Bac STMG – Polynésie – Septembre 2020

Polynésie – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$

  2. D’après l’arbre pondéré on a $p(T\cap L)=0,55\times 0,35=0,192~5 $
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(L)&=P(T\cap L)+p(A\cap L) \\
    &=0,192~5+0,45\times 0,15 \\
    &=0,26\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_L(T)&=\dfrac{p(T\cap L)}{p(L)} \\
    &=\dfrac{0,192~5}{0,26} \\
    &\approx 0,74\end{align*}$
    La probabilité d’avoir suivi une formation en BTS ou DUT sachant que l’on a obtenu une licence est environ égale à $0,74$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} p_L(A)&=\dfrac{p(L\cap A)}{p(L)} \\
    &\dfrac{0,45\times 0,15}{0,26} \\
    &\approx 0,26\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation $y=-485,97x+9~142,72$.
    $\quad$
  3. En 2010 on a $x=13$.
    On obtient le graphique suivant :
    Selon ce modèle il y a donc eu environ $2~800$ morts en 2010.
    $\quad$
  4. $7~643\times \left(1-\dfrac{48}{100}\right) \approx 3~974$.
    Il y a donc eu $3~974$ morts sur les routes françaises en 2010.

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\dfrac{64,9-45,4}{45,4}=0,427$
    Le taux global d’évolution entre 2002 et 2012 est d’environ $43\%$.
    $\quad$
    b. On appelle $t$ le taux annuel moyen entre 2002 et 2012.
    On a alors :
    $\begin{align*} 45,4\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=64,9&\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=\dfrac{64,9}{45,4} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{64,9}{45,4}\right)^{1/10}\\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{64,9}{45,4}\right)^{1/10}-1 \\
    &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{64,9}{45,4}\right)^{1/10}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $t\approx 3,64$.
    Le taux annuel moyen entre 2002 et 2012 est environ égal à $3,64\%$.
    $\quad$
    c. $64,9\left(1+\dfrac{3,64}{100}\right)^8 \approx 86,4$
    Le taux de recyclage en 2020 est donc d’environ $86,4\%$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $V_n=64,9\times 1,0364^n$.
    $\quad$
    b. On a donc $V_3=64,9\times 1,0364^3\approx 72,25$.
    Et $V_{10}=64,9\times 1,0364^{10}\approx 92,79$
    $\quad$
  3. a. En sortie d’algorithme la variable $n$ contient la plus petite valeur de $n$ telle que $V_n\pg 75$.
    On a $V_4\approx 74,88$ et $V_5\approx 77,60$
    La variable $n$ contiendra donc la valeur $5$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de 2017 que le taux de recyclage dépassera $75\%$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie 1

  1. Graphiquement $f(x)>0$ sur l’intervalle $[-1;7]$.
    $\quad$
  2. Graphiquement $f(x)=g(x)$ a pour solution $-1$ et $5$.
    $\quad$
  3. Graphiquement le coefficient directeur de $T$ est $2$.
    $\quad$

Partie 2

Affirmation 1 : fausse
Sur l’intervalle $]-5;4[$ on a $h'(x)<0$. La fonction $h$ est donc décroissante sur l’intervalle $[-5;4]$.
$\quad$

Affirmation 2 : fausse
Le coefficient directeur de la tangente à la représentation graphique de la fonction $h$ au point d’abscisse $-7$ est $h'(-7)$.
D’après le tableau de signes on a $h'(-7)>0$.
Par conséquent $h'(-7) \neq -3$.
$\quad$

Affirmation 3 : vraie
$3\in [-5;4]$ et $h'(x) \pp 0$ sur $[-5;4]$. Par conséquent $h'(3)\pp 0$.
$\quad$

Partie 3

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-5;5]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=3x^2+4\times 2x-3\\
    &=3x^2+8x-3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=8^2-4\times 3\times (-3)=100>0$
    Les solution de l’équation sont donc $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{100}}{6}=-3$ et $x_2=\dfrac{-8+\sqrt{100}}{6}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de $B'(x)$ est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

 

 

Énoncé

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