Nouvelle-Calédonie – Novembre 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

On effectue $2000$ tirages, indépendants et aléatoires. Tous les tirages sont identiques et possèdent deux issues : $S$ “Le cône est défecteux” et $\overline{S}$. On sait que $p(S) = 0,003$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(2~000;0,003)$.
$\quad$
On cherche donc $P(X \le 11) \approx 0,9801$.
La probabilité qu’un lot ne soit pas échangée est donc de $98,01\%$.
$\quad$

Partie B

On a donc :
$ \begin{align} P(104 \le Y \le 116) = 0,98 & \Leftrightarrow P(-6 \le Y – 110 \le 6) = 0,98 \\\\
& \Leftrightarrow P\left(-\dfrac{6}{\sigma} \le \dfrac{Y – 110}{\sigma} \le \dfrac{6}{\sigma} \right) = 0,98
\end{align}$

La variable aléatoire $ Z =\dfrac{Y – 110}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

On est donc ramené à trouver la valeur de $x$ telle que $P(-x \le Z \le x) = 0,98$

Or $P(-x \le Z \le x) = 2P(Z \le x) – 1$.

Par conséquent $2P(Z \le x) – 1=0,98 \Leftrightarrow P(Z \le x) = \dfrac{1,98}{2} = 0,99$

La calculatrice nous donne $x \approx 2,326$. Par conséquent $\dfrac{6}{\sigma} \approx 2,326$ et $\sigma \approx \dfrac{6}{2,326}$

Donc $\sigma \approx 2,6$

Partie C

On note $n = 900$ et $p=0,84$.

$n = 900 \ge 30$, $np = 756 \ge 5$ et $n(1 – p) = 144 \ge 5$.

Les conditions sont donc vérifiées pour déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.

$\begin{align} I_{900} &= \left[0,84 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}};0,84 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,84 \times 0,16}{900}}\right] \\\\
& \approx [0,816;0,864]
\end{align}$

La fréquence observée est $f = \dfrac{795}{900} \approx 0,883 \notin I_{900}$.

Le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces entre les années 2000 et 2010 n’est donc pas resté stable au risque d’erreur de $5\%$.

Exercice 2

$|-1 + \text{i}| = \sqrt{2}$ donc $-1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{-3\pi/4}$
Un argument de $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc $- \dfrac{3\pi}{4} \times 10 = -\dfrac{15\pi}{2}$.
Le nombre $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc un imaginaire pur.
Affirmation vraie
$\quad$
On note $z = x + \text{i}z$ un nombre complexe. On a alors $z – \overline{z} = 2y\text{i}$.
L’équation $z-\overline{z} + 2 – 4\text{i} = 0$ est donc équivalente à $2y\text{i} – 2 -4\text{i} = 0$ qui ne possède aucune solution.
Affirmation fausse
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} \ln \left(\sqrt{\text{e}^7}\right) + \dfrac{\ln\left(\text{e}^9\right)}{\ln\left(\text{e}^2\right)} &= \dfrac{1}{2}\ln\left(\text{e}^7\right) + \dfrac{9}{2} \\\\
&= \dfrac{7}{2} + \dfrac{9}{2} \\\\
&=\dfrac{16}{2} \\\\
&= 8
\end{align}$
$\quad$
$\begin{align} \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 – \ln 4}} & = \dfrac{\text{e}^{\ln 2} \times \text{e}^{\ln 3}}{\dfrac{\text{e}^{\ln 3}}{\text{e}^{\ln 4}}} \\\\
&= \dfrac{2 \times 3}{\dfrac{3}{4}} \\\\
&= 8
\end{align}$
Affirmation vraie
$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left[0;\ln 3\right]$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}$ est la fonction $F$ définie sur le même intervalle par $F(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)$
On a ainsi :
$\begin{align} I = \displaystyle \int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\text{d}x & = F(\ln 3) – F(0) \\\\
&= \ln\left(\text{e}^{\ln3} + 2\right) – \ln 2 \\\\
&=\ln 5 – \ln 2 \\\\
&= \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) \\\\
&= -\ln\left(\dfrac{2}{5}\right)
\end{align}$
Affirmation vraie
$\quad$
Les solutions de l’équation doivent vérifier $x – 1> 0$ et $x + 2> 0$ soit $x > 1$.
$\begin{align} \ln(x – 1) – \ln(x + 2) = \ln 4 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{x – 1}{x + 2} = \ln 4 \quad \text{et } x > 1\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+2} = 4 \quad \text{et } x > 1 \\\\
& \Leftrightarrow x – 1 = 4(x + 2) \quad \text{et } x > 1 \\\\
& \Leftrightarrow 3x = -9 \quad \text{et } x > 1 \\\\
& \Leftrightarrow x = -3 \quad \text{et } x > 1
\end{align}$
L’équation ne possède donc pas de solution dans $\R$
Affirmation fausse

