Exercice 1

1. $4$ n’est pas un nombre premier.
   L’affirmation 1 est donc fausse
   $\quad$
2. $(-3)^2+2=9+2=11$.
   L’affirmation 2 est donc vraie.
   $\quad$
3. Pour tout nombre $x$ on a
   $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)^2-2^2\\
   &=\left[(x+3)-2\right]\left[(x+3)+2\right] \\
   &=(x+3-2)(x+3+2)\\
   &=(x+1)(x+5)\end{align*}$
   $\quad$
   Autre méthode :
   D’une part :
   $\begin{align*} (x+3)^2-4&=(x+3)(x+3)-4\\
   &=x^2+3x+3x+9-4\\
   &=x^2+6x+5\end{align*}$
   D’autre part :
   $\begin{align*} (x+1)(x+5)&=x^2+5x+x+5\\
   &=x^2+6x+5\end{align*}$
   Remarque : En connaissant l’identité remarque $(a+b)^2$ on peut aller un peu plus vite dans la première expression.
   $\quad$
   L’affirmation 3 est donc vraie.
   $\quad$
4. Le volume de la demi-boule est :
   $\begin{align*} V_1&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\times \pi\times 3^3 \\
   &=18\pi\end{align*}$
   Le volume du cylindre est :
   $\begin{align*} V_2&=\pi\times (1,5)^2\times 8 \\
   &=18\pi \end{align*}$
   L’affirmation 4 est donc vraie.
   $\quad$

Exercice 2

1. Dans le triangle $BCD$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
   $DB^2=CD^2+CB^2$ soit $8,5^2=CD^2+6,8^2$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} CD^2&=8,5^2-6,8^2 \\
   &=26,01 \end{align*}$
   Donc :
   $\begin{align*} CD&=\sqrt{26,01}\\
   &=5,1\end{align*}$
   $\quad$
2. L’aire du triangle $DCB$ est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DC\times CB}{2} \\
   &=\dfrac{5,1\times 6,8}{2} \\
   &=17,34\text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$
3. Dans le triangle $ADC$ rectangle en $C$ on a :
   $\begin{align*} \tan \widehat{ADC}&=\dfrac{AC}{DC} \\
   &=\dfrac{3,2}{5,1}\end{align*}$
   Donc $\widehat{ADC}\approx 32$°
   $\quad$
4. Dans les triangles $ABD$ et $CBD$ :
   – $C$ appartient à $[AB]$ et $E$ appartient à $[DB]$
   – $\dfrac{BC}{BA}=\dfrac{6,8}{6,8+3,2}=0,68$
   $\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{5,8}{8,5}\approx 0,682$
   Ces deux rapports ne sont pas égaux.
   D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(AD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.
   $\quad$

Exercice 3

1. On obtient la figure suivante :$\quad$
2. On a $7>3$. C’est donc le « Motif B » qui est affiché.
   $\quad$
3. Pour que l’écran affiche le « Motif A » il faut que le $2\ieme$ nombre ait pris une valeur entière comprise entre $4$ et $10$. Il y a donc $6$ possibilités.
   La probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A » est égale à $\dfrac{6}{10}$ soit $0,6$.
   $\quad$

Exercice 4

1. $8$ pistes rouges parmi les $10$ sont ouvertes. Par conséquent $2$ pistes rouges étaient fermées.
   $\quad$
2. Trois quart des pistes bleues étaient ouvertes.
   $\dfrac{3}{4}\times 8=6$.
   $6$ pistes bleues étaient ouvertes.
   $\quad$
3. $\dfrac{3}{5}=0,6$ donc $60\%$ des pistes noires étaient ouvertes.
   $\quad$
4. $5+4+3+1=13$ et $7+8+10+5=30$.
   Or $13<\dfrac{30}{2}$. Moins de la moitié des pistes étaient ouvertes.
   La station doit donc effectuer ce remboursement.
   $\quad$
5. a. On a pu saisir $=\text{MOYENNE(B2:F2)}$.
   $\quad$
   b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est :
   $\begin{align*} M&=\dfrac{105+130+115+140+60}{5} \\
   &=110\end{align*}$
   Elle est donc supérieure à la moyenne de la saison 2018-2019.
   $\quad$

