DNB – Amérique du Nord- Septembre 2020

Amérique du Nord – Septembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient la figure suivante :$\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AC]$.
    D’une part $AC^2=10,4^2 = 108,16$
    D’autre part $AB^2+BC^2= 4^2+9,6^2=108,16$
    Par conséquent $AC^2=AB^2+BC^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $CBA$ et $CKL$ on a :
    – $L$ appartient à $[AC]$ et $K$ appartient à $[CB]$;
    – les droites $(LK)$ et $(AB)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{CL}{CK}=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{LK}{AB}$
    Par conséquent : $\dfrac{CL}{3}=\dfrac{10,4}{9,6} $
    Donc $CL=\dfrac{3\times 10,4}{9,6}=3,25$ cm
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a :
    $\cos \widehat{CAB}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos \widehat{CAB}=\dfrac{4}{10,4}$
    Par conséquent $\widehat{CAB}\approx 67$°.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Le volume est multiplié par $3^3=27$.
    Réponse D
    $\quad$
  2. $(-4)^2+3\times (-4)+4=16-12+4=8$
    Réponse A
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. $1~500~000~000=1,5\times 10^9$
    Réponse D
    $\quad$
  5. $(x-2)(x+2)=x^2-2^=x^2-4$
    Réponse A
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. L’image du polygone ① par la symétrie de centre $O$ est le polygone ③.
    $\quad$
    b. L’image du polygone ④ par la rotation de centre $O$ qui transforme le polygone ① en le polygone ② le polygone ①.
    $\quad$
  2. Il s’agit de la translation qui transforme $A$ en $B$.
    $\quad$
  3. a. $\dfrac{315}{9}=35$ et $\dfrac{270}{9}=30$.
    $9$ divise donc $315$ et $270$.
    On peut donc choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. $35\times 30=1~050$.
    $1~050$ carrés de $9$ cm de côté seront donc imprimés sur le tissus.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On réordonne la série dans l’ordre croissant :
    $52,93 – 53,23 – 53,35 – 53,61 – 54,04 – 54,07 – 54,52 – 54,56$
    Le temps de la nageuse est donc $53,35$ s.
    $\quad$
  2. $\dfrac{100}{52,93} \approx 1,9$ m/s
    La vitesse moyenne de la nageuse est donc environ égale à $1,9$ m/s.
    $\quad$
  3. $\dfrac{8}{2}=4$
    La médiane de la série est donc la moyenne de la quatrième et cinquième valeur : $\dfrac{53,61+54,04}{2}= 54,005$.
    La moyenne de la série est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{52,93+53,23+53,35+53,61+54,04+54,07+54,52+54,56}{8} \\
    &\approx 53,79\end{align*}$
    $\quad$
  4. La Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu $13+8=21$ médailles d’or alors que la Russie en a obtenue $23$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4}{12}\approx 0,333<0,35$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  6. On a pu saisir $=\text{somme}(C2:E2)$ ou $=C2+D2+E2$.
    $\quad$

 

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. L’événement « On obtient deux nombres premiers » est possible puisqu’on peut obtenir le tirage $(2;2)$.
    L’événement « La somme des deux nombres est égale à 12 » est impossible puisque la somme maximum est $4+5=9$.
    $\quad$
    b. Les tirages permettant d’obtenir deux nombres premiers sont $(2;2)$, $(2;3)$, $(2;5)$, $(3;2)$, $(3;3)$ et $(3;5)$.
    Il y a $3\times 4=12$ tirages possibles.
    Ainsi la probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers » est $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Les seuls doubles possibles sont $(2;2)$, $(3;3)$ et $(4;4)$.
    La probabilité d’obtenir un « double » est donc $\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. Il faut remplacer $A$ par $1~000$, $B$ par $4$ et $C$ par $5$.
    $\quad$
    b. Il faut placer ce bloc juste après Répéter $~1~000$ fois.
    $\quad$
    c. Il faut placer cet élément juste après Quand le drapeau est cliqué.
    $\quad$
    d. C’est la proposition ② qu’il faut utiliser.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

La figure ci-dessous est dessinée à main levée.
On donne les informations suivantes :

  • $ABC$ est un triangle tel que $AC = 10,4$ cm, $AB = 4$ cm et $BC = 9,6$ cm ;
  • les points $A$, $L$ et $C$ sont alignés;
  • les points $B$, $K$ et $C$ sont alignés;
  • la droite $(KL)$ est parallèle à la droite $(AB)$;
  • $CK = 3$ cm.

  1. À l’aide des instruments de géométrie, construire la figure en vraie grandeur sur la copie en laissant les traits de construction apparents.
    $\quad$
  2. Prouver que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $CL$ en cm.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{CAB}$, au degré près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées, une seule d’entre elle est exacte.
Pour chacune des cinq questions, indiquer la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
On rappelle que toute réponse doit être justifiée.
Une réponse fausse ou une absence de réponse ne retire pas de point.

