Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2020

Nouvelle Calédonie – Novembre 2020

Bac STMG – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $S\cap A$ est l’événement « la personne pratique une activité sportive et une activité artistique».
    $\begin{align*} P(S\cap A)&= P(S)\times P_S(A) \\
    &=0,6 \times 0,05\\
    &=0,03\end{align*}$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(A)&=P(S\cap A)+P\left(\conj{S}\cap A\right) \\
    &=0,03+0,4\times 0,27\\
    &=0,138\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(S)&=\dfrac{P(S\cap A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,03}{0,138} \\
    &=\approx 0,217\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie pratique une activité sportive sachant qu’elle pratique une activité artistique est environ égale à $0,217$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Les points de ce nuage de points semblent alignés. Un ajustement affine est donc envisageable.
    $\quad$
  2. Une équation de cette droite est $y=281,0x+5~813,4$.
    $\quad$
  3. On obtient le graphique :

    $\quad$
  4. Si $x=25$ alors $y=280\times 25+5~800=12~800$
    Selon ce modèle, en 2025, $12~800$ millions de tonnes seront transportées par voie maritime.
    $\quad$

Partie B

  1. On a : $P(X\pp 26)=0,5$ puisque $\mu=26$.
    La probabilité que le trajet dure moins de $26$ jours est égale à $0,5$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 28)&=P(X\pg 26)-P(26\pp X\pp 28)\\
    &=0,5-P(26\pp X\pp 28)\\
    &\approx 0,159\end{align*}$
    La probabilité que le navire mette plus de 28 jours pour faire le trajet est environ égale à $0,159$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $\dfrac{50-1~300}{1~300}=-0,972$
    La population de papillons Monarques a donc diminué d’environ $97,2\%$ entre 1997 et 2019. Le taux d’évolution est environ égal à $-0,972$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} 1~300\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{22}=50&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{22}=\dfrac{1}{26} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{26^{1/22}}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{26^{1/22}}-1\\
    &\ssi x=\dfrac{100}{26^{1/22}}-100\end{align*}$
    Donc $x\approx -13,8$
    Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de papillons Monarques entre 1997 et 2019 est environ égale à $-13,8 \%$.
    $\quad$

Partie B

  1. $u_1=\left(1-\dfrac{14}{100}\right)u_0=0,86\times 50=43$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{14}{100}\right) u_n\\
    &=0,86u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,86$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=50\times 0,86^n$.
    $\quad$
  4. En 2029 on a $n=10$
    Donc $u_{19}=50\times 0,86^{10}\approx 11$
    Selon ce modèle, il y aura environ $11~000$ papillons Monarques en 2029.
    $\quad$
  5. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 50\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }U\pg 10\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,86\times U\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Graphiquement, le chiffre d’affaires mensuel pour $10$ milliers de figurines vendues est égal à $50~000$ euros.
    $\quad$
  2. Graphiquement, l’entreprise réalise un bénéfice lorsque l’entreprise vend entre $4~000$ et $14~000$ figurines.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice mensuel

  1. a. Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta = (-18)^2-4\times 56=100$
    Ainsi les solutions de l’équation sont :
    $x_1=\dfrac{18-\sqrt{100}}{2}=4$ et $x_2=\dfrac{18+\sqrt{100}}{2}=14$
    $\quad$
    b. On a donc $B(4)=0$ et $B(14)=0$
    Le bénéfice est nul lorsque l’entreprise produit $4~000$ et $14~000$ figurines.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $x\in[0;18]$ on a
    $\begin{align*} B'(x)&=-230\times 2x+4~140 \\
    &=-460x+4~140\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-460x+4~140=0 \ssi 460x=4~140\ssi x=9$
    $-460x+4~140>0 \ssi -460x>-4~140\ssi x<9$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. $B$ atteint sont maximum pour $x=9$
    L’entreprise doit donc produire $9~000$ figurines pour réaliser un bénéfice maximal de $5~750$ euros.
    $\quad$

 

Énoncé

Télécharger (PDF, 821KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.