Exercice 1

1. On réordonne la série : $2-6-10-12-14-22-25$
   Elle comporte $7$ valeurs. $\dfrac{7}{2}=3,5$.
   La médiane est donc la $4\ieme$ valeur : $12$.
   Réponse A
   $\quad$
2. Le sac contient $200$ billes.
   La probabilité de tirer une bille jaune est : $\dfrac{60}{200}=0,3$.
   Réponse B
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} 2~020&=2\times 1~010\\
   &=2\times 2\times 505 \\
   &=2\times 2\times 5\times 101\end{align*}$
   Réponse C
   $\quad$
4. La formule est $V=\dfrac{4}{3}\pi\R^3$.
   Réponse C
   $\quad$
5. Le rapport de l’homothétie est $2>1$. Elle agrandit donc les longueurs.
   Réponse A
   $\quad$

Exercice 2

1. Voici les différentes étapes du calcul :
   • Choisir un nombre : $2$
   • Ajouter $7$ à ce nombre : $2+7=9$
   • Soustraire $7$ au nombre choisi au départ : $2-7=-5$
   • Multiplier les deux résultats précédents : $9\times (-5)=-45$
   • Ajouter $50$ : $50+(-45)=5$
   Si le nombre choisi au départ est $2$ alors le résultat obtenu est $5$.
   $\quad$
2. Voici les différentes étapes du calcul :
   • Choisir un nombre : $-10$
   • Ajouter $7$ à ce nombre : $-10+7=-3$
   • Soustraire $7$ au nombre choisi au départ : $-10-7=-17$
   • Multiplier les deux résultats précédents : $-3\times (-17)=51$
   • Ajouter $50$ : $50+51=101$
   Si le nombre choisi au départ est $-10$ alors le résultat obtenu est $101$.
   $\quad$
3. Si le nombre choisi est $-10$ alors le double de ce nombre est $-20$. Si on lui ajoute $1$ on obtient $-19 \neq 101$.
   L’élève a donc tort.
   $\quad$
4. Pour tout nombre $x$ le programme de calcul devient :
   $\begin{align*}(x+7)(x-7)+50&=x^2-7^2+50\\
   &=x^2-49+50\\
   &=x^2+1\end{align*}$
   $\quad$
5. On veut donc résoudre l’équation $x^2+1=17$
   C’est-à-dire $x^2=16$.
   Les solutions de l’équation sont donc $-4$ et $4$.
   Les seuls nombres permettant d’obtenir $17$ comme résultat de ce programme de calcul sont donc $-4$ et $4$.
   $\quad$

Exercice 3

1. $H$ est le milieu de $[BC]$ donc $CH=145$ cm.
   Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
   $AC^2=AH^2+HC^2$
   Donc $342^2=AH^2+145^2$
   soit $AH^2=342^2-145^2$
   d’où $AH^2=95~939$
   Par conséquent $AH=\sqrt{95~939} \approx 310$ cm.
   $\quad$
2. Dans les triangles $AMN$ et $ABC$ on a :
   – $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$;
   – les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès on a donc :
   $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
   Ainsi $\dfrac{165}{342}=\dfrac{MN}{290}$
   soit $MN=\dfrac{290\times 165}{342} \approx 140$ cm.
   $\quad$
3. Coût des poutres en bois de diamètre $100$ mm :
   $C_1=12,99+4\times 11,75 = 59,99$ €.
   Coût des barres de maintien latérales en bois :
   $2\times 3,89=7,78$ si on prend deux barres de longueur $1,5$ m.
   Si on choisit une barre de longueur $3$ m qu’on coupe en deux le coût est alors plus faible et vaut $C_2=6,99$
   Le coût total est donc :
   $\begin{align*} C&=C_1+C_2+80+50 \\
   &=59,99+6,99+80+50 \\
   &=196,98\end{align*}$
   Le coût minimal d’un tel portique équipé de balançoires s’élève à $196,98$ €.
   $\quad$
4. $196,98\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\approx 236,38$.
   Le prix de vente sera donc environ égal à $236,38$ €.
   $\quad$
5. Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a :
   $\sin\widehat{CAH}=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{145}{342}$
   Donc $\widehat{CAH}\approx 25,09$°
   Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
   Par conséquent $\widehat{BAC}=2\widehat{CAH} \approx 50,2$°.
   Ce portique respecte donc la condition de sécurité.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. On obtient le tableau suivant :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &~\text{A}~&~\text{B}~&~\text{C}~&~\text{D}~&~\text{E}~&~\text{F}~\\
   \hline
   1&\text{Nombre de demi-journées}&1&2&3&4&5\\
   \hline
   2&\text{Tarif A}&8&16&24&32&40\\
   \hline
   3&\text{Tarif B}&35&40&45&50&55\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
2. On a saisi $=30+5*\text{B}1$.
   Réponse D
   $\quad$
3. La fonction $f$ est une fonction linéaire. Elle traduit donc une situation de proportionnalité.
   $\quad$
4. On obtient le graphique suivant :
   La fonction $f$ est représentée par une droite passant par l’origine du repère.
   $f(10)=80$ : cette droite passe également par le point de coordonnées $(10;80)$.
   $\quad$
5. On veut résoudre $f(x)=g(x)$
   soit $8x=30+5x$
   donc $3x=30$
   par conséquent $x=10$
   Les deux tarifs sont égaux pour $10$ demi-journées.
   $\quad$
6. Avec le tarif A :
   $8x=100$ soit $x=12,5$
   On peut donc participer au maximum à $12$ demi-journées avec le tarif A.
   $\quad$
   Avec le tarif B :
   $30+5x=100$ soit $5x=70$ et donc $x=14$.
   On peut donc participer au maximum à $14$ demi-journées avec le tarif B.
   $\quad$
   Pour un budget de $100$ € on peut donc participer au maximum à $14$ demi-journées.
   $\quad$

