DNB – Centres étrangers – Juin 2021

Centres étrangers- Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} 360 &= 36 \times 10 \\
    &= 6\times 6\times 2\times 5\\
    &=2\times 3 \times 2\times 3\times 2\times 5\\
    &=2^3 \times 3^2 \times 5
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. L’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ est le triangle $BJF$.
    $\quad$
    b. L’image du triangle $AMH$ par la translation qui transforme le point $E$ en $B$ est le triangle $EFM$.
    $\quad$
    c. L’homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ permet de passer su triangle $AIH$ au triangle $AMD$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} \dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}&=\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{7}{25} \\
    &=\dfrac{7}{2}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{35}{10}+\dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{42}{10} \\
    &=\dfrac{21}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le volume d’une boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
    Le rayon de la lune est $R=1~737$.
    Son volume (en km$^3$) est donc :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{4}{3}\pi \times 1~737^3 \\
    &\approx 2,2\times 10^{10}\end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

  5. Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$ on a
    $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{RS}{RT}$ soit $\cos\widehat{SRT}=\dfrac{10}{26}$ donc $\widehat{SRT} \approx 67$°
    Par conséquent $\widehat{RTS}=90-\widehat{SRT} \approx 23$°$\quad$
    Le périmètre du triangle $RST$ est
    $\begin{align*}
    \mathcal{P} &=RS+ST+RT \\
    &\approx 10+24+26\\
    &\approx 60 \text{ mm}\end{align*}$
    $\quad$
    L’aire du triangle $RST$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{SR\times ST}{2} \\
    &=\dfrac{10\times 24}{2} \\
    &=120 \text{ mm}^2\end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie 1

  1. Les issues possibles sont $\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
    $\quad$
  2. Chaque face à la même probabilité d’apparition.
    La probabilité de l’événement $A$ est $p(A)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  3. Les nombres impairs du dé sont $1;3$ et $5$.
    Par conséquent, la probabilité de l’événement $B$ est $p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Le score maximal est $12$, obtenu avec un double $6$. La probabilité de l’événement $C$ est donc $p(C)=0$.
    $C$ est un événement impossible.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
    \hline
    \boldsymbol 1&2&3&4&5&6&7 \\
    \hline
    \boldsymbol 2&3&4&5&6&7&8\\
    \hline
    \boldsymbol 3&4&5&6&7&8&9\\
    \hline
    \boldsymbol 4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    \boldsymbol 5&6&7&8&9&10&11\\
    \hline
    \boldsymbol 6&7&8&9&10&11&12\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Les scores possibles sont $2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12$
    $\quad$
  3. a. Le score $10$ peut être obtenu $3$ fois.
    La probabilité de l’événement $D$ est $p(D)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. Les scores qui sont un multiple de $4$ sont $4$, $8$ et $12$.
    Il y a $9$ possibilités de les obtenir.
    La probabilité de l’événement $E$ est $p(E)=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    c. Les scores qui sont également un nombre premiers sont $2;3;5;7;11$.
    Il y a $15$ possibilités de les obtenir.
    Il y a également $15$ possibilités d’obtenir un nombre strictement supérieur à $7$.
    Le score obtenu a donc autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Si le nombre choisi est $1$ alors la Valeur 1 est $2$, la Valeur 2 est $6$ et le résultat est $3$.
    Le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Si le nombre choisi est $2$ alors la le programme A affiche
    pendant 2 secondes « On obtient 3 » alors la Valeur 1 est $5$, la Valeur 2 est $-3$ et le résultat est $-15$.
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Si $x$ est le nombre de départ alors on obtient à la fin de l’exécution du programme $C$ l’expression $7x+3-x$ soit $6x+3$.
    $\quad$
  3. Avec le programme A, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $1+x$, la Valeur 2 est $3(1+x)$ et le résultat est $3(1+x)-3$ soit $3x$.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$
  4. a. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $(x+3)(x-5)=0$ si, et seulement si, $x+3=0$ ou $x-5=0$ c’est-à-dire si, et seulement si $x=-3$ ou $x=5$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-3$ et $5$.
    $\quad$
    b. Avec le programme B, si le nombre choisi est $x$ alors la Valeur 1 est $x+3$, la Valeur 2 est $x-5$ et le résultat est $(x+3)(x-5)$.
    On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-5)=0$.
    D’après la question précédente, on peut choisir $-3$ ou $5$ comme valeur de départ pour le programme B affiche « On obtient $0$ ».
    $\quad$
  5. On veut déterminer les valeurs de $x$ telles que
    $3x=6x+3$ soit $-3x=3$ et donc $x=-1$.
    L’unique valeur de départ permettant au programme A et C d’afficher le même résultat est $-1$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Le dénivelé est $393-251=142$ m.
    $\quad$
  2. a. Les droites $(EC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droite $(AC)$; elles sont donc parallèles entre elles.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $ABD$ et $ACE$ :
    – $D$ appartient à $[AE]$, $B$ appartient à $[AC]$
    – les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$
    Ainsi $\dfrac{51,25}{AE}=\dfrac{11,25}{142}$
    Par conséquent $AE=\dfrac{51,25\times 142}{11,25} \approx 646,89$ m
    Donc $DE=AE-51,25 \approx 596$ m
    $\quad$
  3. Soit $T$ le temps, en heure, mis pour parcourir $596$ m à la vitesse moyenne de $8$ km/h.
    On a donc $8=\dfrac{0,596}{T}$ soit $T=\dfrac{0,596}{8}= 0,0745$ h.
    Or $0,0745$ h $=4$ min $28,2$ s
    Elle arrivera donc au point $E$ à environ $9$h$59$.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $AEC$ rectangle en $C$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AC^2+EC^2$ soit $(51,25+596)^2=AC^2+142^2$
    Ainsi $AC^2=647,25^2-142^2$ et $AC \approx 631,48$ m
    La pente est donc $\dfrac{EC}{AC} \approx 0,225$ soit $22,5\%$.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
    \hline
    \text{Formule A}&73\text{ €}&219\text{ €}&365\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule B}&127\text{ €}&201\text{ €}&275\text{ €}\\
    \hline
    \text{Formule C}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}&448,50\text{ €}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. L’expression algébrique d’une fonction représentant une situation de proportionnalité est de la forme $ax$.
    C’est donc la fonction $h$ qui traduit une situation de proportionnalité.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est associée à la formule B, la fonction $g$ à la formule C et la fonction $h$ à la formule A.
    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation :
    $36,5x=90+18,5x$ soit $18x=90$ et donc $x=5$
    Le montant à payer avec les formules A et B est identique pour $5$ journées de ski.
    $\quad$
  3. a. La droite $\left(d_1\right)$ représente la fonction $g$.
    La droite $\left(d_2\right)$ représente la fonction $h$.
    La droite $\left(d_3\right)$ représente la fonction $f$.
    $\quad$
    b. On trace la droite d’équation $y=320$. Celle-ci coupe la droite $\left(d_2\right)$ au point d’abscisse $8,8$ environ et la droite $\left(d_3\right)$ au point d’abscisse $12,4$ environ.
    Marin peut donc skier au maximum $12$ jours en utilisant la formule B.
    $\quad$
    c. Le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_3\right)$ a une abscisse environ égale à $19,4$. Il faut donc skier au moins $20$ jours pour que la formule C soit plus la plus avantageuse.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus
largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches
engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 (24 points)

