Exercice 1

1. On lit $S(20)\approx 40$ et $S(120)\approx 88$.
   Le client est donc plus satisfait au bout de $2$ heures de présence dans la zone commerciale qu’au bout de $20$ minutes.
   $\quad$
2. La fonction $S$ semble, d’après le graphique, atteindre la valeur $100$ pour $x=90$.
   Il y a donc saturation au bout de $1$h $30$min.
   $\quad$
3. D’après le graphique, il y a envie sur l’intervalle $[0;90]$.
   $\quad$
   $\quad$
4. On a $S(90)=100 \ssi a\times 90^2=100$
   Donc $a=\dfrac{100}{90^2}=\dfrac{1}{81}$.
   $\quad$

Exercice 2

1. $X=\mu$ est un axe de symétrie de la courbe représentant la fonction de densité de la loi de $X$.
   La figure 2 correspond donc à la courbe de densité de la loi de $X$.
   $\quad$
2. $P(0,34 \pp X\pp 1,06) \approx  0,954$
   La probabilité qu’une entreprise saine ait un ratio compris entre $0,34$ et $1,06$ est environ égale à $0,954$.
   $\quad$
3. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
4. On a :
   $\begin{align*} P(Y\pg 0,4)&=P(X\pg 0,1)-P(0,1\pp Y\pp 0,4) \\
   &=0,5-\left(P(0,1\pp Y\pp 0,3)+P(0,3\pp Y\pp 0,4)\right) \\
   &=0,5-\left(P(0,1\pp Y\pp 0,3)+P(-0,2\pp Y\pp -0,1)\right) \\
   &=0,5-(0,409+0,068) \\
   &=0,023\end{align*}$
   La probabilité qu’une entreprise défaillante ait un ratio supérieur à $0,4$ est égale à $0,023$.
   $\quad$

Exercice 3

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
2. On a $p\left(S\cap \conj{I}\right)=\dfrac{25}{150}\times \dfrac{3}{25}=\dfrac{1}{50}$
   La probabilité que la page choisie corresponde à un escape game de la catégorie science fiction se déroulant en extérieur est égale à $\dfrac{1}{50}$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a:
   $\begin{align*} p\left(\conj{I}\right)&=p\left(E\cap \conj{I}\right)+p\left(V\cap \conj{I}\right)+p\left(S\cap \conj{I}\right) \\
   &=\dfrac{75}{150}\times \dfrac{5}{75}+\dfrac{50}{150}\times \dfrac{8}{150}+\dfrac{1}{50} \\
   &=\dfrac{8}{75}\end{align*}$
   La probabilité que la page choisie corresponde à un escape game se déroulant en extérieur est égale à $\dfrac{8}{75}$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{\conj{I}}(S)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{I}\right)}{p\left(\conj{I}\right)} \\
   &=\dfrac{~~\dfrac{1}{50}~~}{\dfrac{8}{75}} \\
   &=\dfrac{3}{16}\end{align*}$
   La probabilité que la page choisie corresponde à un escape game de la catégorie science-fiction est égale à $\dfrac{3}{16}$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A : PIB par habitant de la zone euro

1. Une équation de cette droite est $y=739,3x+28~296,4$.
   $\quad$
2. a. Si $x=0$ alors $y=28~300$.
   Si $x=9$ alors $y=740\times 9+28~300=34~960$.
   Les points de coordonnées $(0;28~300)$ et $(9;34~960)$ appartiennent à la droite $D$.
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. En 2020 on a $x=8$
   $y=740\times 8+28~300=34~220$
   D’après ce modèle, le PIB par habitant de la zone euro sera de $34~220$ SPA en 2020.
   $\quad$

Partie B

1. $\dfrac{44~300-38~900}{38~900}\approx 0,1388$.
   Le taux d’évolution global du PIB par habitant des États-Unis entre 2012 et 2018 est environ égale à $13,88\%$.
   $\quad$
2. On appelle $t$ le taux d’évolution moyen annuel du PIB entre 2012 et 2018.
   On a donc
   $\begin{align*} 38~900\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^6=44~300&\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^6=\dfrac{44~300}{38~900} \\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{443}{389}\right)^{1/6}\\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{443}{389}\right)^{1/6}-1 \\
   &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{443}{389}\right)^{1/6}-1\right)\end{align*}$
   Par conséquent $t\approx 0,219$.
   Le taux d’évolution moyen annuel du PIB entre 2012 et 2018 est environ égale à $2,19\%$.
   $\quad$
3. a. Le coefficient multiplicateur est donc $1+\dfrac{2,2}{100}=1,022$.
   La raison de la suite géométrique est donc égale à $1,022$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=44~300\times 1,022^n$.
   $\quad$
   c. En 2032 on a $n=14$.
   $u_{14}=44~300\times 1,022^{14}\approx 60~078$.
   D’après ce modèle le PIB par habitant des États-Unis en 2032 sera environ égal à $60~078$ SPA.
   $\quad$

Partie C : comparaison des PIB par habitant des deux zones

1. En 2018 le PIB par habitant de la zone euro était $32~800$ et celui des États-Unis était $44~300$.
   $\dfrac{3}{4}\times 44~300=33~225>32~800$
   Donc en 2018 le PIB par habitant de la zone euro était inférieur aux trois quarts du PIB par habitant des États-Unis.
   $\quad$
2. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   N\leftarrow 2018 \\
   U\leftarrow 44~300\\
   V\leftarrow 32~800\\
   \text{Tant que } V<\dfrac{3}{4}\times U\\
   \quad N\leftarrow N+1\\
   \quad U\leftarrow 1,022 \times U\\
   \quad V\leftarrow 1,022 \times V\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline\end{array}$
   $\quad$
3. Cela signifie donc que le PIB par habitant de la zone euro sera supérieur au trois-quart de celui des États-Unis à partir de 2032.
   $\quad$

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