Exercice 1

1. a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
   La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x>0$ on a:
   $\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
   &=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
   &=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
   Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
   Les racines de ce polynômes sont :
   $x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
   Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
   Ainsi :
   $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
   $\bullet$ $f'(1)=0$;
   $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
   $\bullet$ $f'(2)=0$;
   $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   $f(2)=-8+4\ln(2)$
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
   De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
   $\quad$
4. a. Pour tout $x>0$
   $\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
   &\ssi x^2>2 \\
   &\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
   La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
   De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
   Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
   La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
   Ainsi :
   – $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
   – $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
   $\quad$

 

 

Exercice 2

1. a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
   $\quad$
   b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
   $\quad$
2. a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
   &=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
   Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[-3;+\infty[$.
   De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
   &=-27\e^{-3}\end{align*}$
   On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
   $\quad$
   c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
   Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
   On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
   Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
   Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
   Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
   $P(n+1)$ est donc vraie.
   $\quad$
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
   $\quad$
   d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
   $\quad$
   e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
   Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
   Ainsi $\ell=0$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
   $\quad$
2. Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
   Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
   Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
   $\quad$
3. Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
   Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
   De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
   Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
   $\quad$
4. On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
   Par conséquent
   $\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{3,25}\end{align*}$
   et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
   D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
   D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
   Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
   Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
   $\quad$
5. a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
   Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
   $\quad$
   b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
   Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
   Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
   $\quad$
   c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

 

Exercice 4

1. On veut calculer
   $\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
   &=0,4\times (1-0,01) \\
   &=0,4\times 0,99 \\
   &=0,396\end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
2. $\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a
   $\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
   &=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
   &=0,396+0,6\times 0,02 \\
   &=0,408\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
3. On a
   $\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
   &=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
   &=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
   &\approx 0,006~757\end{align*}$
   Réponse C$\quad$
   
4. La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
   $\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
   &=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
   &=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
   &=0,016\end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
   On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
   $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
   Ainsi
   $\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
   &\approx 0,085\end{align*}$
   Réponse D
   $\quad$
6. On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
   On veut calculer
   $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
   &=1-0,12^{10} \end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$
7. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
   On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
   $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
   On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
   $\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
   &\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
   &\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
   Par conséquent $N_0=18$.
   Réponse B
   $\quad$

 

 

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
   Interpréter graphiquement ce résultat.
   $\quad$
   b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
   $\quad$
2. a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   En déduire le tableau de variations de $f$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
   a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
   On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$
   b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
   Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
   En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

1. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
   a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
   On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
   $\quad$
   b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{def fonc(n) :}\\
   \quad \text{u =- 1}\\
   \quad \text{for i in range(n) :}\\
   \qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
   \quad \text{return u}\\
   \hline
   \end{array}$$
   On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
   $\quad$
   Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
   $\quad$
2. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
   $\quad$
   b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
   $\quad$
   
   $\quad$
   c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
   $\quad$
   d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
   e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
   Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
   seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

1. Donner les coordonnées du point $G$.
   $\quad$
2. Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
   Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
   $\quad$
3. Déterminer les coordonnées du point $I$.
   $\quad$
4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
   $\quad$
5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
   Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
   La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
   a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   $\quad$
   b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
   Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
   Déterminer les coordonnées du point $K$.
   $\quad$
   c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

• $E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
• $E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
• $R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
• $R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

1. La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
   a. $0,99$
   b. $0,396$
   c. $0,01$
   d. $0,4$
   $\quad$
2. La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
   a. $0,99$
   b. $0,02$
   c. $0,408$
   d. $0,931$
   $\quad$
3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
   \left(E_0\right)$ est égale
   a. $0,004$
   b. $0,001$
   c. $0,007$
   d. $0,010$
   $\quad$
4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
   a. $0,03$
   b. $0,016$
   c. $0,16$
   d. $0,015$
   $\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

5. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
   La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
   a. $0,915$
   b. $0,109$
   c. $0,976$
   d. $0,085$
   $\quad$
6. On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
   La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
   a. $1-0,12^{10}$
   b. $0,12^{10}$
   c. $0,88^{10}$
   d. $1-0,88^{10}$
   $\quad$
7. Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
   Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
   On peut affirmer que :
   a. $N_0 = 17$
   b. $N_0 = 18$
   c. $N_0 = 19$
   d. $N_0 = 20$
   $\quad$

$\quad$