Exercice 5

1. a. Le triangle $ECD$ est isocèle en $D$ donc $\widehat{CDE}=\widehat{ECD}=85$°.
   Ainsi $\widehat{CDE}=180-2\times 85=10$°
   $\quad$
   b. Pour obtenir un angle intérieur de $85$° il faut faire un angle extérieur de $180-85=95$°. La position du stylo dans Scratch n’est pas, en effet, dans la “bonne direction” d’écriture.
   $\quad$
   c. Pour la même raison qu’à la question précédente on doit indiquer l’angle $180-10=170$°
   $\quad$
2. On veut représenter $3$ pale. Il faut donc répéter $3$ fois la boucle.
   $\quad$

 

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie.

1. On donne la série de nombres suivante : $10 ~;~ 6 ~;~ 2 ~;~ 14 ~;~ 25 ~;~ 12 ~;~ 22$.
   La médiane est …
   Réponse A : $12$
   Réponse B : $13$
   Réponse C : $14$
   $\quad$
2. Un sac opaque contient $50$ billes bleues, $45$ rouges, $45$ vertes et $60$ jaunes. Les billes sont indiscernables au toucher et on tire une bille au hasard dans ce sac.
   La probabilité que cette bille soit jaune est …
   Réponse A : $60$
   Réponse B : $0,3$
   Réponse C : $\dfrac{1}{60}$
   $\quad$
3. La décomposition en facteurs premiers de $2020$ est …
   Réponse A : $2\times 10\times 101$
   Réponse B : $5\times 5\times 101$
   Réponse C : $2\times 2\times 5\times 101$
   $\quad$
4. La formule qui permet de calculer le volume d’une boule de rayon $R$ est …
   Réponse A : $2\pi R$
   Réponse B : $\pi R^2$
   Réponse C : $\dfrac{4}{3}\pi R^3$
   $\quad$
5. Une homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ est une transformation qui …
   Réponse A : agrandit les longueurs
   Réponse B : réduit les longueurs
   Réponse C : conserve les longueurs
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre.
• Ajouter $7$ à ce nombre.
• Soustraire $7$ au nombre choisi au départ.
• Multiplier les deux résultats précédents.
• Ajouter $50$

1. Montrer que si le nombre choisi au départ est $2$, alors le résultat obtenu est $5$.
   $\quad$
2. Quel est le résultat obtenu avec ce programme si le nombre choisi au départ est $-10$ ?
   $\quad$
3. Un élève s’aperçoit qu’en calculant le double de $2$ et en ajoutant $1$, il obtient $5$, le même résultat que celui qu’il a obtenu à la question 1. Il pense alors que le programme de calcul revient à calculer le double du nombre de départ et à ajouter $1$.
   A-t-il raison ?
   $\quad$
4. Si $x$ désigne le nombre choisi au départ, montrer que le résultat du programme de calcul est $x^2+1$.
   $\quad$
5. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ du programme de calcul pour obtenir $17$ comme résultat ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     23 points

Une entreprise fabrique des portiques pour installer des balançoires sur des aires de jeux.