Dans cet exercice, chaque question est indépendante. Aucune justification n’est demandée

  1. Décomposer $360$ en produit de facteurs premiers.
    $\quad$
  2. À partir du triangle $BEJ$, rectangle isocèle en $J$, on a obtenu par pavage la figure ci-dessous.

    a. Quelle est l’image du triangle $BEJ$ par la symétrie d’axe $(BD)$ ?
    $\quad$
    b. Quelle est l’image du triangle $AMH$ par la translation qui  transforme le point $E$ en $B$ ?
    $\quad$
    c. Par quelle transformation passe-t-on du triangle $AIH$ au triangle $AMD$?
    $\quad$
  3. Calculer en détaillant les étapes : $$\dfrac{7}{2}+\dfrac{15}{6}\times \dfrac{7}{25}$$
    On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  4. Pour cette question, on indiquera sur la copie l’unique bonne réponse. Sachant que le diamètre de la Lune est d’environ $3~474$ km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
    Réponse A : $12,3\times 10^{17}$ km$^3$
    Réponse B : $1~456~610$ km$^3$
    Réponse C : $1,8\times 10^{11}$ km$^3$
    Réponse D : $2,2\times 10^{10}$ km$^3$
    $\quad$
  5. On considère un triangle $RST$ rectangle en $S$. Compléter le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    On arrondira la valeur des angles à l’unité.

Annexe 

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (21 points)

Partie 1

Dans cette première partie, on lance un dé bien équilibré à six faces  numérotées de $1$ à $6$, puis on note le numéro de la face du dessus.

  1. Donner sans justification les issues possibles.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité de l’évènement $A$ : « On obtient $2$ » ?
    $\quad$
  3. Quelle est la probabilité de l’évènement $B$ : « On obtient un nombre impair » ?
    $\quad$

Partie 2

Dans cette deuxième partie, on lance simultanément deux dés bien équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle « score » la somme des numéros obtenus sur chaque dé.

