Métropole Antilles Guyane – Septembre 2014 – DNB

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

1. Cédric a parcouru $10$ km en $20$ minutes.
   $\quad$
2. Cédric a mis $50$ minutes pour parcourir les $30$ premiers kilomètres.
   $\quad$
3. Cédric a dans l’ordre rencontré :
   – une partie plate
   – une descente
   – une partie plate
   – une montée
   $\quad$
4. Cédric a mis $20$ minutes, soit $\dfrac{1}{3}$ d’heure, pour parcourir $10$ kilomètres. Sa vitesse moyenne est donc : $$V = \dfrac{10}{\dfrac{1}{3}} = 30 \text{ km/h}$$
   

$\quad$

Exercice 2

Affirmation 1 :  $V = \dfrac{4 \times 2}{2} \times 7$ $=28 \text{ cm}^3$. Fausse.
$\quad$

Affirmation 2 : Dans les triangles $NOK$ et $LMK$ :
– Les points $K$, $L$, $N$ et $K$, $M$, $O$ sont alignés dans le même ordre
– $\dfrac{KL}{KN} = \dfrac{2}{7}$ et $\dfrac{KM}{KO} = \dfrac{1}{4}$
Par conséquent $\dfrac{KL}{KN} \ne \dfrac{KM}{KO}$.
D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(ML)$ et $(NO)$ ne sont pas parallèles. Fausse.
$\quad$

Affirmation 3 : Les côtés de ce triangle ont une longueur de $6$ cm.
En appliquant le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle constitué de trois sommets consécutifs on obtient, en appelant $d$ la longueur d’une diagonale (les deux ont la même longueur!)
$d^2 = 6^2 + 6^2  = 72$ donc $d= \sqrt{72}$ $ = \sqrt{36 \times 2}$ $=6\sqrt{2}$. Vraie.
$\quad$

Affirmation 4 : On cherche donc à résoudre l’équation $3x + 5=0$
Ce qui revient à résoudre $3x = -5$ et par conséquent $x = -\dfrac{5}{3}$. Vraie.

$\quad$

Exercice 3

1. a. $3$ filles portent des lunettes sur ces $30$ élèves.
   La probabilité cherchée est donc $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$
   $\quad$
   b. Il y a $7 + 5 = 12$ garçons dans cette classe.
   La probabilité que ce soit la fiche d’un garçon est donc $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
2. $10$ élèves portent des lunettes dans cette classe.
   On appelle $N$ le nombre d’élèves du collège portant des lunettes.
   On a ainsi $10 = \dfrac{12,5}{100} N$ donc $N = \dfrac{10 \times 100}{12,5} = 80$.
   $80$ élèves portent des lunettes dans le collège.

$\quad$

Exercice 4

1.  Dans le triangle $HPL$ rectangle en $P$ on a :
   $\tan \widehat{PHL} = \dfrac{PL}{HP}$ soit $HL =4\tan 40 $ $\approx 3,4$ m.
   $\quad$
2. Dans le triangle $MCF$ rectangle en $C$ on a :
   $\tan \widehat{MFC} = \dfrac{MC}{CF}$ soit $MC = 5\tan 33$ $\approx 3,2$.
   Or $PC = PL – ML + MC$ soit $5,5 = 3,4 – ML + 3,2$
   Donc $ML = 3,4 + 3,2 – 5,5 $ $=1,1$ m
   $\quad$
3. On veut donc que $MC = PC – PL$ $=5,5 – 3,4$ $ = 2,1$ m.
   Dans le triangle $MCF$ rectangle en $F$ on a :
   $\tan \widehat{MFC} = \dfrac{MC}{FC} $ $=\dfrac{2,1}{5}$ $=0,42$
   Par conséquent $\widehat{MFC} \approx 23°$

$\quad$

Exercice 5

1. a. $5 \times 7 + 1$ $=35 + 1$ $= 36$ $=4 \times 9$.
   $\quad$
   b. Il s’agit bien d’un multiple de $4$. Léa a raison pour cet exemple.
   $\quad$
2. a. En prenant $17$ comme premier nombre on obtient $17 \times 19 +1 =324$.
   $\quad$
   b. $324 = 4 \times 81$. C’est bien un multiple de $4$.
   $\quad$
   c. On peut utiliser la formule $1$ et la formule $3$.
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align} (2x+1)(2x+3) + 1 &= (2x)^2 + 6x + 2x + 3 + 1 \\\\
   &= 4x^2 + 8x + 4
   \end{align}$
   $\quad$
4. Or $4x^2+8x+4 = 4(x^2+2x+1)$. On obtient bien un multiple de $4$.
   Léa avait donc raison.

$\quad$

Exercice 6

1. $BC = 7,7$ m $= 770$ cm.
   Le coefficient d’agrandissement est $\dfrac{BC}{OF} = \dfrac{770}{35}$ $=22$.
   $\quad$
2. On a donc $AB = 22DE$ $=22 \times 0,2 $ $=4,4$.
   L’arbre mesure donc $22$ m.
   $\quad$
3. Si $DE = OF$ alors la longueur de l’arbre est égale à la distance $BC$.
   $\quad$
4. On appelle $D$ le diamètre de l’arbre à cette hauteur.
   Donc $\pi D =1,38$ soit $D= \dfrac{1,38}{\pi}$ $\approx 0,44$ m.

$\quad$

Exercice 7

1. Pour une personne la différence de prix est $ 530 – 350 = 180 €$.
   Pour ce couple, la différence est donc $ 2 \times 180 = 360€$.
   $\quad$
2. a. Le couple doit arriver à l’aéroport $2$ heures avant $11$ h $55$ soit $9$ h $55$. Le trajet dure $4$ h $24$.
   Il faut donc que le couple parte avant $5$ h $31$.
   $\quad$
   b. Le couple doit parcourir $409$ km. La voiture consomme $6$ litres aux $100$ km. Elle aura donc consommé sur ce trajet $4,09 \times 6$ litres.
   Le coût du carburant est alors $4,09 \times 6\times 1,3 = 31,902$ $\approx 31,90 €$.
   $\quad$
3. Prix total Voiture – Avion (Paris) :
   $350 \times 2 + 35,9 \times 2 + 31,9 \times 2 + 58 $ $=893,60€$
   $\quad$
   Prix total Train – Avion (Paris) : (le train arrive à $9$ h $38$ soit plus de deux heures avant le décollage)
   $(350 + 51 + 42)\times 2 $ $ = 886 €$
   $\quad$
   Prix total Avion (Nantes) :
   $530 \times 2 $ $=1060€$.
   $\quad$
   C’est plus économique pour le couple de choisir le trajet Train – Avion (Paris).