Métropole – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici :

Exercice 1

1. On peut écrire $=SOMME(B2:B7)$
   $\quad$
2. La moyenne est :
   $\begin{align*} M&=\dfrac{1250 + 2130 + 1070 + 2260 +1600 + 1740}{6} \\\\
   &= \dfrac{10050}{6} \\\\
   &= 1675
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $\dfrac{2260}{10050} \approx 22 \%$
   $22\%$ du lait provient de l’exploitation “Petit Pas”.
   $\quad$

Exercice 2

Pour Sophie :
$(4 + 8) \times 3 – 24 – 4$ $ = 12 \times 3 – 28$ $ =36 – 28 $ $=8$
Sophie a donc raison.

Pour Gabriel :
$(-3 + 8)\times 3 – 24 -(-3)$ $=5 \times 3 – 24 + 3$ $= 15 – 21$ $ = -6 $
Gabriel a tort.

Pour Martin :
$(0 + 8) \times 3 – 24 – 0$ $=24 -24 = 0$
Martin a raison.

Pour Faïza :
On appelle $x$ le nombre initial
$(x + 8) \times 3 – 24 – x$ $=3x + 24 – 24 -x$ $=2x$
Faïza a raison.

$\quad$

Exercice 3

1. Dans le triangle $DKA$ rectangle en $K$, on applique le théorème de Pythagore :
   $\begin{align*} DA^2 &=KA^2 + DK^2 \\\\
   60^2 & =KA^2 + 11^2 \\\\
   3600& = KA^2 + 121 \\\\
   KA^2 & =3479 \\\\
   KA &= \sqrt{3479} \\\\
   KA \approx 59,0 \text{ mm}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. Dans les triangles $KAD$ et $HAP$ :
   – les droites $(HP)$ et $(DK)$ sont parallèles car perpendiculaires à $(KA)$.
   – $H \in [KA]$ et $P \in [AD]$
   D’après le théorème de Thalès, on a :
   $\dfrac{AH}{AK} = \dfrac{AP}{AD} = \dfrac{HP}{KD}$
   Soit
   $\dfrac{60 – 45}{60} = \dfrac{HP}{11}$
   D’où
   $HP = \dfrac{11 \times 15}{60}= 2,75$
   $\quad$

Exercice 4

1. $f(3) = -6 \times 3 + 7 = -18 + 7 = -11$
   $\quad$
2. Il y a $6$ combinaisons possibles :
   – chemisette verte et short vert
   – chemisette bleue et short vert
   – chemisette rouge et short vert
   – chemisette verte et short bleu
   – chemisette bleue et short bleu
   – chemisette rouge et short bleu
   $\quad$
   Par conséquent la probabilité qu’il soit habillé uniquement en vert est de $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
3. $2 \times 2^{39} = 2^{39 + 1} = 2^{40}$
   Ariane a donc raison.
   $\quad$
4. $10 = 5 \times 2$ et $15 = 5 \times 3$ donc le PGCD de $10$ et $15$ est $5$.
   Loïc a donc tort.
   $\quad$
5. $5x – 2 = 3x + 7$
   Donc
   $5x – 3x = 7 + 2$
   Soit
   $2x = 9$
   Et $x = \dfrac{9}{2}$
   La solution de l’exercice est $\dfrac{9}{2}$
   $\quad$

Exercice 5

1. Aire du rectangle $AEDB$ : $A_1 = 7,5 \times 6 =45 \text{ m}^2$
   Hauteur du triangle $BCD$ : $9 – 6 = 3 \text{ m}$
   Aire du triangle $BCD$ : $A_2 = \dfrac{7,5 \times 3}{2} = 11,25 \text{ m}^2$
   $\quad$
   Aire de la façade : $A_1 + A_2 = 56,25 \text{ m}^2$.
   $\quad$
   Nombre de pots : $\dfrac{56,25}{24} \approx 2,3$.
   Il faut donc  prévoir $3$ pots de peinture.
   $\quad$
   Coût total : $3 \times 103,45 = 310,35$ euros.
   Elle doit donc prévoir au minimum $310,35$ euros pour l’achat des pots de peinture.
   $\quad$
2. A l’achat, elle paye $\dfrac{2}{5} \times 343,50 = 137,40$ euros.
   Il lui reste donc à payer : $206,10$ euros.
   Chaque mensualité suivante s’élèvera donc à $ \dfrac{206,10}{3} = 68,70$ euros.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 6

1. Distance d’arrêt : $12,5 + 10 = 22,5$ mètres.
   $\quad$
2. a. Si la distance d’arrêt est de $15$ mètres alors la vitesse est de $55$ km/h.
   $\quad$
   b. La courbe représentant la distance de freinage n’est pas une droite. Il n’y a donc pas proportionnalité.
   $\quad$
   c. Distance de réaction à $90$ km/h : $25$ mètres
   Distance de freinage à la même vitesse : $40$ mètres
   Distance d’arrêt : $25 + 40 = 65$ mètres.
   $\quad$
3. Distance de freinage sur route mouillée à $110$ km/h :
   $$d = \dfrac{110}{152,4}  \approx 79 \text{ m}$$
   $\quad$

Exercice 7

1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$
   $\tan \widehat{BCA} = \dfrac{AB}{BC} = 0,1$
   Donc $\widehat{BCA} \approx 6°$
   $\quad$
2. Si pour un déplacement horizontal de $5$ mètres, le dénivelé est de $1$ mètres alors pour un déplacement horizontal de $100$ mètres, le dénivelé est de $20 \times 1 = 20$ mètres.
   $\quad$
   Avec une pente de $15\%$ le dénivelé est de $15$ mètres pour un déplacement horizontal de $100$ mètres.
   $\quad$
   Le panneau B indique donc la plus forte pente.