1. Déterminer la hauteur $AH$ du portique, arrondie au cm près.
   $\quad$
2. Les barres de maintien doivent être fixées à $165$ cm du sommet ($AN = 165$ cm).
   Montrer que la longueur $MN$ de chaque barre de maintien est d’environ $140$ cm.
   $\quad$
3. Montrer que le coût minimal d’un tel portique équipé de balançoires s’élève à $196,98$ €.
   $\quad$
4. L’entreprise veut vendre ce portique équipé $20\%$ plus cher que son coût minimal.
   Déterminer ce prix de vente arrondi au centime près.
   $\quad$
5. Pour des raisons de sécurité, l’angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre $45$° et $55$°.
   Ce portique respecte-t-il cette condition ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     23 points

Une association propose diverses activités pour occuper les enfants pendant les vacances scolaires.
Plusieurs tarifs sont proposés :

• Tarif A : $8$ € par demi-journée.
• Tarif B : une adhésion de $30$ € donnant droit à un tarif préférentiel de $5$ € par demi-journée.

Un fichier sur tableur a été préparé pour calculer le coût à payer en fonction du nombre de demi-journées d’activités pour chacun des tarifs proposés :

Les questions 1, 2, 4 et 5 ne nécessitent pas de justification.

1. Compléter ce tableau sur l’annexe 1.
   $\quad$
2. Retrouver parmi les réponses suivantes la formule qui a été saisie dans la cellule $\text{B3}$ avant de l’étirer vers la droite :
   Réponse A : $=8*\text{B1}$
   Réponse B : $=30*\text{B1}+5$
   Réponse C : $=5*\text{B1}+30*\text{B1}$
   Réponse D : $=30+5*\text{B1}$
   Réponse E : $=35$
   $\quad$
3. On considère les fonctions $f$ et $g$ qui donnent les tarifs à payer en fonction du nombre $x$ de demi-journées d’activités.
   $\bullet$ Tarif A : $f(x) = 8x$
   $\bullet$ Tarif B : $g(x) = 30 + 5x$
   Parmi ces fonctions, quelle est celle qui traduit une situation de proportionnalité ?
   $\quad$
4. Sur le graphique de l’annexe 2, on a représenté la fonction $g$.
   Représenter sur ce même graphique la fonction $f$.
   $\quad$
5. Déterminer le nombre de demi-journées d’activités pour lequel le tarif A est égal au tarif B.
   $\quad$
6. Avec un budget de $100$ €, déterminer le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer. Décrire la méthode choisie.
   $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

$\quad$

Exercice 5     14 points

On cherche à dessiner une éolienne avec le logiciel Scratch ; elle est formée de $3$ pales qui tournent autour d’un axe central.

1. La figure ci-dessous représente une pale de l’éolienne.

   

   $\bullet$ $DEC$ est un triangle isocèle en $D$.
   $\bullet$ $B$ est le milieu de $[EC]$.
   $\bullet$ $[AB]$ est perpendiculaire à $[EC]$.
   $\bullet$ $\widehat{ECD}= 85$°.
   a. Montrer que l’angle $\widehat{CDE} = 10$°.
   $\quad$
   b. Le script « pale » ci-dessous permet de tracer une pale de l’éolienne avec le logiciel Scratch.
   Pourquoi la valeur indiquée dans le bloc de la ligne n°6 est-elle $95$ ?

   
   $\quad$
   c. Dans ce même script « pale », par quelle valeur doit-on compléter le bloc situé à la ligne n°8 ? Recopier cette valeur sur votre copie.
   $\quad$

2. Le script « eolienne » ci-dessous permet de tracer l’éolienne avec le logiciel Scratch.

   

   Par quelle valeur doit-on compléter la boucle « répéter » ?
   Recopier cette valeur sur votre copie.
   $\quad$

$\quad$