Polynésie – Septembre 2015

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. Le prix de l’article a été multiplié par $1+\dfrac{8,5}{100} = 1,085$ puis par $1-\dfrac{3}{100} = 0,97$.
   Au final, il a été multiplié par $1,085\times 0,97 = 1,05245$.
   Le taux d’évolution global est donc d’environ $5,25\%$.
   Réponse c
   $\quad$
2. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant effectué un achat.
   Il y a $10$ tirages indépendants, identiques et aléatoires présentant $2$ issues : “le client effectue un achat” ou “le client n’effectue pas un achat”.
   Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,29$.
   D’après la calculatrice $P(X \le 4) \approx 0,87$.
   Réponse b
   $\quad$
3. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0;2[$. Par conséquent $f'(x)< 0$ sur cet intervalle.
   Il nous reste donc les choix a. et d.
   Le coefficient directeur de la tangente en $1$ est d’environ $-2,5$.
   Réponse a
   $\quad$
4. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$. Par conséquent $f'(x)\le 0$ sur cet intervalle.
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. a.
   
   b. On veut calculer $p(M\cap S) = 0,58 \times 0,34 = 0,1972$.
   $\quad$
   c. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} p(S)&=p(S\cap M) + p\left(S \cap \overline{M}\right) \\\\
   &= 0,58 \times 0,34 + 0,42 \times 0,44 \\\\
   & = 0,382
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_S\left(\overline{M}\right) &= \dfrac{p\left(S \cap \overline{M}\right)}{p(S)} \\\\
   &=\dfrac{0,42 \times 0,44}{0,382} \\\\
   & \approx 0,484
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $n=500$ et$ p=0,382$.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{500} &= \left[0,382 – \dfrac{1}{\sqrt{500}};0,382 + \dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\\\
   & \approx [0,337;0,427]
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On calcule $P(28,4 \le S \le 48) \approx 0,95$.
   $\quad$
2. On veut calculer $P(S\ge 40) = 0,5 – P(38,2 \le S \le 40) \approx 0,36$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. Le taux global d’évolution du SMIC entre 2010 et 2013 est :
   $$\dfrac{1~120,43-1~053,24}{1~053,24} \approx 0,0638$$
   Le taux d’évolution est donc d’environ $6,38\%$.
   $\quad$
2. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel sur la période 2010-2013.
   On a ainsi :
   $\begin{align*} 1~053,24\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=1~120,43 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3 = \dfrac{1~120,43}{1~053,24} \\\\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100} = \left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} \\\\
   &\ssi \dfrac{t}{100} = \left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} – 1 \\\\
   &\ssi t = 100 \times \left(\left(\dfrac{1~120,43}{1~053,24}\right)^{1/3} – 1\right)
   \end{align*}$
   Ainsi $t\approx 2,08$
   Le taux d’évolution moyen sur la période 2010-2013 est donc d’environ $2,08\%$.
   $\quad$
3. L’indice en 2013 est de $\dfrac{1~120,43\times 100}{1~053,24} \approx 106$.
   $\quad$

Partie B

1. $u_1=1~120,43\times \left(1+\dfrac{2,1}{100}\right) \approx 1~143,96$.
   $u_2=1~143,96\times \left(1+\dfrac{2,1}{100}\right) \approx 1~167,98$.
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de premier terme $u_0=1~120,43$ et de raison $1+\dfrac{2,1}{100} = 1,021$.
   $\quad$
3. En 2020, on a $n=7$. Or $u_7 = 1~120,43\times 1,021^7\approx 1~295,88$.
   Le SMIC sera donc d’environ $1~295,88$ euros.
   $\quad$
4. L’algorithme permet de déterminer le nombre d’année nécessaire pour le SMIC dépasse $1~400$ euros.
   $\quad$
5. On a $u_{10} = 1~379,25$ et $u_{11} = 1~408,21$.
   Ainsi l’algorithme affichera $11$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Une équation réduire de la droite d’ajustement affine est $y=-2,25x+16,75$.
   $\quad$
2. a.
   
   b. En 2015, $x=7$ et $y = -2,2 \times 7 + 16,8=1,4$
   La collectivité locale dépensera donc $140~000$ euros d’après cet ajustement  en 2015.
   $\quad$

Partie B

1. Étudions le signe de $f'(x)$.
   Puisque $\left(x^2+1\right)^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-20x^2-42x+20$.
   $\delta = (-42)^2-4\times (-20)\times 20 = 3~364$.
   Les racines sont $x_1=\dfrac{42 – \sqrt{3~364}}{-40}=0,4$ et $x_2=\dfrac{42+\sqrt{3~364}}{-40}=-2,5$.
   Le coefficient principal est $a=-20<0$
   Par conséquent $-20x^2-42x+20$ est négatif sur $]-\infty;-2,5]\cup[0,4;+\infty[$ et positif sur $[-2,5;0,4]$.
   Ainsi $f'(x) <0$ sur $[1;15]$ et la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[1;15]$.
   $\quad$
2. A l’aide de cet ajustement, en prenant $x=7$, on trouve $f(7) = 3,22$.
   Cela signifie donc que la collectivité locale devrait dépenser $322~000$ euros en $2015$.
   $\quad$