Centres Étrangers – Juin 2013

Bac STG – CGRH – Correction – Mathématiques

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

1. On peut saisir “$=B2/B3*100$”
   $\quad$
2. Appelons $x$ la valeur contenue dans $F3$. On a ainsi $\dfrac{1~516}{x} \times 100 = 37,3$ soit $x = \dfrac{1~516 \times 100}{37,3} \approx 4~064$.
   La valeur contenue en $F3$ est donc $4~064$.
   $\quad$
3. Le taux global d’évolution entre 2003 et 2010 est donné par :
   $$\dfrac{1~694-1~286}{1~286} = \dfrac{408}{1~286} \approx 31,7\%$$

Partie B

1. Les points du graphique semblent être globalement alignés. On peut donc envisager un ajustement affine.
   $\quad$
2. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante : $y=0,65x+35,35$.
   $\quad$
3. a. $\quad$
   
   b. Si $x=12$ alors $y=0,65 \times 12 + 35,35 = 43,15$.
   Cela signifie donc qu’en 2015, la part des femmes serait de $43,15\%$.
   $\quad$
4. a. On cherche la valeur de $x$ (entier naturel)telle que :
   $\begin{align*} 0,65x + 35,35 > 50 & \Leftrightarrow 0,65x > 16,65 \\\\
   & \Leftrightarrow x > \dfrac{16,65}{0,65} \\\\
   & \Leftrightarrow x > 23
   \end{align*}$
   D’après cet ajustement, cet en 2023 que le nombre des femmes dépassera celui des hommes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures.
   $\quad$
   b. En suivant cet ajustement, à long terme, il n’y aura que des femmes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures. Ce ne semble pas réaliste.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : Coût d’une campagne publicitaire

1. En prenant la fenêtre graphique fournie et la fonction donnée, la calculatrice affiche :
   
   Cela correspond donc à l’écran 2.
   $\quad$
2. a. $f'(x) = 0,06x – 0,72$
   $\quad$
   b. $f'(x) > 0 \Leftrightarrow 0,06x > 72 \Leftrightarrow x > \dfrac{72}{0,06} \Leftrightarrow x > 12$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    

   $\quad$

3. La fonction $f$ admet un minimum en $12$.
   Par conséquent le coût par client est minimum pour $1~200$ clients et il est alors de $1,28$ euros par client.
   $\quad$

Partie B : Probabilité d’achat

1. D’après l’énoncé, on a $p(C) =0,2$ et $p_C(A)= 0,12$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
   $\quad$
3. a. $C \cap A$ : “Le client choisi a été contacté lors de la campagne publicitaire et a effectué un achat”.
   $\quad$
   b. On a ainsi d’après l’arbre de probabilité $p(C \cap A) = 0,2 \times 0,12 = 0,24$.
   $\quad$
4. D’après la propriété des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(A) & = p(C \cap A)+ p\left(\overline{C} \cap A \right) \\\\
   &=0,2 \times 0,12 + 0,8 \times 0,03 \\\\
   & = 0,048
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3

1. Le plan prévoit une augmentation de $26\%$ pendant $8$ ans.
   Il s’agit donc d’une suite géométrique de raison $1+0,26 = 1,26$.
   $\quad$
2. La bonne formule est $=C2-B2$.
   $\quad$
3. Le nombre d’éoliennes sera de $2~500 \times 1,26^5 \approx 7939$.
   $\quad$
4. $2~500 \times 1,26^7 \approx 12~605 > 5 \times 2~500$.
   L’objectif sera donc atteint avant 2018.