Exercice 5

1. On a
   $\begin{align*} f(6)&=-\dfrac{3}{19}\times 6+3 \\
   &=-\dfrac{18}{19}+\dfrac{57}{19} \\
   &=\dfrac{38}{19}\\
   &=2\end{align*}$
   L’image de $6$ par la fonction $f$ est donc $2$.
   $\quad$
2. On veut résoudre
   $f(x)=0$ soit $-\dfrac{3}{19}x+3=0$ ou encore $\dfrac{3}{19}x=3$.
   Par conséquent $x=19$.
   L’antécédant de $0$ par $f$ est $19$.
   $\quad$
3. On a $f(6)=2$. Donc le point d’abscisse $6$ a pour ordonnée $2$.
   $\quad$
4. La vitesse moyenne de la balle est $v=\dfrac{19,2}{0,34}$ m/s soit environ $56,47$ m/s.
   Or $208$ km/h est égale à $208\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s soit environ $57,78$ m/s.
   L’affirmation du commentateur est donc fausse.
   $\quad$
5. On a :
   $\begin{align*} f(12)&=-\dfrac{3}{19}\times 12+3 \\
   &=-\dfrac{36}{19}+\dfrac{57}{19} \\
   &=1\end{align*}$
   La balle est donc a une hauteur de $1$ m quand elle passe au-dessus du filet.
   $\quad$

 

Exercice 1     18 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d’entre elles, indiquer si elle est vraie ou fausse.
On rappelle que la réponse doit être justifiée.

1. Affirmation 1 : $364$ admet comme décomposition en produit de facteurs premiers : $4 \times 7 \times 13$.
   $\quad$
2. Affirmation 2 : le nombre $-3$ est une solution de l’équation $x^2+2=11$.
   $\quad$
3. Affirmation 3 : pour tout nombre $x$, les expressions $(x + 3)^2-4$ et $(x + 1)(x + 5)$ sont égales.
   $\quad$
4. Affirmation 4 : les deux solides suivants ont le même volume :
   On rappelle les formules suivantes :
   Volume d’une boule : $V =\dfrac{4}{3}\times \pi\times \text{rayon}\times \text{rayon}\times \text{rayon}$
   Volume d’un cylindre : $V = \text{Aire de la base}\times\text{hauteur}$
   Aire d’un disque : $A = \pi\times \text{rayon} \times \text{rayon}$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     22 points

Sur la figure ci-dessous :

• le triangle $DCB$ est rectangle en $C$ ;
• les points $A$, $C$ et $B$ sont alignés ;
• les points $D$, $E$ et $B$ sont alignés ;
• $AC = 3,2$ cm ;
• $CB = 6,8$ cm ;
• $BD = 8,5$ cm ;
• $BE = 5,8$ cm.

1. Démontrer que la longueur $DC$ est égale à $5,1$ cm.
   $\quad$
2. Calculer l’aire du triangle $DCB$ en cm$^2$.
   $\quad$
3. À l’aide de la calculatrice, calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{ADC}$, au degré près.
   $\quad$
4. Les droites $(AD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     16 points

On travaille avec le logiciel Scratch dont voici plusieurs copies d’écran :

1. Tracer à main levée une allure du motif A défini par le bloc « Motif A ».
   $\quad$
2. Après avoir cliqué sur le drapeau vert, l’écran affiche :

   

   Quel motif est alors affiché à l’écran : le « Motif A » ou le « Motif B » ?
   $\quad$

3. On relance le programme.
   Si la variable « 1er nombre » prend la valeur $3$, calculer la probabilité pour que l’écran affiche le « Motif A ».
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Une station de ski compte $30$ pistes. Ces pistes de ski sont soit vertes, soit bleues, soit rouges, soit noires. La couleur de la piste définit son niveau de difficulté pour skier.

