DNB – Centres étrangers – Juin 2015

Centres étrangers – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. à 7h, en journée J1, la consommation est de $68~100$ MW environ.
    $\quad$
  2. Pour la journée J2, on consomme $54~500$ MW à $3$h et $5$h$30$.
    $\quad$
  3. On réalise le plus d’économie lorsque l’écart entre les deux courbes est le plus grand c’est-à-dire, ici, à $19$h$30$.
    $\quad$
  4. On économise à $19$h$30$ environ $10~200$ MW.
    $\quad$

Exercice 2

  1. $(4x+5)(x-3) = 0$ est équivalent  à $4x+5 = 0$ ou $x-3=0$.
    C’est à dire : $4x = -5$ ou $x = 3$.
    Soit $x = -\dfrac{5}{4}$ ou $x=3$
    Réponse : $-\dfrac{5}{4}$ et $3$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{8 \times 10^3 \times 28 \times 10^{-2}}{14 \times 10^{-3}} &= \dfrac{8 \times 2 \times 14}{14} \times \dfrac{10}{10^{-3}} \\\\
    &= 16 \times 10^4 \\\\
    &= 1,6 \times 10^5
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{32}}{2}&= \dfrac{\sqrt{16 \times 2}}{2} \\\\
    &= \dfrac{4\sqrt{2}}{2} \\\\
    &=2\sqrt{2}\\\\
    &=\sqrt{8}
    \end{align*}$
    $\quad$

Exercice 3

  1. Il y a $3 \times 3 = 9$ codes différents possibles.
    $\quad$
  2. a. En composant le code A1 elle a une probabilité de $\dfrac{1}{9}$ d’obtenir le bon code.
    $\quad$
    b. La lettre et le chiffre n’étant pas bons, il lui reste alors $2 \times 2 = 4$ codes possibles à essayer.
    La probabilité qu’elle trouve le bon code à son deuxième essai est donc de $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    c. Si elle ne se trompe que de lettre au deuxième essai alors le chiffre est bon, il ne lui reste alors plus qu’une lettre à tester. La porte s’ouvrira donc lors d’un troisième essai.
    $\quad$

Exercice 4

  1. Dans le triangle $OAP$ rectangle en $A$, on a :
    $\tan \widehat{AOP} = \dfrac{AP}{OA}$
    Donc
    $\tan 25 = \dfrac{AP}{15}$ et $AP = 15\tan 25$.
    $\quad$
    Dans le triangle $AOS$ rectangle en $A$, on a :
    $\tan \widehat{SOA} = \dfrac{SA}{OA}$
    Donc
    $\tan 45 = \dfrac{SA}{15}$ et $SA = 15\tan 45$.
    $\quad$
    La hauteur de l’arbre est donc de $15\tan 25 + 15\tan 45 \approx 22$ m.
    $\quad$
  2.  a. En $M2$ on peut écrire $=SOMME(B2:L2)$.
    $\quad$
    b. Le diamètre moyen des arbres de ce lot est :
    $\begin{align*} d  &= \dfrac{30 \times 2 + 35 \times 4 + \ldots + 80 \times 3}{2 + 4 + \ldots + 3} \\\\
    & = \dfrac{5~210}{92} \\\\
    & \approx 57
    \end{align*}$
    Le diamètre moyen de ce lot est donc d’environ $57$ cm.
    $\quad$
  3. Le volume des $92$ arbres est $V = 92 \times \dfrac{10}{24} \times 0,57^2 \times 22$
    Le lot rapportera alors $70V \approx 19~180$ euros.
    $\quad$

Exercice 5

Affirmation 1 : Fausse
$400 \times \left(1 – \dfrac{20}{100}\right) = 400 \times 0,8 = 320 \neq 380$

Affirmation 2 : Vraie
$f(2) = 4 \times 2 – 2 = 6$
L’antécédent de $10$ est solution de l’équation $4x – 2 = 10$ soit $4x = 12$ et $x=3$
Or $6 =2 \times 3$

Affirmation 3 : Fausse
Dans les triangles $AOB$ et $OCD$.
$\dfrac{OC}{OB}  =\dfrac{60}{45} = \dfrac{4}{3}$
et $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{100}{76} = \dfrac{25}{19}$.
Or $4 \times 19 \neq 3 \times 25$.
D’après la contraposée du théorème de Thalès, les plateaux ne sont pas parallèles.

$\quad$

Exercice 6

  1. Avec le Programme A : $(3 + 2)^2 = 5^2 = 25$
    Avec le Programme B : $(3 + 4) \times 3 + 4 = 7 \times 3 + 4 = 21 + 4 = 25$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le nombre cherché.
    Il vérifie donc $(x+2)^2 = 0$ soit $x+2 = 0$ donc $x= -2$.
    Il faut choisir $-2$ pour obtenir $0$ avec le programme A.
    $\quad$
  3. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Le Programme A nous donne $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
    Le Programme B nous donne $(x+4)*x+4 = x^2 + 4x + 4$.
    Les deux programmes fournissent donc bien le même résultat.
    Ysah a raison.
    $\quad$

Exercice 7

  1. La surface au sol est de $12 \times 9  =108 \text{ m}^2$.
    $\quad$
  2. a. Le volume de la partie principale est :
    $$\mathscr{V}_1 = 12 \times 9 \times 3 = 324 \text{ m}^3$$
    $\quad$
    b. Le volume de la pyramide $IABCD$ est $\mathscr{V}_2 = \dfrac{108 \times 6,75}{3} = 243 \text{ m}^3$.
    La pyramide $IRMST$ est une réduction de la pyramide précédente de rapport $\dfrac{4,5}{6,75} = \dfrac{2}{3}$.
    Par conséquent $\mathscr{V_3} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \mathscr{V}_2 = 72 \text{ m}^3$.
    Le volume des chambres est donc $\mathscr{V}_4 = 243 – 72 = 171 \text{ m}^3$.
    $\quad$
    c. Le volume total à chauffer est donc $$\mathscr{V}_1 + \mathscr{V}_2 = 324 + 171 = 495 \text{ m}^3$$
    $\quad$
  3. Pour chauffer la maison il faut donc une puissance de $\dfrac{495}{25} \times 925 = 18~315$ watts.
    Or $\dfrac{18~315}{1~800} = 10,175$.
    Il faut donc acheter $11$ radiateurs.
    Cela représente alors un coût de $11 \times 349,90 = 3~848,90$ euros.