DNB – Métropole Antilles Guyane- Septembre 2020

Métropole Antilles Guyane – Septembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On réordonne la série : $2-6-10-12-14-22-25$
    Elle comporte $7$ valeurs. $\dfrac{7}{2}=3,5$.
    La médiane est donc la $4\ieme$ valeur : $12$.
    Réponse A
    $\quad$
  2. Le sac contient $200$ billes.
    La probabilité de tirer une bille jaune est : $\dfrac{60}{200}=0,3$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} 2~020&=2\times 1~010\\
    &=2\times 2\times 505 \\
    &=2\times 2\times 5\times 101\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. La formule est $V=\dfrac{4}{3}\pi\R^3$.
    Réponse C
    $\quad$
  5. Le rapport de l’homothétie est $2>1$. Elle agrandit donc les longueurs.
    Réponse A
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Voici les différentes étapes du calcul :
    • Choisir un nombre : $2$
    • Ajouter $7$ à ce nombre : $2+7=9$
    • Soustraire $7$ au nombre choisi au départ : $2-7=-5$
    • Multiplier les deux résultats précédents : $9\times (-5)=-45$
    • Ajouter $50$ : $50+(-45)=5$
    Si le nombre choisi au départ est $2$ alors le résultat obtenu est $5$.
    $\quad$
  2. Voici les différentes étapes du calcul :
    • Choisir un nombre : $-10$
    • Ajouter $7$ à ce nombre : $-10+7=-3$
    • Soustraire $7$ au nombre choisi au départ : $-10-7=-17$
    • Multiplier les deux résultats précédents : $-3\times (-17)=51$
    • Ajouter $50$ : $50+51=101$
    Si le nombre choisi au départ est $-10$ alors le résultat obtenu est $101$.
    $\quad$
  3. Si le nombre choisi est $-10$ alors le double de ce nombre est $-20$. Si on lui ajoute $1$ on obtient $-19 \neq 101$.
    L’élève a donc tort.
    $\quad$
  4. Pour tout nombre $x$ le programme de calcul devient :
    $\begin{align*}(x+7)(x-7)+50&=x^2-7^2+50\\
    &=x^2-49+50\\
    &=x^2+1\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut donc résoudre l’équation $x^2+1=17$
    C’est-à-dire $x^2=16$.
    Les solutions de l’équation sont donc $-4$ et $4$.
    Les seuls nombres permettant d’obtenir $17$ comme résultat de ce programme de calcul sont donc $-4$ et $4$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $H$ est le milieu de $[BC]$ donc $CH=145$ cm.
    Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AH^2+HC^2$
    Donc $342^2=AH^2+145^2$
    soit $AH^2=342^2-145^2$
    d’où $AH^2=95~939$
    Par conséquent $AH=\sqrt{95~939} \approx 310$ cm.
    $\quad$
  2. Dans les triangles $AMN$ et $ABC$ on a :
    – $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$;
    – les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a donc :
    $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
    Ainsi $\dfrac{165}{342}=\dfrac{MN}{290}$
    soit $MN=\dfrac{290\times 165}{342} \approx 140$ cm.
    $\quad$
  3. Coût des poutres en bois de diamètre $100$ mm :
    $C_1=12,99+4\times 11,75 = 59,99$ €.
    Coût des barres de maintien latérales en bois :
    $2\times 3,89=7,78$ si on prend deux barres de longueur $1,5$ m.
    Si on choisit une barre de longueur $3$ m qu’on coupe en deux le coût est alors plus faible et vaut $C_2=6,99$
    Le coût total est donc :
    $\begin{align*} C&=C_1+C_2+80+50 \\
    &=59,99+6,99+80+50 \\
    &=196,98\end{align*}$
    Le coût minimal d’un tel portique équipé de balançoires s’élève à $196,98$ €.
    $\quad$
  4. $196,98\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)\approx 236,38$.
    Le prix de vente sera donc environ égal à $236,38$ €.
    $\quad$
  5. Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin\widehat{CAH}=\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{145}{342}$
    Donc $\widehat{CAH}\approx 25,09$°
    Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    Par conséquent $\widehat{BAC}=2\widehat{CAH} \approx 50,2$°.
    Ce portique respecte donc la condition de sécurité.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~\text{A}~&~\text{B}~&~\text{C}~&~\text{D}~&~\text{E}~&~\text{F}~\\
    \hline
    1&\text{Nombre de demi-journées}&1&2&3&4&5\\
    \hline
    2&\text{Tarif A}&8&16&24&32&40\\
    \hline
    3&\text{Tarif B}&35&40&45&50&55\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. On a saisi $=30+5*\text{B}1$.
    Réponse D
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est une fonction linéaire. Elle traduit donc une situation de proportionnalité.
    $\quad$
  4. On obtient le graphique suivant :
    La fonction $f$ est représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    $f(10)=80$ : cette droite passe également par le point de coordonnées $(10;80)$.
    $\quad$
  5. On veut résoudre $f(x)=g(x)$
    soit $8x=30+5x$
    donc $3x=30$
    par conséquent $x=10$
    Les deux tarifs sont égaux pour $10$ demi-journées.
    $\quad$
  6. Avec le tarif A :
    $8x=100$ soit $x=12,5$
    On peut donc participer au maximum à $12$ demi-journées avec le tarif A.
    $\quad$
    Avec le tarif B :
    $30+5x=100$ soit $5x=70$ et donc $x=14$.
    On peut donc participer au maximum à $14$ demi-journées avec le tarif B.
    $\quad$
    Pour un budget de $100$ € on peut donc participer au maximum à $14$ demi-journées.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Le triangle $ECD$ est isocèle en $D$ donc $\widehat{CDE}=\widehat{ECD}=85$°.
    Ainsi $\widehat{CDE}=180-2\times 85=10$°
    $\quad$
    b. Pour obtenir un angle intérieur de $85$° il faut faire un angle extérieur de $180-85=95$°. La position du stylo dans Scratch n’est pas, en effet, dans la “bonne direction” d’écriture.
    $\quad$
    c. Pour la même raison qu’à la question précédente on doit indiquer l’angle $180-10=170$°
    $\quad$
  2. On veut représenter $3$ pale. Il faut donc répéter $3$ fois la boucle.
    $\quad$

 

Énoncé

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