Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 30 août 2022

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. On peut utiliser l’arbre suivant :
    $\quad$
    On a alors :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,9 \\
    &=0,225\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=0,225+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
    &=0,225+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
    &=0,262~5\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(A)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,225}{0,262~5} \\
    &=\dfrac{6}{7}\\
    &\approx 0,857~1\end{align*}$
    La probabilité que le patient soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques sachant que sont test est positif est environ égale à $0,857~1$.
    $\quad$
  4. a. Les résultats erronés correspondent à :
    – le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est négatif;
    – le patient n’est pas atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est positif.
    Il s’agit donc des événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$.
    $\quad$
    b. Les événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$ sont disjoints donc
    $\begin{align*} P(E)&=P\left(\left(A\cap \conj{T}\right) \cup \left(\conj{A}\cap T\right)\right) \\
    &=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=P(A)\times P_A\left(\conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,1+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
    &=0,062~5 \end{align*}$
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On réalise $50$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $P(E)=0,062~5$ de façon indépendantes.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=50$ et $p=0,062~5$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(X=7)&=\dbinom{50}{7} \times 0,0625^7 \times (1-0,062~5)^{43} \\
    &\approx 0,023~2\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,062~5)^{50} \\
    &\approx 0,960~3\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné est environ égale à $0,960~3$.
    $\quad$
  2. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,062~5$.
    À l’aide de la calculatrice, on constate que pour tout entier $n$ inférieur ou égal à $247$ on a $P(X\pg 10) < 0,95$, avec en particulier $P(X\pg 10) \approx 0,948~6$ si $n=247$.
    On constate également que si $n=248$ alors $P(X\pg 10) \approx 0,950~2$.
    La valeur minimale de la taille de l’échantillon est donc $248$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$ on a $f(x)=-1,9x^2+1,9x$.
    La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1,9<0$ et les racines sont $0$ et $1$. Le sommet a donc pour abscisse $\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
    $\quad$
    b. On a $f(0)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0,475$.
    De plus $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent, pour tout réel $x \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $f(x) \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite soit strictement croissante et converge vers un réel $\ell \approx 0,47$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    Initialisation : On a $u_0=0,1$ et $u_1=0,171$. Donc $0\pp u_0\pp u_1 \pp \dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
    La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    Soit $0\pp f(0) \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp f\left(\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2}\right)$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $0\pp u_n\pp u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Or :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi -1,9x^2+1,9x=x\\
    &\ssi -1,9x^2+0,9x=0\\
    &\ssi x(-1,9x+0,9)=0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont donc $0$ et $\dfrac{0,9}{1,9}=\dfrac{9}{19}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,1$. Ainsi, la seule solution possible est $\dfrac{9}{19}$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{9}{19}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ car $-1<\dfrac{1}{2}<1$.
    De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$. Donc pour tout réel $\alpha>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, on ait $0\pp u_n\pp x$.
    C’est en particulier vrai, pour $x=10^{-p}$ où $p\in \N$.
    Cela explique pourquoi la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x-2\ln(x)\times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}\end{align*}$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} g(\e)&=\dfrac{2\ln(\e)}{\e} \\
    &=\dfrac{2\times 1}{\e} \\
    &=\dfrac{2}{\e}\end{align*}$.
    $\quad$
    b. $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln(x)$.
    Or $2-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-2 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Par produit, $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ et s’annule en $1$. Par conséquent $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;\e[$.
    La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\pg \e$ on a $g(x)>0$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a donc, pour tout réel $x>0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times \dfrac{1}{x} \times \left(\ln(x)\right)^{2-1} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)}{x} \\
    &=g(x)\end{align*}$
    Ainsi $f$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. D’après la partie 1 on sait que, pour tout réel $x>0$ on a $g$ est strictement croissante sur $]0;+\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
    Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
    Ainsi, $f$ est convexe sur $]0;\e]$ et concave sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la partie 1, $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.
    Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
    Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$ est $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=g(\e)=\dfrac{2}{\e}$ et $f(\e)=1$.
    Ainsi, une équation de cette tangente est $y=\dfrac{2}{\e}(x-\e)+1$ soit $y=\dfrac{2}{\e}x-1$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est convexe sur $]0;\e]$. Sa courbe représentative est donc située au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle.
    Ainsi, pour tout $x\in]0;\e]$ on a $\left(\ln(x)\right)^2\pg \dfrac{2}{\e}x-1$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
    $\quad$
    b. $\vect{CF}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CI}\begin{pmatrix}-1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]1\end{pmatrix}$ sont deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(CFI)$.
    De plus :
    $\vect{CF}.\vec{n}=0-2+2=0$ et $\vect{CI}.\vec{n}=-1-1+2=0$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFI)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
    Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Donc $1+2+0+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc $x+2y+2z-3=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Montrons que le point $K$ appartient à la fois au plan $(CFI)$ et à la droite $d$.
    $\dfrac{7}{9}+2\times \dfrac{5}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : $K$ appartient au plan $(CFI)$.
    En prenant $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\[2mm] y=\dfrac{5}{9}\\[2mm]z=\dfrac{5}{9}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à $d$.
    La droite $d$ passe par le point $G$ et est orthogonale au plan $(CFI)$.
    Par conséquent $K\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. La distance cherchée est égale à $GK$. Or $\vect{GK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}} \\
    &=\dfrac{6}{9} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. L’aire du triangle $CFG$ rectangle en $G$ est $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}$ u.a.
    La hauteur de la pyramide $CFGI$ relative au somme $I$ est $[IJ]$ où $J$ est le milieu de $[FG]$ et mesure donc $1$ u.
    Ainsi le volume de cette pyramide est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IJ \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\\
    &=\dfrac{1}{6} \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On appelle $\mathscr{A}’$ l’aire du triangle $CFI$.
    On a donc
    $\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}’\times GK \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{1}{2GK} \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{3}{4}$ u.a.
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : probabilités

