DNB – centres étrangers juin 2024

Centres étrangers – 10 juin 2024

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a :
    $\begin{align*} 0,193\times 10^{-100} &=1,93\times 10^{-1}\times 10^{-100} \\
    &=1,93\times 10^{-101}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $42$ min $=\dfrac{42}{60}$ h$=0,7$ h
    La vitesse moyenne de Lili est donc :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{480}{5,7} \\
    &\approx 84,2 \text{ km/h}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il y a $15$ secteurs et $8$ portent le numéro $2$.
    Or $\dfrac{8+1}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$.
    Il faut donc écrire le nombre $2$ dans la case effacée.
    $\quad$
  4. L’étendue est égale à $17-1=16$.
    On réordonne la série pour déterminer la médiane : $1;3;5;10;10;11;17$.
    Il y a $7$ nombres. Or $\dfrac{7}{2}=3,5$. La médiane est donc la $4$-ième valeur soit $10$.
    La moyenne de cette série de nombre est :
    $\begin{align*}m&=\dfrac{5+1+3+10+17+11+10}{7} \\
    &=\dfrac{57}{7} \\
    &\approx 8,1\end{align*}$
    $5$ ne représente donc rien de particulier.
    $\quad$
  5. Après la réservation, il lui reste $\dfrac{4}{5}$ du prix à payer.
    Chaque paiement représente donc $\dfrac{1}{3}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{15}$ du prix.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour effectuer le premier circuit il faut $5\times 40+5\times 16=280$ secondes.
    Pour effectuer le second circuit il faut $10\times 30+10\times 5=350$ secondes.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 280&=28 \times 10 \\
    &=4\times 7\times 2\times 5\\
    &=2^2\times 7\times 2\times 5\\
    &=2^3\times 5\times 7\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} 350&=35\times 10 \\
    &=5\times 7\times 2\times 5 \\
    &=2\times 5^2\times 7\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $2~800=10\times 280$. Camille a donc effectué $10$ tours du circuit 1. Elle est naturellement revenu au point de départ de ce circuit.
    $\quad$
    $2~800=8\times 350$. Dominique a donc effectué $8$ tours du circuit 2 et se retrouve également au point de départ du circuit 2.
    $\quad$
    b. On cherche le plus petit multiple commun à $280$ et $350$.
    Il s’agit de $2^3\times 5^2\times 7=1~400$.
    Il faut donc $1~400$ secondes soit $23$ minutes et $20$ secondes pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $5-2=3$ et $5+1=6$.
    Le résultat final est donc $3\times 6=18$.
    $\quad$
  2. $-\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{7}{2}$ et $-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$
    Le résultat obtenu est donc $-\dfrac{7}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{4}$.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} (x-2)(x+1)&=x^2+x-2x-2 \\
    &=x^2-x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Il s’agit d’une équation produit nul.
    Par conséquent $x-2=0$ ou $x+1=0$ soit $x=2$ ou $x=-1$.
    Les solutions de cette équation sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    b. On a $g(x)=0$ revient à $(x-2)(x+1)=0$.
    D’après la question précédente les solutions de cette équation sont $-1$ et $2$.
    Les antécédents de $0$ par la fonction $g$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
  3. $g$ n’est pas une fonction affine. Elle ne peut donc pas être représentée par une droite.
    Le graphique 3 est donc la représentation graphique de la fonction $g$.
    $\quad$
  4. Si on appelle $x$ le nombre choisi au départ on obtient alors le nombre $(x-2)(x+1)$, c’est-à-dire $g(x)$.
    D’après la question précédente, il faut donc choisir $-1$ ou $2$ pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans le triangle $ABE$ le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=5,5^2=30,25$
    D’autre part $AE^2+BE^2=4,4^2+3,3^2=30,25$
    Ainsi $AB^2=AE^2+BE^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $E$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABE$ rectangle en $E$ on a :
    $\begin{align*}\cos \widehat{ABE}&=\dfrac{EB}{AB} \\
    &=\dfrac{3,3}{5,5} \\
    &\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Par conséquent, d’après la calculatrice, $\widehat{ABE}\approx 53$ °.
    $\quad$
  3. Dans les triangles $ABE$ et $FDE$ on a :
    – $A$ appartient à $[EF]$ ;
    – $B$ appartient à $[ED]$ ;
    – les droites $(AB)$ et $(DF)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{EB}{ED}=\dfrac{EA}{EF}=\dfrac{AB}{DF}$
    soit $\dfrac{3,3}{3,3+6,6}=\dfrac{5,5}{FD}$
    donc $\dfrac{1}{3}=\dfrac{5,5}{FD}$
    ainsi $FD=3 \times 5,5=16,5$ cm
    $\quad$
  4. Il s’agit de l’homothétie de centre $E$ de rapport $\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{3,3+6,6}{3,3}=3$.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $OMS$ rectangle en $O$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} MS^2&=OM^2+OS^2 \\
    &=9^2+30^2 \\
    &=81+900 \\
    &=981 \end{align*}$
    Donc $MS=\sqrt{981}\approx 31,3$ cm.
    $\quad$
  2. Le périmètre de la base est :
    $\begin{align*} P&=2\times \pi \times OM \\
    &=2\pi \times 9 \\
    &\approx 56,5\text{ cm}\end{align*}$
    Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau seront donc adaptées au tour de tête de Léo.
    $\quad$
  3. a. Le périmètre du cercle de centre $S$ et de rayon $SM$ est :
    $\begin{align*} P’&=2\times \pi\times SM\\
    &=2\pi \times 31,3 \\
    &\approx 196,7 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à son angle.
    On a :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{Mesure de l’angle } \widehat{M’SM} \text{ en degré}&360&\ldots\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{longueur de l’arc } \overset{\frown}{M’M} \text{ en centimètre} \\\text{(Valeur arrondie au dixième de centimètre)}\end{array}&196,7&56,5\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. On a donc :
    $\begin{array}{|l|c|c|}
    \hline
    \text{Mesure de l’angle } \widehat{M’SM} \text{ en degré}&360&x\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{longueur de l’arc } \overset{\frown}{M’M} \text{ en centimètre} \\\text{(Valeur arrondie au dixième de centimètre)}\end{array}&196,7&56,5\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $x=\dfrac{360\times 56,5}{196,7}\approx 103$.
    Ainsi $\widehat{M’SM} \approx 103$°.
    $\quad$