Exercice 3

a. $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $I(1;1;1)$.
$J$ est le milieu de $[CD]$ donc $J(3;3;-1)$
$\begin{align} \vec{BK} = \dfrac{1}{3}\vec{BC} & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = \dfrac{1}{3}(-5 – 1) \\\\ y_k – 2 = \dfrac{1}{3}(5 – 2) \\\\z_k – 3 = \dfrac{1}{3}(0 – 3) \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = -2 \\\\y_k – 2= 1 \\\\z_k – 3 = -1 \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x_k = -1 \\\\y_k = 3 \\\\z_k = 2 \end{cases}
\end{align}$
Donc $K(-1;3;2)$.
$\quad$
b. $\vec{IJ}(2;2;-2)$ et $\vec{IK}(-2;2;1)$. $\dfrac{2}{-2} \ne \dfrac{2}{2}$
Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires, les points $I$, $J$ et $K$ définissent bien un plan.
$\quad$
c. $\vec{n}.\vec{IJ} = 3 \times 2 + 1 \times 2 + 4 \times (-2) = 0$
$\vec{n}.\vec{Ik} = 3 \times (-2) + 1 \times 2 + 4 \times 1 = 0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est donc normal au plan $(IJK)$.
$\quad$
Une équation du plan $(IJK)$ est donc de la forme $3x + y + 4z + d = 0$.
Puisque $I$ appartient à ce plan, on a $3 + 1 + 4 + d = 0$ soit $d= -8$.
Une équation du plan $(IJK)$ est donc :$$3x+y+4z-8=0$$
a. Un vecteur directeur de $(BD)$ est $\vec{BD}(10;-1;-5)$. La droite $(BD)$ passe par le point $B$, donc une représentation paramétrique de cette droite est : $$\begin{cases}x = 1 + 10t\\\\y = 2 – t \qquad t\in \R \\\\z=3 – 5t \end{cases}$$
b. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\vec{BD}.\vec{n} = 10 \times 3 – 1 \times 1 – 5 \times 4 = 9\ne 0$
Par conséquent la droite $(BD)$ n’est pas parallèle au plan $\mathscr{P}$. Ils sont donc sécants.
$\quad$
Leur point d’intersection vérifie donc leurs équations. On obtient ainsi :
$3(1 + 10t) + (2 – t) + 4(3 -5t) – 8 = 0 \Leftrightarrow 9t+9=0$ $\Leftrightarrow t = -1$.
Par conséquent $\begin{cases} x_L = 1 – 10 = -9\\\\y_L = 2 + 1 = 3\\\\z_L = 3 + 5 = 8 \end{cases}$
$\quad$.
c. Déterminons les coordonnées du milieu $E$ de $[LD]$ : $E(1;2;3) = B$.
Le point $L$ est donc le symétrique du point $D$ par rapport au point $B$.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est une fonction décroissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent la fonction $x \mapsto \dfrac{-4}{x+2}$ et la fonction $f$ sont croissantes sur cet intervalle.
NB : on pouvait évidemment utiliser la dérivée également mais je voulais changer un peu.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} f(x) = x & \Leftrightarrow 5 – \dfrac{4}{x+2} = x \\\\
& \Leftrightarrow 5(x +2) -4 = x(x+2) \\\\
& \Leftrightarrow 5x + 10 – 4 = x^2 + 2x \\\\
& \Leftrightarrow x^2 – 3x – 6 = 0
\end{align}$
On calcule le discriminant : $\Delta = 9 + 24 = 33 > 0$
Cette équation possède deux solutions réelles $x_1 = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{2} <0$ et $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} > 0$.
Par conséquent $\alpha = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4,37$
$\quad$
$\quad$

Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers environ $4,3$
$\quad$
a. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0 = 1$ et $u_1 = f(u_0) = \dfrac{11}{3}$ et $0 \le 1 \le \dfrac{11}{3} \le \alpha$
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la vraie au rang $n$ : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
Puisque la fonction $f$ est croissante on a $f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(\alpha)$ soit $3 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
On a donc bien $0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
$\quad$
b. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$. On peut donc affirmer qu’elle converge.
$\quad$
a. $S_0 = u_0 = 1$
$S_1 = u_0 + u_1 = 1 +\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$
$S_2 = S_1 + u_2 = \dfrac{14}{3} + \dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,96$
$\quad$
b. Entrée :
$\quad$ $n$ un entier naturel
Variables :
$\quad$ $u $et $s$ sont des variables réelles
$\quad$ $n$ et $i$ sont des variables entières
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $1$
$\quad$ $s$ prend la valeur $u$
$\quad$ $i$ prend la valeur $0$
$\quad$ Demander la valeur de $n$
Traitement :
$\quad$ Tant que $i < n$
$\qquad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $5 – \dfrac{4}{u+2}$
$\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s + u$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $s$
$\quad$
c. La suite $(u_n)$ étant croissante on a $u_n \ge u_0$ pour tout $n \in \N$
Par conséquent $S_n \ge (n+1)u_0$ soit $S_n \ge n+1$.
Mais $\lim\limits_{n \to +\infty }n+1 = +\infty$.
D’après le théorème de comparaison on a $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

$\quad$ $$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A&B&D \\\\
\hline
12&14&2\\\\
\hline
2&12&10\\\\
\hline
10&2&8\\\\
\hline
8&10&2\\\\
\hline
2&8&6\\\\
\hline
6&2&4\\\\
\hline
4&6&2\\\\
\hline
2&4&2\\\\
\hline
2&2&0\\\\
\hline
\end{array}$$L’algorithme affiche donc $2$.
$\quad$
a. Les nombres $221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe un couple d’entier relatif $(a;b)$ tel que $221a+331b=1$ soit $221a – 331\times (-b) = 1$
Le couple $(a;-b)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
$\quad$
b. $221 \times 3 – 331 \times 2 = 663 – 662 = 1$.
Le couple $(3;2)$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
Soit $(x;y)$ un autre couple solution.
On a ainsi :
$221x – 331y = 1$ et $221 \times 3 – 331 \times 2 = 1$.
Par différence on obtient :
$221(x – 3) – 331(y – 2) = 0$ soit $221(x – 3) = 331(y – 2)$
$221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k \in \Z$ tel que :
$x-3 = 331k$ et $y-2 = 221k$.
D’où $x= 3 + 331k$ et $y = 2 +221k$.
Réciproquement :
Soit $k$ un entier relatif.
$221(3 +331k) – 331(2 + 221k) = 663 + 221 \times 331k – 662 – 331 \times 221k = 1$.
Les solutions de l’équation $(E)$ sont les couples $(3+331k;2+221k)$ pour tout $k \in \Z$.
$\quad$
a. $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $331$ et de premier terme $3$.
Donc $v_n = 3 + 331n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
b. On cherche les couples d’entiers naturels $(p;q)$ tels que $2 +221p = 3 +331q$ soit $221p – 331q = 1$.
Il s’agit des couples solutions de l’équation $(E)$.
On veut donc que : $0 \le 3 +331k \le 500$ et $0 \le 2+221k \le 500$
d’où $-3 \le 331k \le 497$ et $-2 \le 221k \le 498$
soit finalement $\dfrac{-k}{331} \le k \le \dfrac{497}{331}$ et $\dfrac{-2}{221} \le k \le \dfrac{498}{221}$.
Par conséquent $k\in {0;1}$.
Les couples $(p;q)$ cherchés sont donc $(3;2)$ et $(334;223)$.