DNB – Amérique du Nord – Juin 2021

Amérique du Nord – Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10 \neq 2$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*}
    E&=(x-5)(x+1) \\
    &=x^2+x-5x-5\\
    &=x^2-4x-5\end{align*}$
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Si $n=5$ alors $2^n+1=33=3\times 11$
    Donc $2^5+1$ n’est pas un nombre premier.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fréquence d’apparition du $6$ est :
    $\begin{align*} f&=1-\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}\right)\\
    &=1-\dfrac{15}{15}\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. Dans le triangle $RAS$ rectangle en $S$ on a
    $\tan \widehat{ARS}=\dfrac{AS}{SR}$ soit $\tan (26)=\dfrac{80}{SR}$
    Par conséquent $SR=\dfrac{80}{\tan(26)} \approx 164$.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$
  6. On suppose que $AB=160$ et $BC=95$ (cela ne change rien au reste des calculs si on suppose le contraire)
    Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} BC^2&=AB^2+BC^2 \\
    &=160^2+95^2 \\
    &=34~625 \end{align*}$
    Par conséquent $BC=\sqrt{34~625} \approx 186$.
    Affirmation 6 faux
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Graphiquement, on constate que l’extrémité droite du premier segment a pour coordonnées $(14;0,4)$.
    Elle s’est donc arrêtée au bout de $14$ minutes pour effectuer son premier changement d’équipement.
    $\quad$
  2. L’ordonnée du point $M$ est $10,4$. Par conséquent la longueur du parcours de l’épreuve de cyclisme est $10,4-0,4=10$ km.
    $\quad$
  3. L’épreuve de course à pied semble avoir commencé à la $44$ème minute et semble s’être terminée à la $56$ème minute.
    Elle a donc duré $12$ minutes.
    $\quad$
  4. La vitesse sur chacune des épreuves correspond est égale au coefficient directeur des différents segments de droite.
    Celui de la première épreuve semble le plus petit.
    C’est donc durant l’épreuve de natation que l’athlète a été la moins rapide.
    $\quad$
  5. Elle a effectué $12,9$ km en $56$ minutes.
    Par conséquent en $60$ minutes elle aurait parcouru $\dfrac{12,9\times 60}{56} \approx 13,8 <14$.
    La vitesse moyenne de cette athlète est donc inférieure à $14$ km/h.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Les carrés $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 7\kern .06em}}$ et $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ sont, par exemple, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2.  Les sommets du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ et ceux du carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ ne sont pas alignés avec le point $O$. Le carré $3$ n’est pas l’image du carré $8$ par la symétrie centrale de centre $O$.
    $\quad$
  3. Le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ a pour image le carré $\require{enclose}
    {\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ par cette rotation.
    $\quad$
  4. Le segment $[EF]$ a pour image le segment $[HI]$ par cette rotation.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le motif suivant :
    $\quad$
  2. Les propositions 2 et 4 permettent d’obtenir le motif.
    $\quad$
  3. On peut utiliser la suite d’instruction B A E.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. La surface à recouvrir de papier peint est
    $\begin{align*}S&=2\times (2,5\times 2,5+2,5\times 3,5) – (1,2\times 1,6+2,1\times 0,8)\\
    &=30-3,6 \\
    &=26,4\end{align*}$
    La surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^2$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{16,95}{5,3}\approx 3,20$
    Un mètre carré de papier peint coûte environ $3,20$ euros.
    $\quad$
  3. $\dfrac{26,4}{5,3}\approx 4,98$.
    Il faut donc prévoir $6$ rouleaux et $2$ pots de colle.
    Ainsi, si on suit les conseils du vendeur, la rénovation de la salle de bain coûtera $6\times 16,95+2\times 5,7=113,10$ euros.
    $\quad$
  4. $113,10 \times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) \approx 104,05$.
    Après la remise le prix de cette rénovation s’élève à $104,05$ euros.
    $\quad$

Énoncé

Indication portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (26 points)

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie, si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