Partie B

  1. Le volume total du chapeau est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 9^2\times 30 \\
    &=810\pi \\
    &\approx 2~545 \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le cône représentant la partie où sont stockés les bonbons est une réduction de rapport $\dfrac{1}{2}$ du chapeau.
    Son volume est donc égal à $\dfrac{1}{2^3}\times V$.
    Or $\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}=12,5\%$.
    Son estimation est donc correcte.
    $\quad$

 

Énoncé

 

Indications portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. Donner l’écriture scientifique de $0,193 \times 10^{-100}$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    1,93\times 10^{-99}&1,93\times 10^{-101}&193\times 10^{-103}&193\times 10^{97} \\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Lili part en vacances, elle parcourt $480$ km en $5$ h $42$ min.
    Quelle est sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au dixième ?$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    88,6&84,2&1,4&23,4\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  3. Sam fait tourner la roue ci-dessous et regarde le nombre désigné par la flèche, qui peut être $1$ ou $2$.
    $\quad$

    $\quad$
    On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.
    Le nombre écrit dans un des secteurs a été effacé. Est-il possible d’écrire un nombre dans ce secteur de sorte que la probabilité que la flèche désigne le nombre $2$ soit égale à $\dfrac{3}{5}$ ?$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Oui, en écrivant}\\\text{le nombre 1}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Oui, en écrivant}\\\text{le nombre 2}\end{array}&\text{Ce n’est pas possible}& \begin{array}{c}\text{Oui, en laissant}\\\text{le secteur vide}\end{array}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la liste de nombres suivante : $5~;~1~;~3~;~10~;~17~;~11~;~10$. Pour cette liste de
    nombres, que représente le nombre $5$ ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{La médiane}&\text{L’étendue}&\text{La moyenne}&\text{rien de particulier}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  5. Léa achète un vélo électrique. Pour le réserver, elle paye $\dfrac{1}{
    5}$ du prix au magasin. Le magasin lui propose de payer le reste en trois paiements d’un même montant. Quelle fraction du prix du vélo représente l’un de ces trois paiements ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \dfrac{12}{5}&\dfrac{1}{15}&\dfrac{4}{15}&\dfrac{3}{5}\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (20 points)

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d’entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

  • un circuit commence à l’exercice 1 et se termine en revenant à l’exercice 1 ;
  • le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure $40$ secondes et doit être suivi de $16$ secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant ;
  • le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure $30$ secondes et doit être suivi de $5$ secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant.

