Polynésie – Juin 2016

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A : Approximation de la population en 1871

1. $\quad$
   
2. D’après la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine est : $y=0,701x+35,881$
   $\quad$
3. voir graphique
   $\quad$
4. En 1871, on a $x=2$.
   Selon ce modèle, $y=0,7 \times 2 +35,9 = 37,3$.
   En 1871, il y avait donc environ $37,3$ millions d’habitants en France.
   $\quad$

Partie B : Évolution de la population après 1911

1. En 1921 on a $x=7$
   Alors $y=0,7 \times 7+35,9=40,8$
   Cette valeur est un peu plus élevée que les $39,2$ constatés mais reste dans une zone acceptable
   Le modèle utilisé prévoyait donc d’obtenir une valeur approchée du résultat.
   $\quad$
2. En 2011 on a $x=16$
   $y=0,7 \times 16+35,9 = 47,1$.
   On est donc très éloigné de la valeur constatée. Le modèle ne reste pas valable jusqu’à nos jours.
   $\quad$

Partie C

1. Le taux d’évolution global entre 1911 et 2011 est
   $$t=\dfrac{65,2-39,6}{39,6} \approx 64,65\%$$
2. On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{100}=1,6465 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,6465^{1/100} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=1,6465^{1/100}-1 \\
   &\ssi x=100\left(1,6465^{1/100}-1\right) \\
   &\ssi x\approx 0,5
   \end{align*}$
   Le taux d’évolution annuel moyen pendant cette période est d’environ $0,5\%$.
   $\quad$
3. a. $U_3=39,6\times 1,005^3 \approx 40,2$
   $U_{100}=39,6\times 1,005^{100} \approx 65,2$
   $\quad$
   b. $U_3$ correspond à la population française en millions d’individus en 1914.
   $U_{100}$ correspond à la population française en millions d’individus en 2011.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. Le revenu pour $x$ exemplaires fabriqués et vendus est donné $R(x)=800x$.
   Donc :
   $\begin{align*} f(x)&=R(x)-C(x) \\
   &=800x-0,01x^2-250x+2~500~000\\
   &=-0,01x^2-550x-2~500~000
   \end{align*}$
   $\quad$
2. $f'(x)=-0,02x+550$
   $\quad$
3. On va étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0;60~000]$.
   $f'(x)=0 \ssi -0,02x+550=0$ $\ssi 0,02x=550$ $\ssi x=\dfrac{550}{0,02}$ $\ssi x=27~500$
   $f'(x)>0 \ssi -0,02x+550>0$ $\ssi -0,02x>-550$ $\ssi x < \dfrac{550}{0,02}$ $\ssi x < 27~500$
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
4. L’entreprise doit donc vendre $27~500$ téléphones pour réaliser un bénéfice maximal de $5~062~500$ euros.
   $\quad$
5. a. Graphiquement, l’entreprise doit vendre entre $10~000$ et $45~000$ téléphones pour réaliser un bénéfice supérieur à $2$ millions d’euros.
   $\quad$
   b. Si l’entreprise produit $60~000$ exemplaires en 2016 alors son bénéfice sera négatif.
   Elle n’a donc pas intérêt à le faire.
   $\quad$

Partie B

1. En $C2$ on a saisi $=B2/A2$.
   $\quad$
2. D’après le tableau, le bénéfice unitaire est maximal quand $x=16~000$.
   L’entreprise doit donc fabriquer et vendre $16~000$ exemplaires pour réaliser un bénéfice unitaire maximal.
   $\quad$

Partie C

1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=14$ et d’écart type $\sigma=2$.
   On a alors $P(12\leqslant X \leqslant 16)\approx 0,683$.
   $\quad$
2. $P(X > 18)=0,5-P(14 \leqslant X \leqslant 18)\approx 0,023$
   La probabilité pour qu’un jour donné la production ne soit pas satisfaisante est d’environ $2,3\%$.
   $\quad$

Exercice 3

1. Un intervalle de fluctuation à au moins $95\%$ de la fréquence des filles est :
   $I_{100}=\left[0,49-\dfrac{1}{\sqrt{100}};0,49+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]=[0,39;0,59]$
   Réponse b
   $\quad$
   Pour les deux questions suivantes on utilisera cet arbre pondéré.
   
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(D)&=P(F\cap D)+P(G\cap D) \\
   &=0,49\times 0,75+0,51\times 0,2 \\
   &=0,4696
   \end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
3. $P(F\cap D)=0,49\times 0,75=0,3675$
   Réponse c
   $\quad$
4. La variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,49$.
   A l’aide de la calculatrice, on trouve $P(Y=2)\approx 0,32$
   Réponse b
   $\quad$