  1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=3 x-7$.
    Affirmation n°1 : «l’image par $f$ du nombre $-1$ est $2$.
    $\quad$
  2. On considère l’expression $E=(x-5)(x+1)$.
    Affirmation n°2 : «L’expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^{2}-4 x-5$ ».
    $\quad$
  3. $n$ est un nombre entier positif.
    Affirmation n°3 : « lorsque $n$ est égal à 5, le nombre $2^{n}+1$ est un nombre premier ».
    $\quad$
  4. On a lancé $15$ fois un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on a noté les fréquences d’apparition dans le tableau ci-dessous:
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Numéro de la}\\ \text{face apparente}\end{array} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
    \hline \begin{array}{l} \text{Fréquence} \\ \text{d’apparition }\end{array}& \dfrac{3}{15} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{5}{15} & \dfrac{2}{15} & \dfrac{1}{15} & \ldots \ldots \\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation n°4 : « la fréquence d’apparition du $6$ est $0$ ».
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RAS$ rectangle en $S$. Le côté $[AS]$ mesure $80$ cm et l’angle $\widehat{ARS}$ mesure $26$°.
    Affirmation n°5 : le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm.
    $\quad$
  6. Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $160$ cm et pour largeur $95$ cm.
    Affirmation n°6 : les diagonales de ce rectangle mesurent exactement $186$ cm.
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2 (21 points)

Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de $12,9$ kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}} : &\text{Épreuve }\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}} :  \\
\text{Natation}&\text{Cyclisme}&\text{Course à pied} \\
\text{Distance = } 400 \text{ m}&\phantom{\text{Distance = } 400 \text{ m}}&\text{Distance = } 2,5 \text{ km}\\
\hline
\end{array}$$

Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d’équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.

Le point $M$ a pour abscisse $42$ et pour ordonnée $10,4$.
À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

  1. Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d’équipement ?
    $\quad$
  2. Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du
    parcours de l’épreuve de cyclisme?
    $\quad$
  3. En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l’épreuve de course à pied?
    $\quad$
  4. Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide?
    $\quad$
  5. On considère que les changements d’équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
    La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à $14$ km/h ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.
On a construit un carré $ABCD$.
On a construit le point $O$ sur la droite $(DB)$, à l’extérieur du segment $[DB]$ et tel que : $OB=AB$.
Le point $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$.
On a obtenu la figure ci-dessous en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre $O$ et d’angle $45$°.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe $(DB)$ et par rapport au point $O$.

 

  1. Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$.
    $\quad$
  2. Le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ est-il l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
  3. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 1\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$. Quelle est l’image du carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 8\kern .06em}}$ par cette rotation?
    $\quad$
  4. On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$ en le carré $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$. Préciser l’image du segment $[EF]$ par cette rotation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On dispose d’un tableau carré ci-dessous partagé en neuf cases blanches de même dimension qui constituent un motif.

Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l’aspect de certaines cases, lorsqu’on applique ces instructions. Ainsi :

Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande à la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.

Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches :
La suite d’instruction A C permet d’obtenir ce motif

La suite d’instruction A C E permet d’obtenir ce motif

 

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.

  1. Représenter le motif obtenu avec la suite d’instruction A B.
    $\quad$
  2. Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d’obtenir le motif ci-dessous. Lesquelles ?
    Proposition n°1 : A B C
    Proposition n°2 : C E
    Proposition n°3 : B C E C
    Proposition n°4 : C A E A
    $\quad$
  3. Donner une suite d’instructions qui permet d’obtenir le motif ci-contre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (21 points)

On souhaite rénover une salle de bain qui à la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.

Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :

On dispose des informations suivantes :

prix du papier peint :

  • le papier peint est vendu au rouleau entier;
  • un rouleau coûte $16,95$ €;
  • un rouleau permet de recouvrir $5,3$ m$^2$.
    $\quad$
    Conseil du vendeur : prévoir $1$ rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.

prix de la colle :

  • la colle est vendue au pot entier;
  • un pot a une masse de $0,2$ kg;
  • un pot coûte $5,70$ €.
    $\quad$
    Conseil du vendeur :  compter $1$ pot pour $4$ rouleaux de papier peint.
  1. Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de $26,4$ m$^{2}$.
    $\quad$
  2. Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$
  3. Si on suit les conseils du vendeur, combien coutera la rénovation de la salle de bain?
    $\quad$
  4. Le jour de l’achat, une remise de $8 \%$ est accordée.
    Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d’euro.
    $\quad$

$\quad$