DNB – centres étrangers juin 2024

Centres étrangers – 10 juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a :
    $\begin{align*} 0,193\times 10^{-100} &=1,93\times 10^{-1}\times 10^{-100} \\
    &=1,93\times 10^{-101}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $42$ min $=\dfrac{42}{60}$ h$=0,7$ h
    La vitesse moyenne de Lili est donc :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{480}{5,7} \\
    &\approx 84,2 \text{ km/h}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il y a $15$ secteurs et $8$ portent le numéro $2$.
    Or $\dfrac{8+1}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$.
    Il faut donc écrire le nombre $2$ dans la case effacée.
    $\quad$
  4. L’étendue est égale à $17-1=16$.
    On réordonne la série pour déterminer la médiane : $1;3;5;10;10;11;17$.
    Il y a $7$ nombres. Or $\dfrac{7}{2}=3,5$. La médiane est donc la $4$-ième valeur soit $10$.
    La moyenne de cette série de nombre est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{5+1+3+10+17+11+10}{7} \\
    &=\dfrac{57}{7} \\
    &\approx 8,1\end{align*}$
    $5$ ne représente donc rien de particulier.
    $\quad$
  5. Après la réservation, il lui reste $\dfrac{4}{5}$ du prix à payer.
    Chaque paiement représente donc $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{15}$ du prix.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour effectuer le premier circuit il faut $5\times 40+5\times 16=280$ secondes.
    Pour effectuer le second circuit il faut $10\times 30+10\times 5=350$ secondes.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 280&=28 \times 10 \\
    &=4\times 7\times 2\times 5\\
    &=2^2\times 7\times 2\times 5\\
    &=2^3\times 5\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} 350&=35\times 10 \\
    &=5\times 7\times 2\times 5 \\
    &=2\times 5^2\times 7\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $2~800=10\times 280$. Camille a donc effectué $10$ tours du circuit 1. Elle est naturellement revenu au point de départ de ce circuit.
    $\quad$
    $2~800=8\times 350$. Dominique a donc effectué $8$ tours du circuit 2 et se retrouve également au point de départ du circuit 2.
    $\quad$
    b. On cherche le plus petit multiple commun à $280$ et $350$.
    Il s’agit de $2^3\times 5^2\times 7=1~400$.
    Il faut donc $1~400$ secondes soit $23$ minutes et $20$ secondes pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $5-2=3$ et $5+1=6$.
    Le résultat final est donc $3\times 6=18$.
    $\quad$
  2. $-\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{7}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$
    Le résultat obtenu est donc $-\dfrac{7}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{4}$.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} (x-2)(x+1)&=x^2+x-2x-2 \\
    &=x^2-x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Il s’agit d’une équation produit nul.
    Par conséquent $x-2=0$ ou $x+1=0$ soit $x=2$ ou $x=-1$.
    Les solutions de cette équation sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    b. On a $g(x)=0$ revient à $(x-2)(x+1)=0$.
    D’après la question précédente les solutions de cette équation sont $-1$ et $2$.
    Les antécédents de $0$ par la fonction $g$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
  3. $g$ n’est pas une fonction affine. Elle ne peut donc pas être représentée par une droite.
    Le graphique 3 est donc la représentation graphique de la fonction $g$.
    $\quad$
  4. Si on appelle $x$ le nombre choisi au départ on obtient alors le nombre $(x-2)(x+1)$, c’est-à-dire $g(x)$.
    D’après la question précédente, il faut donc choisir $-1$ ou $2$ pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ABE$ le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=5,5^2=30,25$
    D’autre part $AE^2+BE^2=4,4^2+3,3^2=30,25$
    Ainsi $AB^2=AE^2+BE^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABE$ rectangle en $E$ on a :
    $\begin{align*}\cos \widehat{ABE}&=\dfrac{EB}{AB} \\
    &=\dfrac{3,3}{5,5} \\
    &\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Par conséquent, d’après la calculatrice, $\widehat{ABE}\approx 53$ °.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ABE$ et $FDE$ on a :
    – $A$ appartient à $[EF]$ ;
    – $B$ appartient à $[ED]$ ;
    – les droites $(AB)$ et $(DF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EA}{EF}=\dfrac{AB}{DF}$
    soit $\dfrac{3,3}{3,3+6,6}=\dfrac{5,5}{FD}$
    donc $\dfrac{1}{3}=\dfrac{5,5}{FD}$
    ainsi $FD=3 \times 5,5=16,5$ cm
    $\quad$
  4. Il s’agit de l’homothétie de centre $E$ de rapport $\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{3,3+6,6}{3,3}=3$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OMS$ rectangle en $O$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} MS^2&=OM^2+OS^2 \\
    &=9^2+30^2 \\
    &=81+900 \\
    &=981 \end{align*}$
    Donc $MS=\sqrt{981}\approx 31,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le périmètre de la base est :
    $\begin{align*} P&=2\times \pi \times OM \\
    &=2\pi \times 9 \\
    &\approx 56,5\text{ cm}\end{align*}$
    Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau seront donc adaptées au tour de tête de Léo.
    $\quad$
  3. a. Le périmètre du cercle de centre $S$ et de rayon $SM$ est :
    $\begin{align*} P’&=2\times \pi\times SM\\
    &=2\pi \times 31,3 \\
    &\approx 196,7 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à son angle.
    On a :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{Mesure de l’angle } \widehat{M’SM} \text{ en degré}&360&\ldots\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{longueur de l’arc } \overset{\frown}{M’M} \text{ en centimètre} \\\text{(Valeur arrondie au dixième de centimètre)}\end{array}&196,7&56,5\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. On a donc :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{Mesure de l’angle } \widehat{M’SM} \text{ en degré}&360&x\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{longueur de l’arc } \overset{\frown}{M’M} \text{ en centimètre} \\\text{(Valeur arrondie au dixième de centimètre)}\end{array}&196,7&56,5\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $x=\dfrac{360\times 56,5}{196,7}\approx 103$.
    Ainsi $\widehat{M’SM} \approx 103$°.
    $\quad$

Partie B

  1. Le volume total du chapeau est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 9^2\times 30 \\
    &=810\pi \\
    &\approx 2~545 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le cône représentant la partie où sont stockés les bonbons est une réduction de rapport $\dfrac{1}{2}$ du chapeau.
    Son volume est donc égal à $\dfrac{1}{2^3}\times V$.
    Or $\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}=12,5\%$.
    Son estimation est donc correcte.
    $\quad$

 

Énoncé

 

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