Bac STMG – Métropole – Juin 2016

Métropole – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Réponse c
    On a $f'(4)=0$ donc la tangente est horizontale.
    On sait de plus que $f'(4)=18$ donc une équation de la tangente est $y=18$.
    $\quad$
  2. si on suppose que $f'(x)$ est un trinôme du second degré alors son coefficient principal est négatif car il s’annule entre ses racines $1$ et $4$.
    Donc on exclut les réponses b et d.
    Si $f'(x)=-3x^2-15x-12$ alors $f'(1)=-3-15-12=-30 \neq 0$.
    Réponse a
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule $P(60 \leqslant X \leqslant 72)$ avec les différentes valeurs proposées :
    Si $\sigma = 3$ alors $P(60 \leqslant X \leqslant 72) \approx 0,95$
    Réponse a
    $\quad$
  2. On veut calculer $P(X > 60) = 0,5-P(60 \leqslant X \leqslant 66) \approx 0,023$ en utilisant $\sigma = 3$. Ce résultat est proche de $0,025$.
    Réponse d

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé $u_0=42~000$ et $u_{12}=0$ (car la production sera nulle en 2027).
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0=42~000$.
    On a donc $u_n=42~000+nr$
    Par conséquent $0=42~000+12n$
    Soit $n=-\dfrac{42~000}{12}=-3~500$
    On doit donc diminuer chaque année la production sur le site A de $3~500$ véhicules.
    $\quad$

Partie B

  1. La production augmente de $5\%$ donc le coefficient multiplicateur est $1+\dfrac{5}{100}=1,05$.
    Ainsi $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $v_0=53~000$.
    $\quad$
  2. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=53~000\times 1,05^n$.
    $\quad$
  3. En 2016, on a $n=1$ donc $v_1=53~000 \times 1,05 = 55~650$.
    Le site B produira donc $55~650$ véhicules en 2016.
    $\quad$
    En 2017, on a $n=1$ donc $v_2=53~000 \times 1,05^2 = 58~432,5$.
    Le site B produira donc environ $58~433$ véhicules en 2017.
    $\quad$
  4. Le nombre $k$ correspond au nombre d’années nécessaire pour que le site B produise l’intégralité des $95~000$ véhicules.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. La calculatrice nous fournit l’équation $y=-9,52x+574,01$
    $\quad$
  2. $\quad$
    STMG - métropole - juin 2016 - ex3
  3. En 2016, on a alors $x=13$
    Donc $y=-9,5\times 13+574=450,5$.
    On peut donc prévoir $450,5$ million de tonnes de gaz à effet de serre en 2016 en France.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution global est $\dfrac{490,01-557,21}{557,21} \approx -12,06\%$ entre 2004 et 2011.
    $\quad$
  2. Le coefficient multiplicateur global est environ $0,8794$.
    On peut tester si le résultat fourni permet de retrouver le coefficient multiplicateur.
    On peut aussi retrouver la valeur.
    On veut déterminer la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^7=0,8794& \ssi 1-\dfrac{x}{100}= 0,8794^{1/7} \\
    &\ssi -\dfrac{x}{100} = 0,8794^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1-0,8794^{1/7}\right)\\
    &\ssi x \approx 1,82
    \end{align*}$
    La baisse annuelle moyenne d’émission de gaz à effet de serre sur la période en environ de $1,82\%$.
    $\quad$
  3. Si cette baisse continue, on émettra en 2016 $490,01 \times \left(1-\dfrac{1,82}{100}\right)^5 \approx 447,01$ million de tonnes de gaz à effet de serre en France.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f(10) = \dfrac{75\times 10}{10+2}=62,5<70$.
    L’objectif fixé ne sera donc pas atteint.
    $\quad$
  2. $\quad$
    STMG - métropole - juin 2016 - ex4Il faut donc $4$ semaines pour que le pourcentage d’habitants ayant pris connaissance de la marque passe de $50\%$ à $60\%$.
    $\quad$
  3. Il s’agit de dériver un quotient.
    Pour tout réel $x\in[0;15]$, on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{75(x+2)-1\times 75x}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{75x+150-75x}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{150}{(x+2)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Le dénominateur est un carré; il est donc positif.
    Par conséquent $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0;15]$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
    $\quad$
  5. Pour répondre à cette question, on calcule $f(15) = \dfrac{1~125}{17} \approx 66,2$.
    L’objectif fixé n’est donc pas atteint. Il faudra bien un délai supplémentaire.
    $\quad$
  6. Pour trouver ce délai supplémentaire, on va résoudre l’inéquation suivante :
    $\begin{align*} f(x)>70 &\ssi \dfrac{75x}{x+2}> 70 \\
    &\ssi 75x > 70(x+2) \\
    &\ssi 75x > 70x + 140 \\
    &\ssi 5x > 140 \\
    &\ssi x> \dfrac{140}{5} \\
    &\ssi x > 28
    \end{align*}$
    Il faut donc $28$ semaines pour atteindre l’objectif. L’agence doit donc demander $13$ semaines supplémentaires de campagne.
    $\quad$

Partie B

  1. On calcule $f(3)=\dfrac{75\times 3}{3+2}=45$
    Donc $p(C)=0,45$.
    $\quad$
    On obtient l’arbre pondéré suivant :
    STMG - métropole - juin 2016 - ex4.1
  2. On veut calculer $p(C \cap A) = 0,45 \times 0,2 = 0,09$
    $\quad$
  3. $p(A)=0,45\times 0,2+0,55 \times 0,04 = 0,112$.
    $\quad$
  4. Un intervalle de fluctuation est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,112-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,112+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\
    &\approx [0,067;0,157]
    \end{align*}$
    La fréquence observée est $f= \dfrac{44}{500}=0,088\in I_{500}$
    On ne peut donc pas rejeter, au risque de $5\%$ l’hypothèse formulée.
    $\quad$

Énoncé

Télécharger (PDF, 907KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.