DNB – Asie – Juin 2022

Asie – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Situation 1

  1. Voici les différentes obtenues successivement quand on choisit le nombre $10$.
    $$10\underset{-7}{\to}3\underset{\times 5}{\to}15\underset{-20}{\to}-5$$
    On obtient bien $-5$ en prenant $10$ comme nombre de départ.
    $\quad$
  2. Voici les différentes obtenues successivement quand le nombre de départ est $x$.
    $$x\underset{-7}{\to}x-7\underset{\times 5}{\to}5(x-7)\underset{-2x}{\to}5(x-7)-2x$$
    Il s’agit donc de l’expression C.
    $\quad$

Situation 2

  1. D’après le graphique, l’image de $-2$ par la fonction $f$ est $-4$.
    $\quad$
  2. On sait que le point $A(3;6)$ appartient à la droite représentant la fonction linéaire $f$.
    Il existe donc un nombre $a$ tel que $6=3a$. Par conséquent $a=2$.
    Donc $f(x)=2x$.
    $\quad$

Situation 3

L’aire du rectangle $CDEF$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=ED\times DC \\
&=30\times 40 \\
&=1~200 \text{ cm}^2\end{align*}$

Le volume de la pyramide est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times GH \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1~200\times 55 \\
&=22~000\text{ cm}^3 \\
&=22 \text{ L}\end{align*}$
Le volume de la pyramide est ainsi supérieur à $20$ L.
$\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Dans les triangles $ABE$ et $DCE$ :
    – $E$ appartient aux segments $[BC]$ et $[AD]$;
    – les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{EB}{EC}=\dfrac{AB}{CD}$
    soit $\dfrac{7,2}{EC}=\dfrac{9}{6}$
    Donc $EC=\dfrac{7,2\times 6}{9}$, c’est-à-dire $EC=4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ECD$, le plus grand côté est $[CD]$.
    D’une part $CD^2=6^2=36$
    D’autre part $ED^2+EC^2=3,6^2+4,8^2=36$
    Donc $CD^2=ED^2+EC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  3. Une homothétie permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$.
    $\quad$
  4. Les longueurs du triangle $ECD$ sont toutes multipliées par $1,5$ pour obtenir celles du triangle $ABE$.
    Ainsi, l’aire du triangle $ECD$ est multipliée par $1,5^2$ pour obtenir celle du triangle $ABE$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. D’après le tableau, l’Australie a obtenu $29$ médailles d’argent.
    $\quad$
  2. $69-(14+29)=26$.
    L’Italie a donc obtenu $26$ médailles de bronze.
    $\quad$
  3. On a pu saisir la formule $=\text{SOMME(C2:E2)}$ en $\text{F2}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{11}{54}\approx 20,3$.
    En prenant une valeur approchée à l’entier l’affirmation 1 est vraie.
    $\quad$
    On réordonne dans l’ordre croissant la série du nombre de médailles d’argent.
    $1~;~11~;~12~;~15~;~15~;~15~;~17~;~20~;~29~;~29~;~33~;~36~;~38~;~47~;~60$
    Or $\dfrac{15}{2}=7,5$. La médiane est donc la $8\ieme$ valeur c’est-à-dire $20$.
    Le nombre médian de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $20$.
    L’affirmation 2 est fausse.
    $\quad$
  5. $\dfrac{65~000-50~000}{50~000}=0,3$
    Cette prime a donc augmenté de $30\%$ entre 2016 et 2021.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $0,17\times 35=5,95$.
    On paye donc $5,95$ € pour $35$ photos.
    $\quad$
    b. $17+0,13\times 50=23,5$.
    On paye bien $23,50$ € pour $150$ photos.
    $\quad$
    c. On ne peut pas commander plus de $100$ photos.
    On appelle $x$ le nombre de photos commandées.
    $0,17x\pp 10$ donc $x\pp \dfrac{10}{0,17}$.
    Or $\dfrac{10}{0,17}\approx 58,8$.
    On peut donc commander au maximum $58$ photos avec un budget de $10$ €.
    $\quad$
  2. À la ligne $3$ on écrit la valeur $100$, à la ligne $4$ on écrit la valeur $0,17$ et à la ligne $7$ on écrit la valeur $17$.
    $\quad$
  3. a. Pour $150$ photos on doit payer, sans réduction $23,50$ € d’après la question 1.b.
    $23,50\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=16,45$.
    Après réduction on payera donc $16,45$ €.
    $\quad$
    b. Les propositions 2 et 4 conviennent puisqu’appliquer une réduction de $30\%$ à un nombre revient à multiplier ce nombre par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ ou à soustraire $30\%$ du nombre à lui-même.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. Voici, graphiquement, les coordonnées des deux villes :
    Canberra : $34$°S $149$°E
    Miami : $25$°N $80$°O
    $\quad$
  2. Le rayon de l’orbite de l’ISS est $R=6~371+380=6~751$ km
    La circonférence de cette orbite est donc $P=2\pi\times R \approx 42~418$ km.
    L’ISS parcourt bien environ $42~400$ km pour effectuer un tout complet de la terre.
    $\quad$
  3. a. On utilise la formule $V=\dfrac{D}{T}$ soit $T=\dfrac{D}{V}$ où $V$ correspond à la vitesse moyenne, $D$ la distance parcourue et $T$ le temps mis pour parcourir cette distance.
    Ainsi $T\approx \dfrac{42~400}{27~600}$. Donc $T\approx 1,536$ h.
    Or $0,536\times 60=32,16$ min.
    Il faut donc environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. La sortie du  spationaute a duré $7$ h $15$ min soit $7,25$ h.
    Or $\dfrac{7,25}{1,536}\approx 4,72$.
    Il a donc effectué $4$ tour complet de la Terre durant cette sortie.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     20 points

