Amérique du Nord – Juin 2016

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

Affirmation 1 : Fausse
$5x+4=2x+17$ revient à $5x-2x=17-4$
Soit $3x=13$
Et donc $x=\dfrac{13}{3}$.
La solution de l’équation n’est pas un nombre entier.
$\quad$

Affirmation 2 : Vraie
$\sqrt{175}\approx 13,2$
$13\sqrt{7}\approx 34,4$
$12\sqrt{7}\approx 31,7$
Dans le triangle $CDE$, le plus grand côté est $[DE]$.
D’une part, $DE^2=\left(13\sqrt{7}\right)^2=1~183$
D’autre part, $CE^2+CD^2=\left(12\sqrt{7}\right)^2+175=1~008+175=1~183$.
Donc $CE^2+CD^2=DE^2$.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ est rectangle en $C$.
$\quad$

Affirmation 3 : Fausse
Recherchons le pourcentage de réduction pour les lunettes.
On cherche la valeur de $x$ telle que $45\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=31,5$
Soit $1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{31,5}{45}$ ou encore $1-\dfrac{x}{100}=0,7$
Donc $\dfrac{x}{100}=1-0,7$
Par conséquent $x=100\times 0,3 = 30$
Le pourcentage de réduction pour les lunettes est de $30\%$.
Déterminons maintenant le prix de la montre avec une réduction de $30\%$.
$56\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=39,2<42$.
Le pourcentage de réduction sur la montre est donc inférieur à $30\%$.
$\quad$

Exercice 2

1. a. La probabilité qu’il emprunte une piste rouge est $\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
   b. La probabilité qu’il emprunte une piste bleue est $\dfrac{1}{7}$
   $\quad$
2. La probabilité que la première piste soit noire est $\dfrac{2}{5}$ et la probabilité que la seconde soit noire est $\dfrac{3}{7}$.
   Donc la probabilité que les deux pistes soient noires est $\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{7}=\dfrac{6}{35}$.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. La station a vendu le plus de forfaits “journée” en février.
   $\quad$
   b. Le nombre de forfaits vendu par la station est :
   $N=60~457+60~457+148~901+100~058+10~035=379~908$.
   $\dfrac{379~908}{3}=126~636<148~901$.
   Ninon a donc raison.
   $\quad$
2. On peut saisir : $=B2+C2+D2+E2+F2$ ou $=SOMME(B2:F2)$.
   $\quad$
3. Le nombre moyen de forfaits “journée” est $m=\dfrac{379~908}{5} \approx 75~982$.
   $\quad$

Exercice 4

1. Le télésiège peut transporter $3~000$ skieurs par heure pendant $7$ heures.
   Ce télésiège peut donc prendre $7\times 3~000=21~000$ skieurs au maximum.
   $\quad$
2. Durée du trajet : $d=\dfrac{1~453}{5,5} \approx 264$ secondes soit $4$ minutes et $24$ secondes.
   $\quad$
3. La différence d’altitude est $2~261-1~839=422$ m.
   On peut donc schématiser la situation de la sorte :
   
   Dans le triangle $ABC$ rectangle en B, on a :
   $\sin \widehat{BAC}=\dfrac{422}{1~453}$
   Donc $\widehat{BAC} \approx 17°$
   $\quad$

Exercice 5

1. a. Avec le tarif 1, le prix à payer est de $40,50 \times 2 = 81$ euros.
   Avec le tarif 2, le prix à payer est de $31+2\times 32=95$ euros.
   Le tarif 1 est le plus intéressant pour Elliot.
   $\quad$
   b. Pour $n$ jours de ski, le prix à payer est de :
   • $40,5n$ avec le tarif 1 ;
   • $31+32n$ avec le tarif 2.
   On cherche donc la plus petite valeur de $n$ pour laquelle :
   $40,5n>31+32n$
   Soit $40,5n-32n>31$
   D’où $8,5n>31$
   Donc $n>\dfrac{31}{8,5} \approx 3,6$
   Le tarif 2 est donc plus avantageux à partir de quatre journées de ski.
   $\quad$
2. a. Le tarif 1 est représenté par une droite passant par l’origine du repère : le prix payé est donc proportionnel au nombre de jours skiés.
   $\quad$
   b. Le prix payé avec le tarif 1 pour six jours de ski est environ de $243$ euros et avec le tarif 2 d’environ $223$ euros.
   La différence de tarif est donc de $20$ euros.
   $\quad$
   c. Avec $275$ euros, Elliot peut skier sept jours (et il lui reste de l’argent mais pas assez pour un huitième jour).
   $\quad$

Exercice 6

1. $O$ est le milieu de de $[AB]$ et $O’$ est le milieu de $[A’B’]$.
   Donc $OB=30$ cm et $O’B’=15$ cm.
   Le cône étant coupé par un plan parallèle à la base, les droites $(OB)$ et $(O’B’)$ sont parallèles.
   Dans les triangles $OSB$ et $O’SB’$ :
   – $O’$ appartient à $[OS]$
   – $B’$ appartient à $[BS]$
   – les droites $(OB)$ et $(O’B’)$ sont parallèles
   D’après le théorème de Thalès on a :
   $\dfrac{O’S}{OS}=\dfrac{SB’}{SB}=\dfrac{O’B}{OB}$
   $SB=SB’+BB’=SB’+240$
   Donc $\dfrac{15}{30}=\dfrac{SB’}{SB’+240}$
   Par conséquent $\dfrac{1}{2}=\dfrac{SB’}{SB’+240}$
   D’où $SB’+240=2SB’$
   Et $SB’=240$
   Finalement $BB’=240+240=480$ cm.
   $\quad$
2. Dans le triangle $SOB$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore :
   $SB^2=OS^2+OB^2$
   Soit $480^2=OS^2+30^2$
   D’où $OS^2 = 480^2-30^2 = 229~500$
   Par conséquent $OS = \sqrt{229~500}\approx 479$ cm.
   $\quad$
3. Volume du grand cône : $V_1=\dfrac{\pi\times 30^2\times 479}{3}$.
   Le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient $\dfrac{O’B}{OB}=0,5$.
   Le volume du petit cône est donc : $V_2=0,5^3\times V_1$.
   Le volume d’air dans la manche à air : $V_1-V_2 \approx 395~016$ cm$^3$.
   $\quad$

Exercice 7

1. Prix avec la formule 1 : $2\times 187,5+2\times 162,5=700$ euros
   Prix avec la formule 2 : $120+2\times 6\times 25+2\times 6\times 20 = 660$ euros.
   La formule 2 est la plus intéressante pour l’achat des forfaits pour six jours.
   $\quad$
2. Prix de la location du studio : $1~020$ euros.
   Dépense nourriture et sorties : $500$ euros.
   Forfaits ski : $660$ euros.
   Location skis : $2\times 6 \times 17+10\times 6+19\times 6 = 378$ euros.
   Total des dépenses : $2~558$ euros.
   Il faut donc prévoir un budget de $2~558$ euros.
   $\quad$