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les autres non.
Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d’un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

  • lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test est positif dans $90 \%$ des cas ;
  • lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test est négatif dans $95 \%$ des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies à $10{-4}$ près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.
On considère les événements suivants :

  • $A$ : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques » ;
  • $T$ : « le test est positif » ;
  • $\conj{A}$et $\conj{T}$ sont respectivement les événements contraires de $A$ et $T$.
  1. Calculer $P(A\cap T)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(T) = 0,262~5$.
    $\quad$
  3. On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.
    $\quad$
  4. a. Parmi les événements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : $A\cap T$, $\conj{A}\cap T$, $A\cap \conj{T}$, $\conj{A}\cap \conj{T}$.
    $\quad$
    b. On définit l’événement $E$ : « le test fournit un résultat erroné ».
    Démontrer que $P(E) = 0,062~5$.
    $\quad$

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de 𝑛 patients qui ont été testés.
On admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

  1. On suppose que $n = 50$.
    a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = 0,062~5$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(X=7)$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné.
    $\quad$
  2. Quelle valeur minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que $P(X\pg 10)$ soit supérieure à $0,95$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : suites, fonctions

Soit $k$ un nombre réel.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=ku_n\left(1-u_n\right)$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $\boldsymbol{k}$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,9u_n\left(1-u_n\right)$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 1,9x(1-x)$.
    a. Etudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $x\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $f(x)\in  \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d’équation $y=x$.
    Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
    c. Déterminer sa limite.
    $\quad$

Partie 2

Dans cette partie, $k=\dfrac{1}{2}$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n\left(1-u_n\right)$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ ∶ $0\pp u_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

  1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
    $\quad$
  2. On considère la fonction Python $\texttt{algo(p)}$ où $\texttt{p}$ désigne un entier naturel non nul :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo(p) :}\\
    \quad \text{u = 1/4}\\
    \quad \text{ n = 0}\\
    \quad \text{while u > 10**(-9):}\\
    \qquad \text{u = 1/2*u*(1-u)}\\
    \qquad \text{n = n+1} \\
    \quad \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul $\texttt{p}$, la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande $\texttt{algo(p)}$ de renvoyer une valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thème : fonctions

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$g(x) =
\dfrac{2\ln(x)}{x}$$

  1. On note $g’$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$g'(x)=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ :
    $\quad$

    $\quad$
    Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :
    a. la valeur $\dfrac{2}{\e}$;
    $\quad$
    b. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;
    $\quad$
    c. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\ln(x)\right)^2$.
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

  1. Démontrer que sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la partie 1, étudier :
    a. la convexité de la fonction $f$ ;
    $\quad$
    b. les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0 ; \e]$ : $$\left(\ln(x)\right)^2 \pg \dfrac{2}{\e}x-1$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle $CFI$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AC},\vect{AD}\right)$ et on admet que le point $I$ a pour coordonnées $\left(0 ;\dfrac{1}{2};1\right)$ dans ce repère.
$\quad$

$\quad$

  1. a. Donner sans justifier les coordonnées des points $C$, $F$ et $G$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est : $x+2y+2z-3=0$.
    $\quad$
  2. On note $d$ la droite passant par $G$ et orthogonale au plan $(CFI)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $K \left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le
    plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes que la distance du point $G$ au plan $(CFI)$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On considère la pyramide $GCFI$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times b\times h$, $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
    a. Démontrer que le volume de la pyramide $GCFI$ est égal à $\dfrac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.
    $\quad$
    b. En déduire l’aire du triangle $CFI$, en unité d’aire.
    $\quad$