Bac STMG – Centres étrangers – Juin 2016

Centres étrangers – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. $f'(-1)$ correspond au coefficient directeur de $T$.
    Donc $f'(-1)=\dfrac{5-3}{-2-(-1)}=-2$
    Réponse b
    $\quad$
  2. $f'(x)\leqslant 0$ sur l’intervalle $I$ si, et seulement $f$ est décroissante sur $I$.
    $f$ est décroissante sur $[-3;2]$.
    Réponse b
    $\quad$

Partie B

  1. $g'(x)=-2\times 3x^2+3\times 2x+12=-6x^2+6x+12$
    Réponse b
    $\quad$
  2. On trace la courbe et on constate que $g(2)=20$.
    Le maximum vaut donc au moins $20$.
    Réponse a
    $\quad$

Exercice 2

  1. $p(V)=\dfrac{31,622}{38,204}\approx 0,828$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    TSTMG - centres étrangers- juin 2016 - ex2
  3. a. On veut calculer $p(V\cap D)=0,828\times 0,62 = 0,513~36$
    Donc $p(V\cap D) \approx 0,513$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(V\cap D)+p\left(\overline{V}\cap D\right) \\
    &=0,513~36+0,172\times 0,94 \\
    &=0,675~04 \\
    &\approx 0,675
    \end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer $p_D\left(\overline{V}\right)=\dfrac{p\left(\overline{V}\cap D\right)}{p(D)}=\dfrac{0,172\times 0,94}{0,675}\approx 0,240$.
    $\quad$
  4. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de véhicule ne roulant pas au diesel.
    Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendant, avec remise possédant chacun deux issues : $D$ et $\overline{D}$.
    $p\left(\overline{D}\right)=1-0,675=0,325$
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,325$.
    $P(X=3)\approx 0,263$
    $\quad$
  5. On appelle $D$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=200~000$ et d’écart-type $\sigma =30~000$.
    $P(D\geqslant 260~000) =0,5-P(200~000\leqslant D\leqslant 260~000) \approx 0,023$
    $\quad$

Exercice 3

  1. a. $u_1=1,01\times 1~600 = 1~616$
    $u_2=1,01 \times 1~616 = 1~632,16$
    $\quad$
    b. On a donc pour tout entier naturel compris entre $0$ et $9$ $u_{n+1}=1,01u_n$.
    $\quad$
    c. $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $1,01$ et de premier terme $u_0=1~600$.
    Donc $u_n=1~600\times 1,01^n$.
    $\quad$
    d. On cherche la valeur de $n$ à partir de laquelle $u_n \geqslant 1~700$.
    On a $u_6 \approx 1~698,43$ et $u_7 \approx 1~715,42$
    C’est donc à partir de 2021 que le salaire de Justine dépassera $1~700$ euros.
    $\quad$
  2. a. $v_1=1,02\times 1~450+50=1~529$.
    $v_2=1,02^2\times  1~450+50=1~558,58$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, on augmente de $2\%$ le salaire avec la prime de $50$ euros incluse : l’algorithme ne convient donc pas.
    Dans l’algorithme 3, on réinitialise $v$ à $1~450$ à chaque tout de boucle : l’algorithme ne convient donc pas.
    L’algorithme 2 convient donc.
    $\quad$
  3. a. On a $v_6\approx 1~682,94$ et $v_7 \approx 1~715,59$.
    Le salaire de Benjamin dépassera $1~700$ euros à partir de 2021.
    $\quad$
    b. On constate que $u_6>v_6$ et que $u_7<v_7$.
    Le salaire de Benjamin dépasse donc celui de Justine en 2021.
    $\quad$

Exercice 4

Partie A

  1. Le taux d’évolution du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2006 est :
    $$t=\dfrac{80~309-84~525}{84~525}\approx -4,99\%$$
    $\quad$
  2. On peut écrire $=(C3-B3)/B3$
    $\quad$
  3. Le coefficient multiplicateur de l’évolution du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est :
    $$t=\dfrac{56~812}{84~525}\approx 0,672~1$$
    On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*}\left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=0,672~1 &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,672~1^{1/8} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100}=0,672~1^{1/8}-1\\
    &\ssi x=100\left(1-0,672~1^{1/8}\right) \\
    &\ssi x\approx 4,85
    \end{align*}$
    Le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est d’environ $-4,85\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. $\quad$
    TSTMG - centres étrangers- juin 2016 - ex4
  2. Le nombre moyen annuel d’accidents corporels entre 2005 et 2013 est :
    $m=\dfrac{84~525+80~309+\ldots+56~812}{9}\approx 71~385$
    $\quad$
  3. a. Une équation de la droite d’ajustement est : $y=-3~502,7x+85~396,3$.
    $\quad$
    b. voir graphique.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle en 2020, $x=15$ et $y=-3~503\times 15+85~396=32~851$.
    Il y aurait donc $32~851$ accidents corporels en 2020 en France métropolitaine.
    $\quad$
  4. a. En 2013, $x=8$ et $f(8)=56~530$.
    Il y aurait donc, selon ce deuxième modèle, $56~530$ accidents corporels en 2013.
    $\quad$
    b. Déterminons le discriminant de ce trinôme du second degré.
    $\Delta = (-2~774)^2-4\times (-91)\times 84~546 =38~469~820>0$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions :
    $x_1=\dfrac{2~774-\sqrt{\Delta}}{-2\times 91} \approx 18,8 > 0$
    $x_2=\dfrac{2~774+\sqrt{\Delta}}{-2\times 91} \approx -49,3 <0$.
    Si on prend $19$ comme valeur approchée de $x_1$ alors en en 2005+19 soit 2024 le nombre d’accidents corporels sera nul.
    $\quad$
    c. La valeur trouvée grâce à ce model en 2013 est proche de la valeur fournie dans le tableau.
    Selon ce modèle il est possible de réduire à zéro le nombre d’accidents corporels liés à la Sécurité routière en France métropolitaine ce qui est irréaliste.
    $\quad$