Amérique du Sud – Décembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

Question 1 : $\left(4\sqrt{2}\right)^2=4^2\times 2 = 16\times 2 = 32$.
Calculons le PGCD de $128$ et $96$ à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
$128 = 1\times 96 + 32$ $\quad$ $96 = 3\times 32 + 0$.
Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire ici $32$.
Donc la réponse est : “le PGCD de $128$ et de $96$”.

Question 2 : La série contient $9$ valeurs.
Or $\dfrac{9}{2} = 4,5$ donc la médiane est la $5^{\text{ème}}$ valeur soit $12$.
La moyenne de la série est : $\dfrac{7+8+\ldots+41}{9} \approx 14,7$.
Donc la réponse est : “est inférieure à la moyenne de cette série”.

Question 3 : $\dfrac{1}{3}$ des élèves ne viennent donc pas en vus.
Or $\dfrac{1}{3}\times 30 = 10$.
Donc la réponse est : “$\left(1-\dfrac{2}{3}\right)\times 30$”.

Question 4 :
$\begin{align*} \begin{cases} 2x+y=11\\x-3y=-12\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x-3(11-2x)=-12\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x-33+6x=-12 \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\7x=21 \end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} y=11-2x\\x=3\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=11-2\times 3\end{cases} \\\\
&\ssi \begin{cases} x=3\\y=5\end{cases}
\end{align*}$
Donc la réponse est : “le couple $(3;5)$”.
$\quad$

Exercice 2

Dans la cellule $B2$ on peut saisir $=-8*B1$.
$\quad$
On cherche la valeur de $x$ telle que $-8x=-24$ soit $x=\dfrac{-24}{-8}=3$.
On a donc saisi $3$ dans la cellule $E1$.
$\quad$
$f(x)\times g(x)=-8x\left(-6x+4\right)=48x^2-32x$.
Ce n’est pas de la forme $ax+b$.
Par conséquent la fonction $h$ n’est pas affine.
$\quad$

Exercice 3

Le “DJ” possède donc $104+96=200$ titres de musique.
La probabilité que le premier titre soit un titre de musique rap est $\dfrac{96}{200} = 0,48$.
$\quad$
a. Le nombre $N$ de concerts doit diviser $96$ et $104$ et être le plus grand possible.
Il s’agit donc du PGCD de $96$ et $104$.
On utilise l’algorithme d’Euclide pour le calculer :
$104 = 1\times 96 + 8 $ $\quad$ $96=12\times 8 + 0$.
Le PGCD est le dernier reste non nul. Il s’agit donc de $8$.
Il pourra donc réaliser $8$ concerts au maximum.
$\quad$
b. $\dfrac{96}{8} = 12$ et $\dfrac{104}{8}= 13$.
Il y aura donc $12$ titres de musique rap et $13$ de musique électro par concert.
$\quad$

Exercice 4

$D$ est le milieu de $[AB]$ donc $AD=4,5$ m.
Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on a :
$\tan \widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AD}$ soit $\tan 25 = \dfrac{CD}{4,5}$
Par conséquent $CD=4,5 \tan 25 \approx 2,10$ m.
$\quad$
Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore :
$\begin{align*} AC^2&=AD^2+CD^2 \\
&=4,5^2+2,1^2 \\
&=20,25+4,41\\
&=24,66\\
AC&=\sqrt{24,26}\\
&\approx 4,97
\end{align*}$
$\quad$
Dans les triangles $ADC$ et $HDI$ :
– les droites $(HI)$ et $(AC)$ sont parallèles;
– $H$ appartient à $[AD]$ ($H$ se situe au $\dfrac{2}{3}$ de $[DA]$ en partant de $A$);
– $I$ appartient à $[DC]$.
D’après le théorème de Thalès on a :
$\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DI}{DC}=\dfrac{HI}{AC}$
Soit $\dfrac{2}{3} = \dfrac{DI}{2,1} =\dfrac{HI}{4,97}$
Par conséquent $DI=\dfrac{2}{3} \times 2,1 =1,4$ m.
On a également $HI=\dfrac{2}{3} \times 4,97 \approx 3,31$ m.
$\quad$
Première méthode : avec les aires
$HD=\dfrac{2}{3} \times 4,5 = 3$.
L’aire du triangle $HID$ est $\dfrac{HI \times JD}{2}$
Mais elle est aussi égale à $\dfrac{HD \times DI}{2} = \dfrac{3\times 1,4}{2}=2,1$ m$^2$.
Par conséquent $\dfrac{3,31 \times JD}{2} = 2,1$
Donc $JD = \dfrac{2\times 2,1}{3,31} \approx 1,27$ m.
$\quad$
Seconde méthode : avec la trigonométrie
Les angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{DHI}$ sont correspondants.
De plus les droites $(HI)$ et $(AC)$ sont parallèles.
Par conséquent $\widehat{DHI}=\widehat{DAC}=25°$.
Dans le triangle $HJD$ rectangle en $J$ on a :
$\sin \widehat{JHD}=\dfrac{JD}{HD}$ soit $\sin 25=\dfrac{JD}{3}$
Donc $JD=3 \times \sin 25 \approx 1,27$ m.
$\quad$

Exercice 5

Affirmation 1 : $n^2-6n+9=(n-3)^2$.
Or $(n-3)^2=0$ si, et seulement si $n-3=0$ soit $n=3$.
$3$ est un entier naturel.
L’affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : $180$ km/h $= 180 \times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $= 50$ m/s.
L’affirmation 2 est fausse.
$\quad$

Exercice 6

Calculons les aires des différents modèles.

Pour le modèle A : $500\times 300 = 150~000$ cm$^2$.
Pour le modèle B : $850\times 350 = 297~500$ cm$^2$.
Pour le modèle C : $800\times 400 = 320~000$ cm$^2$.

Ils ont donc choisi le modèle C.

L’aire de la piscine avec les dalles est $(800+2\times 200)\times (400+2\times 200) = 960~000$ cm$^2$.

Ainsi l’aire des dalles est de $960~000-320~000 = 640~000$ cm$^2$ $=64$ m$^2$.

Le prix de ces dalles est de $13,90 \times 64 = 889,6$ euros.

Avec la réduction, ils payeront $889,6 \times (1-0,15)=756,16$ euros.

$\quad$

Exercice 7

a. Le volume de la boule pour la tête est $V_T=\dfrac{4}{3}\pi 3^3 = 36\pi$ cm$^3$.
$\quad$
b. Le corps est un agrandissement de rapport $2$ de la tête.
Le volume de la boule du corps est alors $V_C=2^3V_T=288\pi$ cm$^3$.
$\quad$
Voici une représentation de la situation :

On applique donc le théorème de Pythagore et on obtient :
$3^2=2^2+r^2$ soit $9=4+r^2$
Par conséquent $r^2=5$.
L’aire du disque de section est donc $\pi r^2 = 5\pi \approx 16$ cm$^2$.
$\quad$

Exercice 8

On appelle $n$ le nombre de trajets.

Avec la première formule, elle va payer $40n$.

Avec la seconde formule, elle va payer $442+20n$.

On cherche à résoudre $40n>442+20n$ soit $20n > 442$
Par conséquent $n> \dfrac{442}{20}$ soit $n>22,1$.

Ainsi si elle effectue entre $0$ et $22$ trajets, la première formule est la plus intéressante.
A partir de $23$ trajets, c’est la seconde formule qui est la plus intéressante.

$\quad$