  1. Si on multiplie la longueur de chaque arête d’un cube par 3, alors le volume du cube sera multiplié par :
    Réponse A : $3$
    Réponse B : $9$
    Réponse C : $12$
    Réponse D : $27$
    $\quad$
  2. Lorsque $x = -4$ alors $x^2 +3x +4$ est égal à :
    Réponse A : $8$
    Réponse B : $0$
    Réponse C : $-24$
    Réponse D : $-13$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\ldots$
    Réponse A : $\dfrac{2}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $0,583$
    Réponse C : $\dfrac{7}{12}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse D : $\dfrac{1}{7}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  4. La notation scientifique de $1~500~000~000$ est …
    Réponse A : $15\times 10^{-8}$
    Réponse B : $15\times 10^8$
    Réponse C : $1,5\times 10^{-9}$
    Réponse D : $1,5\times 10^9$
    $\quad$
  5. $(x-2)\times (x+2)=\ldots$
    Réponse A : $x^2-4$
    Réponse B : $x^2+4$
    Réponse C : $2x-4$
    Réponse D : $2x$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     18 points

Dans cet exercice, le carré $ABCD$ n’est pas représenté en vraie grandeur.
Aucune justification n’est attendue pour les questions 1. et 2. On attend des réponses justifiées pour la question 3.

  1. On considère le carré $ABCD$ de centre $O$ représenté ci-contre, partagé en quatre polygones superposables, numérotés ❶, ❷, ❸ et ❹.

    a. Quelle est l’image du polygone ❶ par la symétrie centrale de centre $O$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du polygone ❹ par la rotation de centre $O$ qui transforme le polygone ❶ en le polygone ❷ ?
    $\quad$

  2. La figure ci-dessous est une partie d’un pavage dont un motif de base est le carré $ABCD$ de la question 1.
    Quelle transformation partant du polygone ❶ permet d’obtenir le polygone ❺ ?

    $\quad$

  3. On souhaite faire imprimer ces motifs sur un tissu rectangulaire de longueur $315$ cm et de largeur $270$ cm.
    On souhaite que le tissu soit entièrement par les carrés identiques à $ABCD$, sans découpe et de sorte que les côtés
    du carré mesure un nombre entier de centimètres.
    a. Montrer qu’on peut choisir des carrés de $9$ cm de côté.
    $\quad$
    b. Dans ce cas, combien de carrés de $9$ cm de côté seront imprimés sur le tissu ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     24 points

Voici la série des temps exprimés en secondes, et réalisé par des nageuses lors de la finale du 100 mètres féminin nage libre lors des championnats d’Europe de natation en 2018 : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
53,23&54,04&53,61&54,52&53,35&52,93&54,56&54,07\\
\hline
\end{array}$$

  1. La nageuse française, Charlotte BONNET, est arrivée troisième à cette finale.
    Quel est le temps exprimé en secondes, de cette nageuse ?
    $\quad$
  2. Quelle est la vitesse moyenne, exprimée en m/s, de la nageuse ayant parcouru les 100 mètres en $52,93$ s?
    Arrondir au dixième près.
    $\quad$
  3. Comparer moyenne et médiane des temps de cette série.
    Sur une feuille de calcul, on a reporté le classement des dix premiers pays selon le nombre de médailles d’or lors de ces championnats d’Europe de natation, toutes disciplines confondues :


    $\quad$

  4. Est-il vrai qu’à elle deux, la Grande-Bretagne et l’Italie ont obtenu autant de médailles d’or que la Russie ?
    $\quad$
  5. Est-il vrai que plus de $35 \%$ des médailles remportées par la France sont des médailles d’or ?
    $\quad$
  6. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $\text{F2}$ de cette feuille de calcul, avant qu’elle soit étirée vers le bas
    jusqu’à la cellule $\text{F11}$?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     23 points

On dispose de deux urnes :

  • une urne bleue contenant trois boules bleues numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$;
  • une urne rouge contenant quatre boules rouges numérotées $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$, $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ et $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}$.

Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirée.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{    Urne bleue    }&\text{    Urne rouge    }\\
\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}&\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 2\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}~~\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 5\kern .06em}}\\
\hline
\end{array}$$

On s’intéresse à l’expérience aléatoire suivante :
« On tire au hasard une boule bleue, on note son numéro, puis on tire au hasard une boule rouge et on note son numéro. »

Exemple : si on tire la boule bleue numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 3\kern .06em}}$ puis la boule rouge numérotée $\require{enclose}{\scriptstyle \enclose{circle}{\kern .06em 4\kern .06em}}$ , le tirage obtenu sera noté $(3;4)$.

On précise que le tirage $(3;4)$ est différent du tirage $(4;3)$.

  1. On définit les deux événements suivants :
    « On obtient deux nombres premiers. » et « La somme des deux nombres est égale à $12$. »
    a. Pour chacun des deux événements précédents dire s’il est possible ou impossible lorsqu’on effectue l’expérience aléatoire.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’événement « On obtient deux nombres premiers. »
    $\quad$
  2. On obtient un « double »lorsque les deux boules tirées portent le même numéro.
    Justifier que la probabilité d’obtenir « un double »lors de cette expérience est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. Dans cette question aucune justification n’est attendue.
    On souhaite simuler cette expérience $1~000$ fois.
    Pour cela on a commencé à écrire un programme, à ce stade, encore incomplet. Voici des copies d’écran :


    a. Pour quels nombres faut-il remplacer les lettres A, B et C.
    $\quad$
    b. Dans le script principal, indiquer où placer le block .
    $\quad$
    c. Dans le script principal , indiquer où placer l’élément mettre .
    $\quad$
    d. On souhaite obtenir la fréquence d’apparition du nombre de « doubles » obtenus.
    Parmi les instructions ci-dessous, laquelle faut-il placer à la fin du script principal après la boucle « répéter » ?

    $\quad$

$\quad$