Polynésie – Juin 2015

Bac STMG  -Mathématiques – Juin 2015

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. a. $f(4) = 2~204$ et $f(10) = 3~500$.
   Pour $4$ ordinateurs vendus en une journée le bénéfice est de $2~204$ euros et pour $10$ ordinateurs de $3~500$ euros.
   $\quad$
   b. $f'(x) = 3x^2 – 2\times 60x + 900$ $ =3x^2 – 120x + 900$.
   $\quad$
   c. Pour $f'(x)$ on détermine dans un premier temps son discriminant.
   $\Delta = (-120)^2  – 4 \times 3 \times 900 = 3~600 > 0$.
   Il y a donc deux racines :
   $x_1 = \dfrac{120 – \sqrt{3~600}}{3 \times 2} = 20 – 10 = 10$
   $x_2 = \dfrac{120 + \sqrt{3~600}}{3 \times 2} = 20 + 10 = 30$
   De plus $a = 3 > 0$
   Donc $f'(x) \ge 0$ sur $[0;10]$ et $f'(x) \le 0$ sur $[10;30]$.
   $\quad$
   On obtient alors le tableau de variations suivant :
   
   d. La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=10$.
   L’entreprise donc fabriquer et vendre $10$ ordinateurs par jours pour avoir un bénéfice maximal.
   Ce bénéfice est de $3~500$ euros.
   $\quad$
2. a. Pour réaliser un bénéfice d’au moins $2~500$ euros, l’entreprise doit fabriquer et vendre entre $5$ et $16$ ordinateurs.
   $\quad$
   b. Pour le contrat A, l’entreprise doit fabriquer $30$ ordinateurs par jour. Cela occasionne alors un déficit de $500$ euros par jours.
   $\quad$
   Pour le contrat B, l’entreprise doit fabriquer $20$ ordinateurs par jours. Cela lui permet de réaliser un bénéfice de $1~500$ euros par jour.
   Elle doit donc choisir le contrat B.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. $\quad$
   
2. Sur la période 1970-2010
   Une équation de la droite d’ajustement est $y=477,69x – 886,42$.
   $\quad$
3. Voir graphique
   $\quad$
4. La parabole semble passer plus près des points que la droite. On va donc utiliser cette ajustement.
   En 2020, $x=7$, on alors $y=2~807,2$.
   Le P.I.B en 2020 peut être estimer à $2~807,2$ milliards d’euros.
   $\quad$

Partie B

1. Le taux d’évolution est $\dfrac{1998,5 – 1485,3}{1485,3}  \approx 34,6 \%$
   $\quad$
2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
   $\begin{align*} 1485,3 \times \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^{10} = 1998,5 & \ssi \left(1 + \dfrac{x}{100}\right)^{10} = \dfrac{1998,5}{1485,3} \\\\
   & \ssi 1 + \dfrac{x}{100} = \sqrt[10]{\dfrac{1998,5}{1485,3}} \\\\
   & \ssi x \approx 3,01
   \end{align*}$
   Le taux d’évolution annuel moyen du P.I.B. de 2000 à 2010 est d’environ $3\%$.
   $\quad$
3. a. On peut écrire $=B3/B2$
   $\quad$
   b. En $C8$, on obtient $1,34551942$
   $\quad$
   c. La période 1970-1980 a le coefficient multiplicateur le plus important. C’est donc dans cette décennie qui a connu la plus forte évolution du P.I.B.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. $\quad$
   
2. On cherche à calculer
   $P(G \cap M) = 0,001 \times 0,8 = 0,0008$
   $\quad$
3. On veut calculer $P_M(G)$.
   On doit donc dans un premier temps calculer $P(M)$
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(M) &= P(G \cap M) + P\left(\overline{G} \cap M \right) \\\\
   &= 0,001 \times 0,8+ 0,999 \times 0,01 \\\\
   &=0,01079
   \end{align*}$
   $\quad$
   Par conséquent
   $\begin{align*} P_M(G) &= \dfrac{P(M \cap G)}{P(M)} \\\\
   & = \dfrac{0,0008}{0,01079} \\\\
   & \approx 0,0741
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $a=0,3 – \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,2184$
   $b=0,3 + \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,3816$
   $\dfrac{s}{n} = \dfrac{40}{150} \approx 0,2667$
   Donc $a \le \dfrac{s}{n} \le b$.
   L’algorithme affichera “résultats conformes”.
   $\quad$
2. $a=0,3 – \dfrac{1}{\sqrt{200}} \approx 0,2293$
   $b=0,3 + \dfrac{1}{\sqrt{150}} \approx 0,3707$
   $\dfrac{s}{n} = \dfrac{75}{200} =0,375$
   Donc cette valeur n’est pas comprises entre $a$ et $b$.
   L’algorithme affichera “résultats non conformes”.
   $\quad$
3. L’intervalle $[a;b]$ correspond à un intervalle de fluctuation au seuil de $0,95$ du pourcentage de patients traités qui auront des effets secondaires.
   $\quad$

Exercice 4

1. $U_4 = 10 \times 3^4 = 810$
   Réponse b
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} V_0 +V_1+_ldots+ V_10 &= 0 + 5 + 5 \times 2 + \ldots + 5\times 10 \\\\
   &= 5(1 + 2 + \ldots  10) \\\\
   &= 5 \times \dfrac{11 \times 10}{2} \\\\
   &= 275
   \end{align*}$
   Réponse d
   
3. La suite $(a_n)$ est une suite géométrique de premier terme $a_0 = 150$ et de raison $1,1$.
   On a ainsi $a_n = 150 \times 1,1^n$
   Réponse d
   $\quad$
4. On cherche la valeur de $n$ telle que $a_n \ge 300$
   On a alors $a_7 \approx 292,31$ et $a_8 \approx 353,69$.
   C’est donc pour $n=8$ que la ville dépassera son objectif soit en 2020.
   Réponse c