Exercice 1

1. $\dfrac{27}{27+473}=0,054$
   La probabilité que le composant prélevé au hasard parmi ceux provenant de l’usine A soit défectueux est $0,054$.
   $\quad$
2. Il y a $27+38=65$ composants défectueux.
   La probabilité que le composant défectueux proviennent de l’usine A est $\dfrac{27}{65}$.
   $\quad$
3. Dans l’usine A, $5,4\%$ des composants sont défectueux.
   Dans l’usine B : $\dfrac{38}{38+462}=0,076 = 7,6\% > 7\%$.
   Le contrôle n’est donc pas satisfaisant.

Exercice 2

1. On obtient les étapes suivantes : $2 \to -4 \to 9$.
   En choisissant $2$ au départ avec le programme A on obtient bien $9$.
   $\quad$
2. Soit $x$ le nombre choisi.
   On obtient les étapes suivantes : $x\to x-7 \to 3(x-7)$.
   On veut donc résoudre l’équation $3(x-7)=9$
   Soit $x-7=3$ et donc $x=10$.
   On doit, par conséquent, choisir $10$ au départ avec le programme B pour obtenir $9$.
   $\quad$
3. Soit $x$ le nombre choisi.
   On obtient les étapes suivantes avec le programme A : $x \to -2x \to -2x+13$
   On veut donc résoudre l’équation $-2x+13=3(x-7)$
   Soit $-2x+13=3x-21$
   D’où $34=5x$
   Finalement $x=\dfrac{34}{5}=6,8$
   En prenant $6,8$ au départ des deux programmes on obtient le même résultat ($-0,6$).

Exercice 3

Figure 1

$BC=6$ et $AC=12$
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore :
$AC^2=BC^2+AB^2$
Soit $144=36+AB^2$
Donc $108=AB^2$
Et $AB=\sqrt{108} \approx 10,4$ cm

Figure 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a :
$\sin \widehat{BCA}=\dfrac{AB}{BC}$
Donc $\sin 53=\dfrac{AB}{36}$
Par conséquent $AB=36\sin 53 \approx 28,8$ cm

Figure 3

Le périmètre d’un cercle de diamètre $D$ vaut $\pi D$.
Donc $\pi AB=154$.
Par conséquent $AB=\dfrac{154}{\pi} \approx 49,0$ cm.

Exercice 4

1. $54\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=54 \times 0,7=37,8$.
   Après la réduction, l’article coûte $37,8$ €.
   $\quad$
2. a. Il a pu saisir $=B1*0,3$.
   $\quad$
   b. Il a pu saisir $=B1-B2$ ou $=B1*0,7$.
   $\quad$
   c. Soit $P$ le prix initial.
   On veut résoudre l’équation $0,7P=42$.
   Donc $P=\dfrac{42}{0,7}=60$.
   Le prix initial était de $60$ €.

Exercice 5

1. Calcul de l’aire du triangle $PAS$ : $\mathscr{A_1}=\dfrac{PA\times AS}{2}=\dfrac{30 \times 18}{2}=270$ m$^2$.
   $\dfrac{270}{140} \approx 1,9$.
   La commune doit donc acheter $2$ sacs ce qui reviendra à $2\times 13,90=27,8$ €.
   $\quad$
2. Dans les triangles $PAS$ et $PRC$ :
   • $A$ et $S$ appartiennent respectivement à $[PR]$ et $[PC]$;
   • $(AS)$ et $(RC)$ sont perpendiculaires à $(PR)$; elles sont donc parallèles.
   D’après le théorème de Thalès, on a :
   $\dfrac{PA}{PR}=\dfrac{PS}{PC}=\dfrac{AS}{RC}$
   Soit $\dfrac{30}{30+10}=\dfrac{18}{RC}$
   Donc $RC=\dfrac{40\times 18}{30}=24$
   L’aire du triangle $PRC$ est donc : $\mathscr{A}_2=\dfrac{PR \times RC}{2}=\dfrac{40 \times 24}{2}=480$ m$^2$.
   L’aire du “skatepark” est alors : $\mathscr{A}_3=480-270=210$ m$^2$.

Exercice 6

Partie 1

1. Le morceau n°1 mesure $8$ cm donc le morceau n°2 mesure $12$ cm.
   Un côté du carré mesure donc $\dfrac{8}{4}=2$ cm.
   Un côté du triangle équilatéral mesure donc $\dfrac{12}{3}=4$ cm.
   
2. L’aire du carré est donc $2^2=4$ cm$^2$.
   $\quad$
3. La base du triangle mesure $4$ cm et sa hauteur mesure environ $3,6$ cm.
   L’aire du triangle vaut environ $\dfrac{4\times 3,6}{2} = 7$ cm$^2$.
   $\quad$

Partie 2

1. On appelle $x$ la longueur du “morceau n°1”.
   Le côté du carré obtenu mesure donc $\dfrac{x}{4}$ cm.
   L’aire du carré est alors $\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}$ cm$^2$.
   $\quad$
2. a. Si la longueur du “morceau n°1” vaut environ $3$ cm alors l’aire du triangle équilatéral vaut $14$ cm$^2$.
   $\quad$
   b. On recherche l’abscisse du point d’intersection des deux courbes.
   Il semblerait que ce soit environ $9,5$ cm.

Exercice 7

Longueur intérieur du carré de base : $9-2\times 0,2 = 8,6$ cm.
Hauteur intérieure : $21,7-1,7=20$ cm.
Volume intérieur du vase : $8,6^2\times 20=1~479,2$ cm$^3$.

Volume d’une bille : $\dfrac{4\pi \times 0,9^3}{3}$ cm$^3$
Volume des $150$ billes : $\dfrac{150\times 4\pi \times 0,9^3}{3} =145,8\pi$ cm$^3$.
$1$ L = $1$ dm$^3$ $=1~000$ cm$^3$
Volume des $150$ billes et d’un litre d’eau : $1~000+145,8\pi \approx 1~458,04$ cm$^3$.

Ce volume est inférieur au volume intérieur du vase.
Il peut donc ajouter un litre d’eau colorée sans risque de débordement.

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