$
   La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;100]$ et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
   On obtient alors le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   où $g(100)=1~000\e^{-1}+20$
   $\quad$
3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;100]$.
   De plus $g(0)=20$ et $g(100)\approx 388$.
   Ainsi $300\in [g(0);g(100)]$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[0;100]$.
   $\quad$
   La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
   De plus $g(100)\approx 388$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=20$.
   Ainsi $300\in ]20;g(100)]$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[100;+\infty[$.
   $\quad$
   Par conséquent l’équation $g(x)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0;+\infty[$.
   D’après la calculatrice ces solutions sont environ égales à $43$ et $193$.
   $\quad$
4. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ définies sur $[0;600]$ par :
   $$\begin{array}{lll} u(t)=t&\phantom{123}&u'(t)=1\\v(t)=-100\e^{-0,01t}&&v'(t)=\e^{-0,01t}\end{array}$$
   $\begin{align*}\int_0^{600} g(t)\dt&=10\int_0^{600}t\e^{-0,01t}\dt+\int_0^{600} 20\dt \\
   &=10\left(\left[-100t\e^{-0,01t}\right]_0^{600}-\int_0^{600} \left(-100\e^{-0,01t}\right)\dt\right)+20\times 600 \\
   &=10\left(-60~000\e^{-6}+100\int_0^{600}\e^{-0,01t}\dt\right)+12~000 \\
   &=10\left(-60~000\e^{-6}+100\left[-100\e^{-0,01t}\right]_0^{600}\right)+12~000 \\
   &=10\left(-60~000\e^{-6}-10~000\e^{-6}+10~000\right)+12~000 \\
   &=112~000-700~000\e^{-6}\end{align*}$
   $\quad$

Partie 3 : évaluation

• Appareil A

  La température maximale semble environ égale à $350$ °C.
  La température maximale est atteinte en $200$ minutes, donc en plus de $2$ heures.
  La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à $252$°C.
  La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes, c’est-à-dire $4$ heures.
  $\quad$
  L’appareil A obtient donc trois étoiles.

• Appareil B
  
  La température maximale semble environ égale à $388$ °C.
  La température maximale est atteinte en $100$ minutes, donc en moins de $2$ heures.
  La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à :
  $\begin{align*} \dfrac{1}{600}\int_0^{600} g(t)\dt&=\dfrac{112~000-700~000\e^{-6}}{600} \\
  &\approx 183 \text{°C}\end{align*}$
  La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $193-43=150$ minutes, c’est-à-dire $2$ heures et demi.
  $\quad$
  L’appareil B obtient donc trois étoiles.

 

Exercice 4

1. On a $OA=200$
   L’avion n°1 parcourt $200$ m pour relier le point $0$ au point $A$.
   $\quad$
   On a :
   $\begin{align*} BC&=\sqrt{(87+33)^2+(75-75)^2+(-116-44)^2}\\
   &=\sqrt{40~000} \\
   &=200\end{align*}$
   L’avion n°2 parcourt également $200$ m pour relier le point $B$ au point $C$.
   $\quad$
   Ils volent tous les deux à la même vitesse et parcourent la même distance.
   L’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
   $quad$
2. On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}0\\200\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}120\\0\\-160\end{pmatrix}$.
   Ainsi une représentation paramétrique de $(OA)$ est $\begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\end{cases} \quad  t\in \R$ et une représentation paramétrique de $(BC)$ est $\begin{cases} x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases} \quad k\in \R$.
   Résolvons le système :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\-33+120k=0\\75=200t\\44-160k=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\120k=33\\t=\dfrac{75}{200}\\[2mm]160k=44\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases}x=0\\y=75\\z=0\\k=0,275\\t=0,375\end{cases}\end{align*}$
   Les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont sécantes au point de coordonnées $(0;75;0)$.
   Les trajectoires des deux avions se coupent.
   $\quad$
3. Les deux avions atteignent le point d’intersection des deux trajectoires à des temps différents $0,375$ seconde pour l’avion n°1 et $0,275$ seconde pour l’avion B.
   Mathématiquement les deux avions ne se percutent pas lors de ce passage.
   Cependant, l’écart de $0,1$ seconde entre les deux temps est relativement court et ne laisse pas une marge importante de sécurité (chaque avion parcourt $20$ m durant en $0,1$ seconde).
   $\quad$

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

 

Exercice 1     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Soit $(E)$ l’équation différentielle : $y’-2y=-6x+1$
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}-6x+1$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.

$\quad$

Affirmation 2 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par

$$u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$$

La suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$.

$\quad$

Affirmation 3 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie dans l’affirmation 2.
L’instruction $\text{suite(50)}$ ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

 

$\quad$

Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $$ f(x)=a \ln (x)-2 x$$

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\Oij$.
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

• si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ;
• si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\conj{R_n}$ l’évènement contraire.

Partie A :

On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
   $\quad$
2. Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$.
   $\quad$
3. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier.
   $\quad$
4. Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
   a. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1).
   $\quad$
   b. Calculer l’espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B :
On s’intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$.

1. a. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2 x_n+0,4$.
   $\quad$
2. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=x_n-0,5$
   a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
   $\quad$
   b. Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(x_n\right)$.
   $\quad$
   c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer.

Par lecture graphique :

1. Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer.
   $\quad$
2. Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$ °C.
   $\quad$
3. On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
   Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$. Interpréter le résultat.
   $\quad$

Partie 2: étude d’une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left[0 ;+\infty\right[$ par $g(t)=10 t \e^{-0,01 t}+20$

1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
   $\quad$
2. a. Montrer que pour tout $t \in\left[0 ;+\infty\right[$ , $g'(t)=(-0,1 t+10) \e^{-0,01 t}$.
   $\quad$
   b. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0 ;+\infty[$ et construire son tableau de variations.
   $\quad$
3. Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0 ;+\infty[$. En donner des valeurs approchées à l’unité.
   $\quad$
4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\ds \int_0^{600} g(t) \dt$.
   $\quad$

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $[0 ; 600]$ par la fonction $g$.

L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

• Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320$ °C.
• Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de $2$ heures.
• Critère 3 : la température moyenne durant les $10$ premières heures après l’allumage dépasse $250$ °C.
• Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ °C pendant plus de $5$ heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (7 points)

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

• on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$, une unité représentant un mètre ;
• l’avion n°1 doit relier le point $O$ au point $A(0 ; 200 ; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200$ m/s;
• l’avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33 ; 75 ; 44)$ au point $C(87 ; 75 ;-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200$ m/s;
• au même instant, l’avion n°1 est au point $O$ et l’avion n°2 est au point $B$.

1. Justifier que l’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
   $\quad$
2. Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
   $\quad$
3. Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?
   $\quad$

$\quad$