Cet exercice est composé de trois situations qui n’ont pas de lien entre elles.

Situation 1

On considère le programme de calcul ci-dessous : $$\begin{array}{c}\begin{array}{|c|}\hline \text{Nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Soustraire }7\\\text{Multiplier par }5\\\text{Soustraire le double du nombre de départ}\\\hline\end{array}\\\Downarrow\\\begin{array}{|c|}\hline\text{Résultat}\\\hline\end{array}\end{array}$$

  1. Montrer que si le nombre de départ est $10$, le résultat obtenu est $-5$.
    $\quad$
  2. On note $x$ le nombre de départ auquel on applique ce programme de calcul.
    Parmi les expressions suivantes, quelle est celle qui correspond au résultat du programme de calcul ? Aucune justification n’est attendue pour cette question.
    Expression A : $x -7\times 5-2x$
    Expression B : $5(x -7)-x^2$
    Expression C : $5(x-7)-2x$
    Expression D : $5x-7-2x$
    $\quad$

Situation 2 :

Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ représente une fonction linéaire $f$ .
Le point $A$ appartient a la droite $(d)$.

  1. À l’aide du graphique, déterminer l’image de $-2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer une expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$

$\quad$

Situation 3 :

Le dessin ci-dessous représente une pyramide de sommet $G$ et dont la base $CDEF$ est un rectangle.
Le volume de cette pyramide est-il supérieur à $20$ L ?

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

La figure ci-dessous est réalisée à main levée.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $E$.
On a : $ED = 3,6$ cm $\quad$ $CD = 6$ cm
$\hspace{1cm}$ $EB = 7,2$ cm $\quad$ $AB = 9$ cm

  1. Démontrer que le segment $[EC]$ mesure $4,8$ cm.
    $\quad$
  2. Le triangle $ECD$ est-il rectangle ?
    $\quad$
  3. Parmi les transformations ci-dessous, quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle $ABE$ à partir du triangle $ECD$ ?
    Recopier la réponse sur la copie. Aucune justification n’est attendue.
    $$\fbox{Symétrie axiale} \quad \fbox{Homothétie} \quad \fbox{Rotation} \quad \fbox{Symétrie centrale} \quad \fbox{Translation}$$
  4. On sait que la longueur $BE$ est $1,5$ fois plus grande que la longueur $EC$.
    L’affirmation suivante est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.
    Affirmation : « L’aire du triangle $ABE$ est $1,5$ fois plus grande que l’aire du triangle $ECD$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Lors des Jeux paralympiques de 2021, les médias ont proposé un classement des pays en fonction de la répartition des médailles obtenues. Voici le classement obtenu pour les $15$ premiers pays :

