Exercice 1

1. On a
   $\begin{align*} u_1&=0,95\times 10~000+200 \\
   &=9~700\end{align*}$
   $\quad$
   et
   $\begin{align*} u_2&=0,95\times 9~700+200 \\
   &=9~415\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10~000>4~000$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
   $\begin{align*}
   u_{n+1}&=0,95u_n+200 \\
   &>0,95 \times 4~000+200\\
   &>3~800+200\\
   &>4~000\end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n>4~000$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $4~000$. Elle converge donc.
   $\quad$
3. a. $v_0=10~000-4~000=6~000$.
   $\quad$
   b. Soit $n\in \N$. $v_n=u_n-4~000 \ssi u_n=v_n+4~000$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-4~000\\
   &=0,95u_n+200-4~000\\
   &=0,95u_n-3~800 \\
   &=0,95\left(v_n+4~000\right)-3~800\\
   &=0,95v_n+3~800-3~800\\
   &=0,95v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=6~000$.
   $\quad$
   c. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=6~000\times 0,95^n$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} u_n&=v_n+4~000 \\
   &=6~000\times 0,95^n+4~000\end{align*}$
   $\quad$
   d. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 6~000\times 0,95^n=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4~000$.
   $\quad$
4. La population de cette espèce baisse de $5\%$ chaque année. Il reste donc $95\%$ de la population d’une année sur l’autre.
   $200$ individus sont réintroduit chaque année.
   En 2020, il y avait $10~000$ individus.
   Par conséquent, la population de cette espèce peut être modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans les questions précédentes.
   Sur le long terme, il restera $4~000$ individus.
   Or $4~000<\dfrac{10~000}{2}$
   L’affirmation est donc vraie.
   $\quad$

Exercice 2

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   $\quad$
2. a. On veut calculer
   $\begin{align*} p(M\cap T)&=p(M)\times p_M(T) \\
   &=0,07\times 0,8\\
   &=0,056\end{align*}$
   La probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif est $0,056$.
   $\quad$
   b. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a
   $\begin{align*}
   p(T)&=p(M\cap T)+p\left(\conj{M}\cap T\right)\\
   &=0,056+0,93\times 0,01 \\
   &=0,0653\end{align*}$
   La probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
   $\quad$
3. On veut calculer
   $\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
   &=\dfrac{0,056}{0,0653} \\
   &\approx 0,86\end{align*}$
   La probabilité que la personne soit infectée sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
   $\quad$
4. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
   À chaque tirage, il n’y a que deux issues  : $T$ et $\conj{T}$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,0653$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} p(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,0653^2 \times (1-0,653)^8 \\
   &\approx 0,11\end{align*}$
   La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
   $\quad$
5. On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
   À chaque tirage, il n’y a que deux issues  : $T$ et $\conj{T}$.
   On note $Y$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les $n$ personnes.
   La variable aléatoire $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,0653$.
   On veut
   $\begin{align*} p(Y\pg 1)> 0,99 &\ssi 1-p(Y=0)>0,99 \\
   &\ssi p(Y=0)<0,01 \\
   &\ssi (1-0,0653)^n<0,01 \\
   &\ssi 0,9347^n<0,01 \\
   &\ssi n\ln(0,9347)<\ln(0,01) \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,9347)} \approx 63,2$.
   Il faut donc tester au minimum $64$ personnes pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif soit supérieure à $99\%$.
   $\quad$

Exercice 3

1. On a $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $H(0;1;1)$.
   $\quad$
2. a. $[EG]$, $[ED]$ et $[GD]$ sont des diagonales de carrés dont les côtés ont la même longueur.
   Par conséquent $EG=ED=GD$.
   Le triangle $EGD$ est donc équilatéral.
   $\quad$
   b. Dans le triangle $EGH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} EG^2&=EH^2+GH^2 \\
   &=1+1\\
   &=2\end{align*}$
   Par conséquent l’aire du triangle $EGD$ est
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{3}}{4}EG^2 \\
   &=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2\\
   &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix} -1\\1\\1\end{pmatrix}$.
   $\begin{align*} \vect{BM}=\dfrac{1}{3}\vect{BH}&\ssi \begin{cases} x_M-1=\dfrac{1}{3}\times (-1) \\
   y_M=\dfrac{1}{3}\times 1\\
   z_M=\dfrac{1}{3}\times 1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x_M=\dfrac{2}{3} \\y_M=\dfrac{1}{3}\\z_M=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
   Ainsi les coordonnées de $M$ sont bien $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
4. a. On a $\vect{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \vec{n}.\vect{EG}&=-1+1+0\\
   &=0\end{align*}$
   $\begin{align*} \vec{n}.\vect{ED}&=0+1-1\\
   &=0\end{align*}$
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EGD)$.
   Ainsi $\vec{n}$ est normal au plan $(EGD)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est de la forme $-x+y+z+d=0$.
   Le point $E$ appartient au plan $(EGD)$ donc
   $0+0+1+d=0 \ssi d=-1$.
   Une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est donc $-x+y+z-1=0$.
   $\quad$
   c. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
   Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
   $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}\quad, t\in \R$.
   $\quad$
5. a. Si on prend $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
   $-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$
   Le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$ appartient donc au plan $(EGD)$ et à la droite $\mathcal{D}$.
   Il s’agit par conséquent du point $K$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} MK^2&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
   &=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
   Le volume de la pyramide $GEDM$ est donc
   $\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{A}\times MK}{3} \\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{3}}}{3} \\
   &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
   $\quad$

