Antilles Guyane – Juin 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. On appelle $x$ le prix avant les soldes.
   On a alors :
   $\begin{align*} x \times \left(1 – \dfrac{40}{100}\right) = 41,40 &\ssi x \times 0,6 = 41,4 \\\\
   & \ssi x = \dfrac{41,40}{0,6} \\\\
   & \ssi 69
   \end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombres d’ampoules défectueuses.
   On effectue quatre tirages aléatoires, indépendant, identiques.
   Chaque tirage possède deux issues :
   – $S$ : “l’ampoule est défectueuse”
   – $\overline{S}$ : “l’ampoule n’est pas défectueuse”.
   $p(S) = 0,03$.
   $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(4;0,03)$.
   $P(X = 2) \approx 0,005$
   Réponse c
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{(2x + 5)(3x + 4) – 3(x^2 + 5x)}{(3x+4)^2} \\\\
   &= \dfrac{6x^2+8x+15x+20-3x^2-15x}{(3x+4)^2}\\\\
   &=\dfrac{3x^2+8x+20}{(3x+4)^2}
   \end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
4. Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ est de la forme :
   $$y=g'(2)(x-2) + g(2)$$
   Or $g'(x) = 2 \times 3x^2 + 4 = 6x^2+4$
   donc $g'(2) = 28$ et $g(2) = 26$.
   Par conséquent une équation de la tangente est :
   $y=28(x-2) + 26$ soit $y = 28x – 30$.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : premier modèle

1. Une équation de la droite d’ajustement linéaire est :
   $$y=0,42x+60,56$$
   $\quad$
2. En 2050, $x=50$ alors $y = 0,4 \times 50 + 60,6 = 80,6$
   Selon ce modèle, il devrait y avoir $80,6$ millions d’habitants en France en 2050.

Partie B : deuxième modèle

1. Le taux d’évolution du nombre d’habitants entre les années 2000 et 2010 est :
   $$t=\dfrac{64,6 – 60,5}{60,5} \approx 6,777$$
   $\quad$
2. Le coefficient multiplicateur est donc environ de $1,06777$.
   Or $\sqrt[10]{1,06777} \approx 1,00658$
   Par conséquent le taux d’évolution moyen sur cette période est d’environ $0,658\%$
   $\quad$
3. a. Le premier terme est $u_0 = 64,6$ et la raison est $q= 1+\dfrac{0,66}{100} = 1,0066$.
   $\quad$
   b. On a ainsi $u_n = 64,6 \times 1,0066^n$.
   $\quad$
   c. $u_{40} = 64,6 \times 1,0066^{40} \approx 84,04$.
   En 2050, il y aura donc environ $84$ millions d’habitants en France.
   $\quad$

Partie C

$\dfrac{84}{9~000} \approx 0,0093 < 0,01$

En 2050, moins d’une personne sur cent de la population mondiale vivra en France.

$\quad$

Exercice 3

1. a. En $B2$ on peut écrire $=A2*299$.
   $\quad$
   b. En $C2$ on peut écrire $=2,25*A2*A2-6*A2+20$
   $\quad$
   c. En $B7$ on a $14~950$
   En $C7$ on a $5~345$
   En $D7$ on a $9~605$
   $\quad$
2. Le bénéfice est donné par :
   $\begin{align*} B(x) &= 299x – C(x) \\\\
   &=299x – 2,25x^2+6x-20\\\\
   &=-2,25x^2 + 305x – 20
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $B'(x) = -2,25 \times 2x + 305 = – 4,5x + 305$.
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} B'(x) \ge 0 &\ssi -4,5x \ge -305 \\\\
   &\ssi x \le \dfrac{305}{4,5}
   \end{align*}$
   On a ainsi $x_0 = \dfrac{305}{4,5} \approx 67,78$.
   La fonction $B$ est donc croissante  sur $[0;x_0]$ et décroissante sur $[x_0;100]$.
   Le bénéfice maximal est donc obtenu pour une production de $68$ meubles par jour.
   Le bénéfice est alors de $10~316$ euros par jour.
   L’entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Sur quatre semaine, cela représente donc $20$ jours de travail.
   Le bénéfice maximal sur quatre semaines est donc de $206~320$ euros.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. $\quad$
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(R) &= p(R \cap I) + p\left(R \cap \overline{I}\right) \\\\
   & = 0,4 \times 0,2 + 0,6 \times 0,25 \\\\
   &  = 0,23
   \end{align*}$
   $\quad$
3. On cherche à calculer :
   $\begin{align*} p_R(I) &= \dfrac{p(I \cap R)}{p(R} \\\\
   &= \dfrac{0,4 \times 0,2}{0,23} \\\\
   & \dfrac{8}{23}
   \end {align*}$
   $\quad$

Partie B

1. Graphiquement on peut lire $m_T \approx 1~800$ et $m_I \approx 2~200$.
   $\quad$
2. $p(X_T \le 1~600) \approx 0,16$.
   $\quad$
3. Or $0,16 \times 1~200 = 192$.
   Donc environ $192$ techniciens ont un salaire inférieur ou égal à $1~600$ euros par mois.
   $\quad$

Partie C

1. a. $\dfrac{1~764 – 1~800}{1~800} = -0,02$
   Le salaire mensuel moyen des techniciens a donc baissé de $2\%$.
   $\quad$
   b. $\dfrac{2~156 -2~200}{2~200} = -0,02$
   Le salaire mensuel moyen des ingénieurs a donc baissé de $2\%$.
   $\quad$
2. a. Masse salariale avant restructuration :
   $1~200 \times 1~800 + 800 \times 2~200 = 3~920~000$ euros
   $\quad$
   Masse salariale après restructuration :
   $950 \times 1~764 + 1~050 \times 2~156 = 3~939~600$ euros
   b. Les techniciens qui ont été promus avaient probablement des salaires supérieurs à la moyenne des techniciens mais inférieurs à ceux des ingénieurs.