  1. Combien de médailles d’argent l’Australie a-t-elle obtenues ?
    $\quad$
  2. Calculer le nombre de médailles de bronze obtenues par l’Italie.
    $\quad$
  3. Quelle formule a pu être saisie en $\text{F2}$ avant d’être étirée vers le bas ?
    $\quad$
  4. Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
    On rappelle que les réponses doivent être justifiées.
    Affirmation 1 :
    « $20 \%$ des médailles obtenues par l’équipe de France sont en or. »
    $\quad$
    Affirmation 2 :
    « La médiane du nombre de médailles d’argent obtenues par ces $15$ pays est $29$. »
    $\quad$
  5. Aux Jeux paralympiques de Rio en 2016, la prime pour une médaille d’or française était de $50~000$ euros. Pour ceux de Tokyo en 2021, cette prime était de $65~000$ euros.
    Quel est le pourcentage d’augmentation de cette prime entre 2016 et 2021 ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     25 points

Une boutique en ligne vend des photos et affiche les tarifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de photos commandées}&\text{Prix à payer}\\
\hline
\text{De $1$ à $100$ photos}&0,17 \text{ € par photo}\\
\text{Plus de $100$ photos}&17 \text{ € pour l’ensemble des $100$ premières photos et} \\
&0,17 \text{ € par photo supplémentaire}\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Quel est le prix à payer pour $35$ photos ?
    $\quad$
    b. Vérifier que le prix à payer pour $150$ photos est $23,50$ €.
    $\quad$
    c. On dispose d’un budget de $10$ €. Combien de photos peut-on commander au maximum ?
    $\quad$

On a commencé à construire un programme qui doit permettre de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées :

  1. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    Par quelles valeurs peut-on compléter les instructions des lignes $3$, $5$ et $8$ pour que le programme permette de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées ?
    Sur la copie, écrire le numéro de chaque ligne à compléter et la valeur correspondante.
    $\quad$
  2. En période des soldes, le site offre une réduction de $30 \%$ sur le prix à payer, pour toute commande supérieure à $20$ €.
    a. Calculer le prix a payer pour $150$ photos en période des soldes.
    $\quad$
    b. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    On modifie le programme pour qu’il donne le prix à payer en période des soldes en insérant le bloc ci-dessous entre les lignes $8$ et $9$.

    Dans la liste suivante, indiquer une proposition qui convient pour compléter la case vide :
    Proposition 1 :
    Proposition 2 :
    Proposition 3 :
    Proposition 4 :
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     15 points

L’ISS (International Space Station) est une station spatiale internationale placée en orbite autour de la Terre.

  1. Dans la journée du 21 juin 2021, l’ISS est passée à la verticale de Canberra (Australie) puis à la verticale de Miami (Etats-Unis).
    À l’aide du planisphère ci-dessous, donner les coordonnées géographiques de ces deux villes avec la précision permise par le graphique.

On représente la Terre, l’ISS et son orbite (trajectoire de l’ISS) à l’aide du schéma ci-dessous.

On considère que :

  • la Terre est assimilée a une sphère de rayon $6~371$ km;
  • l’orbite de l’ISS est un cercle de même centre que celui de la Terre;
  • l’ISS tourne autour de la Terre a une altitude de $380$ km.
  1. Montrer que l’ISS parcourt environ $42~400$ km pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
  2. On estime que l’ISS tourne autour de la Terre à la vitesse moyenne de $27~600$ km/h.
    a. Montrer qu’il faut environ $1$ h $32$ min à l’ISS pour effectuer un tour complet de la Terre.
    $\quad$
    b. Le 19 juin 2020, de $14$ h $30$ à $21$ h $45$ (heure de Paris), le spationaute français Thomas Pesquet a effectué une sortie extravéhiculaire en restant attaché à l’ISS.
    Durant cette sortie, combien de fois Thomas Pesquet a-t-il fait le tour complet de la Terre ?
    $\quad$

$\quad$