Exercice A

Partie 1

1. $A(0;2)$ appartient à $\mathcal{C}$ donc $f(0)=2$.
   $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
   Donc $f'(0)=\dfrac{0-2}{2-0}=-1$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ semble convexe sur l’intervalle $[0;3]$.
   $\quad$

Partie 2

1. Les solutions de l’équation $(H)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=k\e^{-x}$ où $k\in \R$.
   $\quad$
2. Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$.
   On a donc $f’=-f+\e^{-x}$ et $g’=-g+\e^{-x}$.
   Ainsi, par différence $(f-g)’=-(f-g)$
   Il existe donc $k\in \R$ tel que, pour tout réel $x$ on ait $(f-g)(x)=k\e^{-x}$ soit $f(x)=g(x)+k\e^{-x}$
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-x}+k\e^{-x}$.
   $\quad$
3. $f(0)=2 \ssi k=2$
   Ainsi $f(x)=(x+2)\e^{-x}$ pour tout réel $x$.
   $\quad$

Partie 3

1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}+(x+2)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
   &=(1-x-2)\e^{-x} \\
   &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
   Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0 \ssi -x>1\ssi x<-1$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}+(-x-1)\left(-\e^{-x}\right) \\
   &=(-1+x+1)\e^{-x} \\
   &=x\e^{-x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x$.
   Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi x\pg 0$.
   La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$

Exercice B

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[1;4]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout $x\in [1;4]$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=-30+\dfrac{35}{x} \\
   &=\dfrac{-30x+35}{x} \\
   &=\dfrac{35-30x}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. $35-30x=0 \ssi 30x=35 \ssi x=\dfrac{7}{6}$
   $35-30x>0 \ssi -30x>-35 \ssi x<\dfrac{7}{6}$
   On obtient le tableau de signes et de variations suivant :
   $\quad$$\quad$
   c. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
   $\quad$
2. Sur l’intervalle $\left[1;\dfrac{7}{6}\right]$ on a $f(x)\pg 20$.
   L’équation $f(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
   $\quad$
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
   De plus $f\left(\dfrac{7}{6}\right) \approx 20,4 >0$ et $f(4)\approx -21,5<0$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\left[\dfrac{7}{6};4\right]$.
   $\quad$
   L’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;4]$.
   D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,915$.
   $\quad$
3. D’après les questions précédentes on a donc le tableau de signes suivant :
   $\quad$

 

Partie 2 : Optimisation

1. On a $B(2,5) \approx 23,925$
   Lorsque l’entreprise vend $2~500$ litres de jus de fruits son bénéfice est environ égal à $23~925$ euros.
   $\quad$
2. La fonction $B$ est dérivable sur $[1;4]$ en  tant que somme et produits de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ on a
   $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 2x+15+35\ln(x)+35x\times \dfrac{1}{x} \\
   &=-30x+15+35\ln(x)+35 \\
   &=-30x+50+35\ln(x)\\
   &=f(x)\end{align*}$
   $\quad$
3. a. D’après la question 1.3. $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1;\alpha]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\alpha;4]$.
   $\quad$
   b. La fonction $B$ atteint donc son maximum en $\alpha$.
   L’entreprise doit donc vendre environ $2~915$ litres de jus de fruits pour réaliser un bénéfice maximal.
   $\quad$

 

Exercice 1 (5 points)

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=10~000$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$u_{n+1}=0,95 u_{n}+200$$

1. Calculer $u_{1}$ et vérifier que $u_{2}=9415$.
   $\quad$
2. a. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ :
   $$u_{n}>4000$$
   $\quad$
   b. On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. Justifier qu’elle converge.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : $v_{n}=u_{n}-4~000$.
   a. Calculer $v_{0}$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison égale à $0,95$.
   $\quad$
   c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
   $$u_{n}=4~000+6~000 \times 0,95^{n} $$
   $\quad$
   d. Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Justifier la réponse.
   $\quad$
4. En 2020, une espèce animale comptait 10000 individus. L’évolution observée les années précédentes conduit à estimer qu’à partir de l’année 2021, cette population baissera de $5 \%$ chaque début d’année.
   Pour ralentir cette baisse, il a été décidé de réintroduire $200$ individus à la fin de chaque année, à partir de 2021.
   Une responsable d’une association soutenant cette stratégie affirme que : « l’espèce ne devrait pas s’éteindre, mais malheureusement, nous n’empêcherons pas une disparition de plus de la moitié de la population ». Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.
Selon les autorités sanitaires de ce pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par cette maladie. Parmi les individus infectés, $20 \%$ sont déclarés négatifs.
Parmi les individus sains, $1 \%$ sont déclarés positifs.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note :

• $M$ l’évènement: « la personne est infectée par la maladie » ;
• $T$ l’évènement : « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
   $\quad$
2. a. Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif?
   $\quad$
   b. Montrer que la probabilité que son test soit positif est de $0,0653$.
   $\quad$
3. On sait que le test de la personne choisie est positif.
   Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?
   On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
4. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
   a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.
   On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
5. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace, on considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur égale à $1$
On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$. On considère le point $M$ tel que $\vect{BM}=\dfrac{1}{3} \vect{BH}$.

