STMG – Nouvelle-Calédonie nov 2014

Nouvelle-Calédonie – Novembre 2014

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

  1. Testons que les coordonnées des points $A$ et $B$ vérifient l’équation $y=0,18x + 1,53$.
    $A : 0,18 \times 0 + 1,53 = 1,53 = y_A$.
    $B : 0,18 \times 5,5 + 1,53 = 2,52 = y_B$.
    Par conséquent, une équation de $(AB)$ est bien $y=0,18x + 1,53$.
    $\quad$
  2. Avec cet ajustement, on prend $x = 22$ donc $y = 0,18 \times 22 + 1,53 = 5,49$.
    Le prix moyen d’un paquet de cigarettes le 1er janvier 2012 était, selon cet ajustement de $5,49$ euros.
    Le prix moyen réel étant de $6,40$ euros, la valeur trouvée est très éloignée de la valeur réelle.

Partie B

  1. Le taux d’évolution du prix global d’un paquet de cigarettes entre le 1er janvier 2000 et le 1er janvier 2012 est donné par  : $\dfrac{6,40 – 3,20}{3,20} = 1$.
    Le taux d’évolution global est donc de $100\%$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $t$ telle que $\left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12} = 1 + 1$
    Soit $ \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^{12} = 2$
    Par conséquent $1 + \dfrac{t}{100} = \sqrt[12]{2}$
    Donc $t = 100 \times \left(\sqrt[12]{2} – 1\right) \approx 5,95$.
    Le taux d’évolution annuel moyen entre ces deux dates est donc d’environ $6\%$

Partie C

  1. a. $u_1 = 1,06u_0 = 3,392$ et $u_2 = 1,06u_1 \approx 3,596$
    $\quad$
    b. Le prix augmentant chaque de $6\%$ celui est donc multiplié par $1,06$.
    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $u_0 = 3,2$.
    $\quad$
    c. $u_n = 3,2 \times 1,06 ^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    d. En 2005, $n = 5$ et $u_5 = 3,2 \times 1,06^5 \approx 4,282 <5$
    Selon ce modèle, le prix moyen d’un paquet de cigarettes ne dépasse pas $5$ euros le 1er janvier 2005.
    $\quad$
  2. a. b. Cet algorithme calcule la somme $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 \approx 18,04.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& &1&2&3&4 \\\\
    \hline
    u&3,2&3,39&3,60&3,81&4,04 \\\\
    \hline
    S&3,2&6,59&10,19&14&18,04\\\\
    \hline
    \end{array}$
  3. On doit donc calculer :
    $\begin{align} S&=90 \times(u_0+u_1+u_2+…+u_10) \\\\
    &= 90 \times 3,2 \times \dfrac{1 – 1,06^{11}}{1 – 1,06} \\\\
    & \approx 4311,83
    \end{align}$
    Durant ces $11$ années il aurait pu économiser environ $4~311,83$ euros.

Exercice 2

  1. a. $p(A) = \dfrac{266~430}{571~870} \approx 0,47$
    $\quad$
    b. $p_A\left(\overline{C}\right) = 0,08$
    $\quad$
  2. $\quad$
    stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex2
  3. a. $C \cap A$ est l’événement “la fiche choisie est celle d’un véhicule de la marque A ayant un contrôle technique conforme”.
    $\quad$
    b. $p(C \cap A) = 0,47 \times 0,92 = 0,4324$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a:
    $\begin{align} p(C) &= p(C \cap A) + p(C \cap B) \\\\
    &= 0,4324 + 0,53 \times 0,94 \\\\
    &= 0,9306 \\\\
    & \approx 0,93
    \end{align}$
    $\quad$
  5. On veut donc calculer $p_C(A) = \dfrac{p(C \cap A)}{p(C)} \approx \dfrac{0,4324}{0,93} \approx 0,46$.

Exercice 3

  1. $P(X \le 10) = P(X < 10)$
    $\quad$
  2. $P(8 \le X \le 16) = P(\mu – 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,95$
    $\quad$
  3. $P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) – P(X \le 8) = 0,5 – P(X \le 8)$
    $\quad$
  4. $I = \left[0,487 – \dfrac{1}{\sqrt{150}};0,487 + \dfrac{1}{\sqrt{150}}\right] \approx [0,40:0,57]$

Exercice 4

  1. $C(0) = 2^3 – 13,5 \times 2^2 + 60 \times 2 + 1~000 = 1~074$
    La production de $2$ pièces coûte $1~074$ euros
    $\quad$
  2. a. La recette pour $2$ pièces produites et vendues est de $2 \times 270 = 540$ euros.
    $\quad$
    b. La formule saisie et $”=A2 * 270″$
    $\quad$
  3. D’après le tableau, le coût de production des $5$ pièces ($1~087,5$ milliers d’euros) est supérieur à la recette ($810$ milliers d’euros).
    L’entreprise ne réalise donc pas de gain.
  4. Pour réaliser un gain, il faut que la recettes soit supérieures au coût. D’après le tableau cela est possible quand l’entreprise produit entre $5$ et $21$ pièces.
    $\quad$
  5. a. $B'(x) = -3x^2 + 2 \times 13,5x + 210 $ $=-3x^2 + 27x + 210$
    $\quad$
    b. Calculons le discriminant.
    $\Delta = 27^2 – 4 \times (-3) \times 210 = 3249 > 0$
    Il y a donc deux racines $x_1 = \dfrac{-27 – \sqrt{3249}}{-6} = 14$ et $x_2 =  \dfrac{-27 + \sqrt{3249}}{-6} \approx -5$.
    Le coefficient de $x^2$ étant $-3 <0$ on a alors $B'(x) \le 0 $ entre les racines et $B'(x) \le 0$ en-dehors des racines.
    Puisque $x \in [0;25]$, cela signifie donc que $B'(x) \ge 0$ sur $[0;14]$ et $B'(x) \le 0$ sur $[14;25]$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    stmg-nouvelle-caledonie-nov2014-ex4
  7. Le bénéfice est maximal quand l’entreprise produit et vend $14$ pièces. Il est alors de $1~842$ euros.