  1. Quelle est la probabilité de l’évènement $C$ : « le score est $13$ » ? Comment appelle-t-on un tel événement ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau à double entrée donné en ANNEXE, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
    a. Compléter, sans justifier, le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Donner la liste des scores possibles.
    $\quad$
  3. a. Déterminer la probabilité de l’évènement $D$ : « le score est $10$ ».
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité de l’évènement $E$ : « le score est un multiple de $4$ ».
    $\quad$
    c. Démontrer que le score obtenu a autant de chance d’être un nombre premier qu’un nombre strictement plus grand que $7$.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Dé rouge\Dé vert}&~\boldsymbol 1~&~\boldsymbol 2~&~\boldsymbol 3~&~\boldsymbol 4~&~\boldsymbol 5~&~\boldsymbol 6~\\
\hline
\boldsymbol 1&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 2&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 3&&&&7&& \\
\hline
\boldsymbol 4&&6&&&& \\
\hline
\boldsymbol 5&&&&&& \\
\hline
\boldsymbol 6&&&&&& \\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (16 points)

Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont deux sont réalisés avec un logiciel de programmation.

  1. a. Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ alors le programme A affiche pendant 2 secondes « On obtient $3$ ».
    $\quad$
    b. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ alors le programme B affiche pendant 2 secondes « On obtient $-15$ ».
    $\quad$
  2. Soit $x$ le nombre de départ, quelle expression littérale obtient-on à la fin de l’exécution du programme C ?
    $\quad$
  3. Un élève affirme qu’avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
    $\quad$
  4. a. Résoudre l’équation $(x + 3)(x-5) = 0$.
    $\quad$
    b. Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il « On obtient $0$ » ?
    $\quad$
  5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (19 points)

Aurélie fait du vélo en Angleterre au col de Hardknott.
Elle est partie d’une altitude de $251$ mètres et arrivera au sommet à une altitude de $393$ mètres.
Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point de départ est représenté par le point $A$ et le sommet par le point $E$. Aurélie est actuellement au point $D$.

Les droites $(AB)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires. Les droites $(AC)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires.
Les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés. Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$AD = 51,25$ m et $DB = 11,25$ m.

  1. Justifier que le dénivelé qu’Aurélie aura parcouru, c’est-à-dire la hauteur $EC$, est égal à $142$ m.
    $\quad$
  2. a. Prouver que les droites $(DB)$ et $(EC)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Montrer que la distance qu’Aurélie doit encore parcourir, c’est-à-dire la longueur $DE$, est d’environ $596$ m.
    $\quad$
  3. On utilisera pour la longueur $DE$ la valeur $596$ m.
    Sachant qu’Aurélie roule à une vitesse moyenne de $8$ km/h, si elle part à $9$h$55$ du point $D$, à quelle heure arrivera-t-elle au point $E$ ? Arrondir à la minute.
    $\quad$
  4. La pente d’une route est obtenue par le calcul suivant :
    $pente~~= \dfrac{dénivelé}{longueur~~horizontale~~parcourue}$.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    La pente s’exprime en pourcentage.
    Démontrer que la pente de la route parcourue par Aurélie est de $22,5\%$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (20 points)

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d’hiver :

  • Formule A : on paie $36,50$ € par journée de ski.
  • Formule B : on paie $90$ € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis $18,50$ € par journée de ski.
  • Formule C : on paie $448,50$ € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
  1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski.
    Compléter, sans justifier, le tableau fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Dans cette question, 𝑥 désigne le nombre de journées de ski.
    On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
    $$f(x) = 90 + 18,5x \hspace{1.5cm} g(x) = 448,5 \hspace{1.5cm}h(x) = 36,5x$$
    a. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
    $\quad$
    b. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
    $\quad$
    c. Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
    $\quad$
  3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci-dessous.Sans justifier et à l’aide du graphique :
    a. Associer chaque représentation graphique $\left(d_1\right)$, $\left(d_2\right)$ et $\left(d_3\right)$ à la fonction $f$, $g$ ou $h$ correspondante.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de $320$ €, en choisissant la formule la plus avantageuse.
    $\quad$
    c. Déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.
    $\quad$

Annexe 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\\text{journées de ski}\end{array}&2&6&10\\
\hline
\text{Formule A}&73\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule B}&127\text{ €}&&\\
\hline
\text{Formule C}&448,50\text{ €}&\phantom{448,50\text{ €}}&\phantom{448,50\text{ €}}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$