Nouvelle-Calédonie – Décembre 2014

Brevet – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

1. $\dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{15} + \dfrac{2}{15}$ $=\dfrac{14}{15}$ Réponse A
   $\quad$
2. $\sqrt{25} \times \sqrt{3}^2 = 5 \times 3 = 15$ Réponse C
   $\quad$
3. $\dfrac{5}{100} \times 650 = 32,5$ Réponse A
   $\quad$
4. $32$ tonnes est la masse d’un gros camion. $7 \times 10^{-15}$ g pourrait être la masse d’un virus.
   Réponse B

$\quad$

Exercice 2

1. a. Je perds la partie seulement si mon adversaire choisis “feuille”. La probabilité que je perde est donc $\dfrac{1}{3}$.
   b. La probabilité que je ne perde pas la partie est donc $1 – \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
   $\quad$
2. Cet arbre indique les choix de mon adversaire.
   
3. a. Je gagne lorsque mon adversaire choisit “ciseaux”.
   La probabilité que je gagne les deux parties est donc : $\dfrac{1}{9}$.
   $\quad$
   b. Je ne perds aucune des deux partie dans les cas suivants : (P,P) – (P,C) – (C,P) – (C,C)
   La probabilité que je ne perde aucune des deux parties est donc $\dfrac{4}{9}$.

$\quad$

Exercice 3

1. $\quad$
   
2. Dans les triangles $AMN$ et $ABC$ :
   – $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ appartient à $[AC]$
   – les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$
   On sait que $BM = 2$ cm par conséquent $AM = 5 – 2 = 3$ cm.
   Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Donc $AC = AB = 5$ cm.
   On a ainsi :
   $$\dfrac{3}{5} = \dfrac{AN}{5} = \dfrac{MN}{2}$$
   Par conséquent : $AN = \dfrac{3 \times 5}{5}  =3$ cm et $MN = \dfrac{3 \times 2}{5} = 1,2$ cm
   $\quad$
3. Le périmètre de $AMN$ est : $P_1 = 3 + 3 +1,2 = 7,2$ cm
   Le périmètre de $BMNC$ est $P_2 = 2 + 1,2 + 2 + 2 = 7,2$ cm
   Les deux périmètres sont donc égaux.

$\quad$

Exercice 4

1.  En $40$ secondes le bateau a parcouru sa propre longueur soit $246$ m.
   $\quad$
2. La vitesse du bateau est donc $v = \dfrac{246}{40} = 6,15$ m/s
   Une vitesse de $20$ nœuds correspond donc à une vitesse de $20 \times 0,5 = 10$ m/s.
   Une vitesse de $20$ nœuds correspond donc à une vitesse de $10 \times 0,5 = 5$ m/s.
   Eva est donc plus proche de la vérité.

$\quad$

Exercice 5

1. Aux différentes endroits où les mesures ont été faites, les températures minimales et maximales ont augmentées. On peut donc dire que les informations du tableau traduisent une augmentation des températures.
   $\quad$
2. C’est à La Roche que la température minimale a le plus augmenté $(+1,5)$.
   $\quad$
3. Augmentation moyenne des températures minimales :
   $$\dfrac{1,3+1,3+1,2+1,2+1,2+1,3+1,2+1,2+1,5+1,3}{10} = 1,27$$
   Les températures minimales ont augmenté en moyenne de $1,27 °C$.
   $\quad$
   Augmentation moyenne des températures maximales :
   $$\dfrac{1,3+1,3+1,0+0,9+1,0+1,0+0,8+0,9+1,0+0,9}{10} = 1,01$$
   Les températures maximales ont augmenté en moyenne de $1,01 °C$.

$\quad$

Exercice 6

1. La mesure de l’angle entre deux de ses pales est $\dfrac{360}{3} = 120°$.
   $\quad$
2. L’angle entre chaque pale sera donc de $\dfrac{360}{6} = 60°$.
   
3. Nous sommes dans la situation suivante :
   
   où $AB = 35$ m, $AD = 80$ m, $CD = 1,8$ m et $AED$ est rectangle en $E$.
   On a ainsi $AE = 35 – 1,8 = 33,2$ m
   Dans le triangle $AED$ rectangle en $E$, on applique le théorème de Pythagore :
   $AD^2 = AE^2 + ED^2$ soit $80^2 = 33,2^2 + ED^2$
   Par conséquent $ED^2 = 80^2 – 33,2^2$ $=5297,76$
   Et $ED \approx 73$ m.
   Or $BC = ED$.
   Le randonneur se trouve donc à environ $73$ m du mât de l’éolienne.

$\quad$

Exercice 7

1. Puisque l’image de $0$ est $0$, il s’agit de la fonction $f$.
   $\quad$
2. En $B5$, on écrit $=-2*B4+8$.
   $\quad$
3. La droite passe par l’origine du repère. Il s’agit donc de la représentation graphique d’une fonction linéaire. Il s’agit par conséquent de la représentation graphique de la fonction $f$.
   $\quad$
4. $\quad$
   
5. $2x = -2x + 8$ revient à $2x+ 2x = 8$ soit $4x = 8$ et $x =\dfrac{8}{4} = 2$.
   La solution de l’équation est $2$.
   Graphiquement, cela correspond à l’abscisse du point d’intersection des deux droites.

$\quad$

Exercice 8

1. Le rayon de la sphère est $R = \dfrac{19,7}{2} =9,85$ m.
   Le volume de la plus grande sphère est $V = \dfrac{4 \times \pi \times 9,85^3}{3} \approx  4003 \text{ m}^3$.
   Le volume de stockage est bien d’environ $4~000 \text{ m}^3$.
   $\quad$
2. $580 $kg $0,58$ tonne.
   On a donc la situation de proportionnalité suivante :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   Masse & 0,58 & 1~200 \\\\
   \hline
   Volume&1&x \\\\
   \hline
   \end{array}$$
   Par conséquent $x = \dfrac{1~200 \times 1}{0,58} \approx 2~069 \text{ m}^3$.$1~200$ tonnes représentent donc à un volume d’environ $2~069 \text{ m}^3$.
   $\quad$
3. Le volume des deux petites sphères réunies est de $1~600 \text{ m}^3$. Ce volume est inférieur à celui correspondant aux $1~200$ tonnes de butane.
   La grande sphère sera donc nécessaire.