Chaque piste de ski peut être soit ouverte, soit fermée.

Sur le site internet de la station de ski, on a pu trouver les informations suivantes :

1. Déterminer le nombre de pistes rouges fermées le lundi 17 février 2020.
   $\quad$
2. Justifier qu’il y a six pistes bleues ouvertes le lundi 17 février 2020.
   $\quad$
3. Parmi les pistes noires, quel est le pourcentage de pistes noires ouvertes le lundi 17 février 2020 ?
   $\quad$
4. Le mercredi 19 février 2020, la nouvelle répartition affichée sur le site internet est la suivante :
   $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
   \hline
   \textbf{   Pistes vertes}&\textbf{   Pistes bleues}&\textbf{   Pistes rouges}&\textbf{   Pistes noires}\\
   \text{Nombre de pistes : }7&\text{Nombre de pistes : }8&\text{Nombre de pistes : }10&\text{Nombre de pistes : }5\\
   \text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}&\text{Nombre de pistes}\\
   \text{ouvertes : }5&\text{ouvertes : }4&\text{ouvertes : }3&\text{ouvertes : }1\\
   \hline
   \end{array}$$
   Sur le site de la station on peut lire :
   « Votre forfait du jour est remboursé si plus de $50 \%$ des pistes de la station sont fermées. »
   Une cliente demande le remboursement de son forfait du jour du mercredi 19 février 2020.
   La station de ski doit-elle effectuer ce remboursement ?
   $\quad$
5. On a mesuré les hauteurs maximales de neige dans la station, exprimées en centimètre, pour chaque mois, de novembre 2018 à mars 2019.
   On saisit ces mesures dans une feuille de calcul dont voici une copie d’écran :

   a. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\text{G2}$ avant d’être étirée jusqu’à la cellule $\text{G3}$ ?
   $\quad$
   b. La moyenne des cinq hauteurs maximales de neige de la saison 2019-2020 est-elle supérieure à celle de la saison 2018-2019?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     24 points

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

1. Calculer l’image de $6$ par la fonction $f$.
   $\quad$
2. Déterminer l’antécédent de $0$ par la fonction $f$.
   Un joueur de tennis effectue un service.
   Voici une figure, qui n’est pas à l’échelle, représentant la trajectoire de la balle lors de ce service.

   Le joueur est positionné au point $A$.
   On considère que la balle lancée en $B$ effectue un trajet en ligne droite, qu’elle passe au-dessus du filet en $D$ et qu’elle touche le terrain adverse en $C$.
   La longueur $DE$ représente la hauteur de la balle lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
   $\quad$
   Voici une représentation graphique de la fonction $f$ qui modélise la trajectoire de la balle lors de ce service. On rappelle que $f(x)=-\dfrac{3}{19}x+3$ pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $19$.

   

Tout point de cette représentation graphique a pour abscisse $x$ et pour ordonnée $f(x)$ où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $19$.

Dans le repère, le point $A$ a pour coordonnées $(0 ; 0)$, le point $B$ a pour coordonnées $(0 ; 3)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(19 ; 0)$.

3. On considère le point d’abscisse $6$ de la représentation graphique de la fonction $f$.
   Déterminer l’ordonnée de ce point.
   $\quad$
4. On admet que la distance $BC$ parcourue par la balle lors de ce service est d’environ $19,2$ m.
   Lors de ce service, la balle a mis $0,34$ seconde pour parcourir la distance $BC$.
   Un commentateur affirme que la vitesse moyenne de la balle lors de ce service est de $208$ km/h.
   Cette affirmation est-elle vraie ?
   $\quad$
5. Déterminer la hauteur de la balle, exprimée en mètre, lorsque celle-ci passe au-dessus du filet.
   $\quad$

$\quad$