  1. Montrer que le circuit 1 s’effectue en $280$ secondes et que le circuit 2 s’effectue en $350$ secondes.
    $\quad$
  2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $280$ et de $350$.
    $\quad$
  3. Une séance d’entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.
    Au coup de sifflet de l’entraîneur, Camille commence une séance d’entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
    a. Expliquer pourquoi, lorsque $2~800$ secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
    Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque $2~800$ secondes se sont écoulées.
    $\quad$
    b. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (20 points)

On considère le programme de calcul suivant :

Partie A

  1. Justifier qu’en choisissant $5$ comme nombre de départ, le résultat final obtenu est $18$.
    $\quad$
  2. Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $-\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  3. Le script donné en ANNEXE, écrit avec un logiciel de  programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus.
    Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie. Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$

Partie B

Soit la fonction $g$ définie, pour un nombre $x$ donné, par $g(x)=x^2-x-2$.

  1. Prouver que $(x-2)(x+1)=x^2-x-2$.
    $\quad$
  2. a. Résoudre l’équation $(x-2)(x+1) = 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les antécédents de $0$ par la fonction $g$. Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
  3. Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $g$ ? Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$

    $\quad$
  4. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 4     (16 points)

Sur la figure ci-dessous :

  • les points $E$, $A$ et $F$ sont alignés ;
  • les points $E$, $B$ et $D$ sont alignés ;
  • les droites $(FD)$ et $(AB)$ sont parallèles ;
  • $AE = 4,4$ cm ; $EB = 3,3$ cm ; $AB = 5,5$ cm et $BD = 6,6$ cm.
  1. Démontrer que le triangle $ABE$ est rectangle.
    $\quad$
  2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ABE}$, arrondie au degré.
    $\quad$
  3. Calculer la longueur $FD$.
    $\quad$
  4. Une homothétie de centre $E$ transforme le triangle $EAB$ en le triangle $EFD$.
    Quel est le rapport de cette homothétie ? Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     (24 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Léo veut fabriquer un chapeau en forme de cône pour se déguiser en sorcier lors de la fête d’Halloween.

Voici la représentation de ce chapeau en perspective cavalière.

Le rayon $OM$ de la base de ce cône mesure $9$ cm et la hauteur $OS$ mesure $30$ cm.

  1. Démontrer que la longueur $MS$, arrondie au dixième de centimètre, est $31,3$ cm.
    $\quad$
  2. Léo souhaite vérifier que le chapeau sera adapté à son tour de tête qui mesure $56$ cm. Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont-elles adaptées au tour de tête de Léo ?
    $\quad$
  3. Léo a représenté ci-dessous le patron de son chapeau.
    $\quad$

    $\quad$
    Il a reporté dessus les mesures des longueurs qu’il connaît et nommé $\overset{\frown}{M’M}$ l’arc de cercle de longueur $56,5$ cm.
    a. Démontrer que la longueur du cercle de centre $S$ et de rayon $SM$, arrondie au dixième de centimètre, est égale à $196,7$ cm.
    $\quad$
    Pour dessiner en grandeur réelle son chapeau, il a besoin de calculer la mesure de l’angle $\widehat {M’SM}$ qui est proportionnelle à la  longueur de l’arc de cercle $\overset{\frown}{M’M}$.
    Il décide de représenter cette situation par le tableau de proportionnalité donné en ANNEXE.
    b. Placer la valeur $196,7$ obtenue à la question précédente dans le tableau donné en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    c. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{M’SM}$ correspondant à une longueur d’arc de $56,5$ cm qui permettra à Léo de tracer le patron de son chapeau. Donner le résultat arrondi au degré.
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Mesure de l’angle } \widehat{M’SM} \text{ en degré}&360&\ldots\\
\hline
\begin{array}{l}\text{longueur de l’arc } \overset{\frown}{M’M} \text{ en centimètre} \\\text{(Valeur arrondie au dixième de centimètre)}\end{array}&\ldots&56,5\\
\hline
\end{array}$

$\quad$