Métropole – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

1. $\quad$
   
2. L’événement $D \cap O$ correspond à “l’élève choisi suit un parcours diplômant et fait partie d’un orchestre”.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(O)&=p(D\cap O) + p(L\cap O) \\\\
   &= 0,4\times 0,3 + 0,6 \times 0,25 \\\\
   &=0,27
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_O(D) &= \dfrac{p(D \cap O)}{p(O)} \\\\
   &=\dfrac{0,4 \times 0,3}{0,27} \\\\
   &=\dfrac{0,12}{0,27} \\\\
   & \approx 0,444
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(50;0,75)$.
   Par conséquent $E(X) = 50 \times 0,75 = 37,5$.
   $\quad$
2. On veut donc calculer ici $P(X \le 400) \approx 0,996$ d’après la calculatrice.
   $\quad$

Exercice 2

1. $\dfrac{470}{1~445} \approx 0,325$ Réponse c
   $\quad$
2. Le taux d’évolution du SMIC entre ces deux dates est de $\dfrac{1~445-1~154}{1~154} \approx 0,252$ Réponse d
   $\quad$
3. On cherche la valeur de $t$ telle que :
   $$\begin{align*} 1154 \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1445 & \ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=\dfrac{1445}{1154} \\\\
   & \ssi 1+\dfrac{t}{100}= \sqrt[10]{\dfrac{1445}{1154}} \\\\
   & \ssi t = 100 \times \left(\sqrt[10]{\dfrac{1445}{1154}}-1\right) \\\\
   & t \approx 2,27
   \end{align*}$$
   Réponse a
   Remarque : on pouvait également tester pour quelle valeur $ 1~154 \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1~445$
   $\quad$
4. En $2019$, il serait de $1445 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right)^5 \approx 1~519$ euros.
   Réponse d
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : la facture

$$\begin{array}{|l|r|l|}
\hline
\text{Prestations} & \text{Prix hors taxe} & \text{Prix T.V.A. incluse} \\
\hline
\text{- Travaux sur la façade} & 5~002~€&5~502,2~€\\
\text{- Autres prestations} & 3~318~€&3~649,8~€\\
\hline
\text{Total}& 8~320~€&\text{Total : }9~152~€ \\
\hline
\end{array}$$

En effet $5~002 \times 1,1 = 5~502,2$
$9~152-5~502,2 = 3~649,8$
$\dfrac{3~649,8}{1,1} = 3~318$

Partie B : l’épargne de Madame M.

1. Le premier terme de la suite est $v_0=5~000$ et sa raison est $q=1,025$.
   $\quad$
2. On a donc $v_n=5~000\times 1,025^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
3. Le $1^{\text{er}}$ juin $2017$ il se sera écoulé $24$ mois.
   Ainsi $v_{24} = 5~000 \times 1,025^{24}  \approx 9~046,63$
   Ce ne sera donc pas suffisant pour payer le montant de $9~152$ € correspondant à la facture.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : Étude statistique 

1. L’équation de la droite d’ajustement est $y=-8,05x+145,75$.
   $\quad$
2. a. D’après ce modèle, on a $y=-8\times 12 + 146 = 50$.
   Si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à $12$ €, il aura, selon ce modèle, $50$ clients.
   $\quad$
   b. On cherche la valeur de $x$ telle que $100 = -8x+146$
   Soit $ -46 = -8x$ et donc $x=\dfrac{46}{8} = 5,75$.
   Il doit donc fixer le prix du plat du jour à $5,75$ € pour attirer $100$ clients.
   $\quad$

Partie B : Optimisation de la recette

1. Si $x=13$ alors $y=41$.
   La recette est donc de $13 \times 41 = 533$ euros.
   $\quad$
2. a. On a
   $\begin{align*} f(x) &= x \times y \\\\
   &=x(-8x+146) \\\\
   &= -8x^2 + 146x
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $f'(x) = -8 \times 2x + 146 = -16x + 146$.
   $\quad$
   c. On a $-16x+146 \ge 0$ $\ssi -16x \ge 146$ $\ssi x \le \dfrac{146}{16}$ $\ssi x \le 9,125$.
   
3. La recette sera donc maximale si le prix est de $9,1$ euros (arrondi au dixième d’euro).
   $-8\times 9,1 + 146 = 73,2$.
   Il servira alors $73$ plats du jour.