 

1. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $G$ et $H$.
   $\quad$
2. a. Quelle est la nature du triangle $EGD$ ? Justifier la réponse.
   $\quad$
   b. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4} c^{2}$.
   Montrer que l’aire du triangle $EGD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   $\quad$
3. Démontrer que les coordonnées de M sont $\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
4. a. Justifier que le vecteur $\vec{n}(-1 ; 1 ; 1)$ est normal au plan $(EGD)$.
   $\quad$
   b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(EGD)$ est : $-x+y+z-1=0$.
   $\quad$
   c. Soit $\mathcal{D}$ la droite orthogonale au plan $(EGD)$ et passant par le point $M$.
   Montrer qu’une représentation paramétrique de cette droite est :
   $$\mathcal{D}:\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}-t\\y=\dfrac{1}{3}+t\\z=\dfrac{1}{3}+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
   $\quad$
5. Le cube $ABCDEFGH$ est représenté ci-dessus selon une vue qui permet de mieux percevoir la pyramide $GEDM$, en gris sur la figure :Le but de cette question est de calculer le volume de la pyramide $GEDM$.
   a. Soit K, le pied de la hauteur de la pyramide $GEDM$ issue du point $M$.
   Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$.
   $\quad$
   b. En déduire le volume de la pyramide $GEDM$.
   On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{b \times h}{3}$ où $b$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
   $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

• Fonction exponentielle,
• convexité,
• dérivation,
• équations différentielles.

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.
On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé, une portion de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$ :

On considère les points $A(0 ; 2)$ et $B(2 ; 0)$.

Partie 1

Sachant que la courbe $\mathcal{C}$ passe par $A$ et que la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, donner par lecture graphique :

1. La valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
   $\quad$
2. Un intervalle sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
   $\quad$

Partie 2

On note $(E)$ l’équation différentielle $y’=-y+\e^{-x}$.
On admet que $g: x \mapsto x\e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.

1. Donner toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(H) ∶ y’ = -y$.
   $\quad$
2. En déduire toutes les solutions sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
3. Sachant que la fonction $f$ est la solution particulière de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$, déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
   $\quad$

Partie 3

On admet que pour tout nombre réel $x$, $f(x) = (x + 2) \e^{-𝑥}$.

1. On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
   a. Montrer que pour tout $x\in \R$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.
   $\quad$
   b. Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in \R$ et dresser le tableau des variations de $f$ sur $\R$.
   On ne précisera ni la limite de $f$ en $-\infty$ ni la limite de $f$ en $+\infty$.
   On calculera la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $\R$.
   $\quad$
2. On rappelle que $f\dsec$ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
   a. Calculer pour tout $x\in \R$, $f\dsec(x)$.
   $\quad$
   b. Peut-on affirmer que $f$ est convexe sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

• Fonction logarithme népérien,
• dérivation.

Cet exercice est composé de deux parties.
Certains résultats de la première partie seront utilisés dans la deuxième

Partie 1 : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 4]$ par $: f(x)=-30 x+50+35 \ln (x)$.

1. On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
   a. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que :
   $$f'(x)=\frac{35-30 x}{x}$$
   $\quad$
   b. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
   $\quad$
   c. En déduire les variations de $f$ sur ce même intervalle.
   $\quad$
2. Justifier que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; 4]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
3. Dresser le tableau de signe de $f(x)$ pour $x \in[1 ; 4]$.
   $\quad$

$\quad$

Partie 2: Optimisation

Une entreprise vend du jus de fruits. Pour $x$ milliers de litres vendus, avec $x$ nombre réel de l’intervalle $[1;4]$, l’analyse des ventes conduit à modéliser le bénéfice $B(x)$ par l’expression donnée en milliers d’euros par :
$$B(x)=-15 x^{2}+15 x+35 x \ln (x) $$

1. D’après le modèle, calculer le bénéfice réalisé par l’entreprise lorsqu’elle vend $2~500$ litres de jus de fruits.
   On donnera une valeur approchée à l’euro près de ce bénéfice.
   $\quad$
2. Pour tout 𝑥 de l’intervalle $[1 ; 4]$, montrer que $B'(x)=f(x)$ où $B’$ désigne la fonction dérivée de $B$.
   $\quad$
3. a. À l’aide des résultats de la partie 1, donner les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1 ; 4]$.
   $\quad$
   b. En déduire la quantité de jus de fruits, au litre près, que l’entreprise doit vendre afin de réaliser un bénéfice maximal.
   $\quad$

$\quad$