Métropole – Septembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

Affirmation 1 : $f(2)=-1$ Affirmation fausse
$\quad$
Affirmation 2 : $f(11) = (11-1)(2\times 11 – 5) = 10 \times 17 = 170$ Affirmation vraie
$\quad$
Affirmation 3 : $f(x) = 2x^2-5x-2x+10=2x^2-7x+10$. Ce n’est pas l’expression algébrique d’une fonction linéaire.
$\quad$
On a pu écrire en $B2$ : $=(B1-1)*(2*B1-5)$
$\quad$
On veut résoudre l’équation produit $(x-1)(2x-5)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$$\begin{array}{lcl}
x-1=0&\text{ou}&2x-5 =0\\\\
x=1& & 2x=5 \\\\
& & x=\dfrac{5}{2}
\end{array}$$
Les solutions sont donc $1$ et $\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

Exercice 2

Dans le triangle $ABJ$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} BJ^2&=AB^2+AJ^2 \\\\
&= 7,5^2+18^2\\\\
&=56,26+324\\\\
&=380,25 \\\\
BJ&=\sqrt{380,25}\\\\
&=19,5 \text{m}
\end{align*}$
$\quad$
Dans les triangles $AJC$ et $MJU$ :
– les droites $(MU)$ et $(AC)$ sont parallèles
– $M\in[AJ]$ et $U\in[CJ]$
D’après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{JA}{JM}=\dfrac{JC}{JU}=\dfrac{AC}{MU}$
Par conséquent $\dfrac{18}{10}=\dfrac{AC}{3}$
Ainsi $AC= \dfrac{54}{10} = 5,4$ m.
$\quad$
Puisque $C$ appartient au segment $[AB]$, on a $CB=7,5 – 5,4 = 2,1$ m.
Dans le triangle $JCB$, $[JA]$ est la hauteur issue de $J$.
Par conséquent l’aire du triangle $JCB$ est :
$\mathscr{A}=\dfrac{CB\times AJ}{2} = \dfrac{18 \times 2,1}{2}=18,9$ m$^2$.
$\quad$

Exercice 3

Cas 1 : La vitesse retenue est $107 \times \left(1 – \dfrac{5}{100}\right)=101,65$ km/h
$\quad$
Cas 2 : $2$ min $= \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30}$ h.
Ainsi la vitesse relevée de Monsieur Lagarde est $v=\dfrac{3,2}{\dfrac{1}{30}} = 30 \times 3,2 = 96$ km/h.
Sa vitesse retenue est donc de $96-5 = 91$ km/h.
$\quad$
Monsieur Durand a mis $1$ min et $47$ s pour parcourir les $3,2$ km.
Il a donc roulé plus vite que Monsieur Lagarde. Il recevra donc une contravention.
$\quad$

Exercice 4

On appelle $M$ le prix d’un pot de miel et $P$ celui d’un pain d’épices.

On obtient ainsi le système
$\begin{align*} \begin{cases} 2M+3P=24\\\\M+2P=14,5\end{cases} &\ssi \begin{cases} M = 14,5 – 2P\\\\2(14,5-2P) + 3P=24\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} M=14,5-2P \\\\29-4P+3P=24\end{cases}\\\\
&\ssi \begin{cases} M=14,5-2P\\\\-P=-5\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} P=5\\\\M=4,5\end{cases}
\end{align*}$

Ainsi un pot de miel coûte $4,5$ euros et un pain d’épices $5$ euros.

Le troisième amis paiera donc $3\times 4,5 + 5 = 18,5$ euros.
$\quad$

Exercice 5

$(11-6)\times 11 +9= 55+9 = 64$
$\quad$
$(-4-6)\times (-4)+9=-10 \times (-4) + 9 = 40 + 9 = 49$
$\quad$
Soit $x$ un nombre quelconque.
Le programme nous donne :
$(x-6)x+9=x^2-6x+9=(x-3)^2 \ge 0$.
Théo a donc raison.
$\quad$

Exercice 6

a. $232+211+\ldots+217 = 1760$ secondes = $29$ minutes et $20$ secondes .
$\quad$
b. $5$ chansons sur les $8$ ont une durée supérieure à $210$ secondes.
Cela représente donc $62,5\%$ des chansons.
$\quad$
$3$ chansons sur les $8$ sont de Maen. La probabilité d’écouter l’une d’entre-elles est donc de $\dfrac{3}{8}$.
$\quad$
La fréquence d’écoute de Hudad est de $\dfrac{4}{25}=16\%$.
$\quad$

Exercice 7

Déterminons la longueur $DS$.

Dans le triangle $DST$ rectangle en $S$ on applique le théorème de Pythagore.

$\begin{align*} DT^2&=DS^2+ST^2\\\\
50,2^2&=DS^2+6^2\\\\
2~520,04&=DS^2+36\\\\
DS^2&= 2~520,04-36\\\\
&=2~484,04\\\\
DS&=\sqrt{2~484,04} \\\\
&\approx 49,84 \text{cm}
\end{align*}$

L’angle $\widehat{TDS}$ ne doit donc pas dépasser $7°$.

$\quad$

Déterminons cet angle.

Dans le triangle $TDS$ rectangle en $S$ on a :

$\sin \widehat{TDS} = \dfrac{TS}{DT} = \dfrac{6}{50,2}$

Par conséquent $\widehat{TDS} \approx 6,86°$.

La rampe est donc conforme à la norme.