DNB – Centres étrangers – Juin 2022

Centres étrangers – Juin 2022

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. Le coefficient directeur est $a=2>0$ : ce n’est donc pas la réponse B.
    L’ordonnée à l’origine est $b=3\neq 0$ : ce n’est donc pas la réponse C.
    Réponse A
    $\quad$
  2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est :
    $\begin{align*} f(-2)&=2\times (-2)+3 \\
    &=-4+3 \\
    &=-1\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La formule à saisir est $=\text{2*B1+3}$.
    Réponse B
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (2x-1)(3x+4)-2x&=6x^2+8x-3x-4-2x \\
    &=6x^2+3x-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $CDE$ le plus grand côté est $[DE]$.
    D’une part $DE^2=5,5^2=30,25$
    D’autre part $CD^2+CE^2=3,6^2+4,2^2=30,6$
    Par conséquent $DE^2\neq CD^2+CE^2$.
    D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $CDE$ n’est pas rectangle.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. La distance moyenne parcourue est :
    $\begin{align*} d_m&=\dfrac{166+188+187,5+200+202,5+119,5+93}{7} \\
    &=\dfrac{1~156,5}{7} \\
    &\approx 165,2\end{align*}$
    La distance moyenne parcourue est environ égale à $165,2$ km.
    $\quad$
    b. On ordonne la série de valeurs dans l’ordre croissant :
    $$93~;~119,5~;~166~;~187,5~;~188~;~200~;~202,5$$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est-à-dire $187,5$.
    La médiane des distances parcourues par étapes est $187,5$ km.
    $\quad$
    c. $202,5-93=109,5$.
    L’étendue de la série formée par les distances parcourues par étape est égale à $109,5$.
    $\quad$
  2. $4$ étapes sur les $7$ se sont déroulées sur un parcours accidenté.
    $\dfrac{4}{7}\approx 0,57$.
    Le journaliste a donc raison.
    $\quad$
  3. $30$ h $12$ min $- 28$ h $50$ min $= 1$ h $22$ min.
    Le dernier au classement a donc accumulé $1$ h $22$ min de retard par rapport au vainqueur.
    $\quad$
  4. $51$ min $=0,85$ h
    $\dfrac{166}{3,85}\approx 43$.
    La vitesse moyenne du coureur est environ égale à $43$ km/h.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on a $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{AB}{AC}$ soit $\cos(60)=\dfrac{AB}{8}$
    Par conséquent $AB=8\cos(60)$ et donc $AB=4$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $ADE$ on a :
    – $A$ appartient aux segments $[CE]$ et $[BD]$
    – $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{19,2}{8}=2,4$ et $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{9,6}{4}=2,4$
    Par conséquent $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. La droite $(DE)$ est parallèle à la droite $(BC)$ et les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, les droites $(DB)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Dans le triangle $ADE$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AE^2=AD^2+DE^2$ soit $19,2^2=9,6^2+DE^2$
    Ainsi $DE^2=19,2^2-9,6^2$ soit $DE^2=276,48$.
    L’aire du triangle $ADE$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AD\times DE}{2} \\
    &=\dfrac{9,6\times \sqrt{276,48}}{2} \\
    &\approx 80\end{align*}$
    L’aire du triangle $ADE$ est environ égale à $80$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On obtient le bloc d’instructions suivant :

 

$\quad$

Partie B

  1. Pour lancer le programme de l’élève B il faut appuyer sur la barre espace.
    $\quad$
  2. a. On obtient la figure $1$ avec le programme de l’élève A.
    $\quad$
    b. On obtient la figure $4$ avec le programme de l’élève B.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. On a
    $\begin{align*} 125&=5\times 25 \\
    &=5^3\end{align*}$
    $\begin{align*} 175&=5\times 35\\
    &=5^2\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    b. Les diviseurs communs à $125$ et $175$ sont : $1$, $5$ et $25$.
    $\quad$
    c. Le nombre de boîtes doit diviser $125$ et $175$ et être le plus grand possible.
    D’après la question précédente, le PGCD de $125$ et $175$ est $25$.
    On pourra donc réaliser au maximum $25$ boîtes.
    $\quad$
    d. $\dfrac{125}{25}=5$ et $\dfrac{175}{25}=7$.
    Il y aura donc $5$ truffes parfumées au café et $7$ truffes enrobées de noix de coco dans chaque boîte.
    $\quad$
  2. Le rayon d’une truffe est $r=\dfrac{1,5}{2}=0,75$ cm.
    Le volume d’une truffe est donc :
    $\begin{align*} V_T&=\dfrac{4}{3}\times \pi \times 0,75^3 \\
    &\approx 1,77 \text{ cm}^3\end{align*}$
    Le volume des $12$ truffes est :
    $\begin{align*} V_D&=12V_T \\
    &\approx 21,21\end{align*}$
    Le volume de la pyramide est :
    $\begin{align*} V_C&=\dfrac{1}{3}\times 4,8^2\times 5 \\
    &\approx 38,4\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_C-V_D\\
    &\approx 17,19\\
    &\pp V_D\end{align*}$
    Le volume du pavé droit est :
    $\begin{align*} V_P&=5\times 3,5^2 \\
    &=61,25\text{ cm}^3\end{align*}$
    Si on utilise cette boîte le volume non occupé par les truffes est :
    $\begin{align*} V_1&=V_P-V_D\\
    &\approx 40,04\\
    &\pg V_D\end{align*}$
    On ne peut donc utiliser que la boîte pyramidale.
    $\quad$

Énoncé

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