Exercice 1

1. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires à la droites $(AB)$.
   Par conséquent les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. Dans les triangles $EAC$ et $EBD$ :
   – le point $E$ appartient aux segments $[AB]$ et $[CD]$
   – les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès :
   $\dfrac{EC}{ED}=\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AC}{BD}$
   Donc $\dfrac{20}{5}=\dfrac{AC}{1}$
   Ainsi $AC=4$.
   La largeur de la rivière est de $20$ pas.
   $\quad$
3. Dans le triangle $ACE$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore.
   $\begin{align*} CE^2&=AC^2+AE^2 \\
   &=4^2+20^2\\
   &=16+400\\
   &=416\end{align*}$
   Donc $CE=\sqrt{416}$ pas
   Ainsi $CE = 0,65\times \sqrt{416} \approx 13,3$ m
   $\quad$
4. a. La vitesse du bâton est :
   $\begin{align*} v&=\dfrac{CE}{5} \\
   &=\dfrac{0,65\sqrt{416}}{5} \\
   &=0,13\sqrt{416} \\
   &\approx 2,65 \text{ m/s}\end{align*}$
   En prenant $CE \approx 13,3$ on obtient $v\approx \dfrac{13,3}{5}$ soit $v\approx 2,66$ m/s.
   $\quad$
   b. $1$ km $=1~000$ m et $1$ h $=3~600$ s.
   $10$ km/h $=10\times \dfrac{1~000}{3~600}$ m/s $\approx 2,78 $m/s
   L’affirmation «le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h» est donc exacte.
   $\quad$

Exercice 2

1. La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme $A$ en $A’$.
   Réponse A
   $\quad$
2. Graphiquement on a $g(1)=2$.
   Donc $1$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$.
   Réponse B
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} f(3)&=3\times 3^2-7 \\
   &=3\times 9-7 \\
   &=27-7 \\
   &=20\end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$
4. On réordonne la série dans l’ordre croissant :
   $$3,41 ~;~ 3,7 ~;~ 4,01 ~;~4,28 ~;~4,3 ~;~ 4,62~;~4,91 ~;~5,15 ~;~5,25 ~;~ 5,42 ~;~ 5,82 ~;~ 6,07 ~;~ 6,11$$
   $\dfrac{13}{2}=6,5$ : la médiane est donc la $7\ieme$ valeur soit $4,91$.
   Réponse B
   $\quad$
5. $\dfrac{6,3}{2,1}=3$. Toutes les longueurs du triangle $LAC$ ont été multipliées par $3$ pour obtenir le triangle $BUT$.
   Son aire est donc multipliée par $3^2$ soit $9$.
   Réponse C
   $\quad$

Exercice 3

1. a. $9$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 1.
   $21$ n’est pas un nombre premier : ce n’est pas la proposition 2.
   $2^2\times 3^2\times 7=252$.
   La décomposition en produit de facteurs premiers de $252$ est donc obtenue avec la proposition 3.
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*} 156&=2\times 78 \\
   &=2\times 2\times 39 \\
   &=2^2\times 3\times 13\end{align*}$
   La décomposition en produit de facteurs premiers de $156$ est $2^2\times 3\times 13$.
   $\quad$
2. a. $156$ n’est pas divisible par $36$ car $\dfrac{156}{36}\approx 4,33$.
   Elle ne peut donc pas faire $36$ paquets.
   $\quad$
   b. $252=2^2\times 3^2\times 7$ et $156=2^2\times 3\times 13$.
   Ainsi le plus grand diviseur commun à $252$ et $156$ est $2^2\times 3=12$.
   Elle peut donc réaliser au maximum $12$ paquets.
   $\quad$
   c. $\dfrac{252}{12}=21$ et $\dfrac{156}{12}=13$.
   Il y aura alors $21$ cartes de type « feu » et $13$ cartes de type « terre » par paquet.
   $\quad$
3. Il y a $252+156=408$ cartes dans le jeu.
   La probabilité que la carte tirée soit du type « terre » est donc égale à $\dfrac{156}{408}$ qu’on peut simplifier en $\dfrac{13}{34}$.
   $\quad$

Exercice 4

1. L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
   $\quad$
2. L’aire du rectangle est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
   &=x^2+7x-3x-21 \\
   &=x^2+4x-21\end{align*}$.
   $\quad$
3. On obtient :
   $\quad$
4. $8^2+4\times 8-21=75$.
   Le programme renvoie donc la valeur $75$.
   $\quad$
5. On veut résoudre l’équation $x^2=x^2+4x-21$ soit $4x-21=0$ ou encore $4x=21$.
   Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
   $\quad$

Exercice 5

1. En une journée il y a $24\times 60\times 60=86~400$ s.
   Il s’écoule une goutte par seconde.
   Il tombe donc $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée.
   $\quad$
2. En une semaine il tombe $86~400\times 7 =604~800$ gouttes.
   $\dfrac{604~800}{20}=30~240$.
   Le volume d’eau tombé dans la vasque en une semaine est égal à $30~240$ ml soit $30,24$ litres.
   $\quad$
3. Le volume de la vasque est :
   $\begin{align*} V&=\pi \times 20^2\times 15 \\
   &=6~000\pi \\
   &\approx 18~849,56\text{ cm}^3\\
   &\approx 18,85 \text{ l}\end{align*}$
   $\quad$
4. $30,24>18,85$ : l’eau va déborder de la vasque.
   $\quad$
5. $\dfrac{148-165}{165} \approx -0,10$.
   La consommation d’eau a baissé d’environ $10\%$ entre 2004 et 2018$.
   $\quad$

Exercice 1     20 points

Une famille se promène au bord d’une rivière.
Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$, $E$ et $D$, de même que $A$, $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)

1.  Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.
   $\quad$
   Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.
   $\quad$
3. Montrer que la longueur $CE$ vaut $13,3$ m, en arrondissant au décimètre près.
   $\quad$
4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$. Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$.
   a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.
   $\quad$
   b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

1. On considère les deux figures suivantes.
   Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?

   

   Réponse A : une translation
   Réponse B : une homothétie
   Réponse C : une symétrie axiale
   $\quad$

2. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ suivante :

   

   Quel est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$ ?
   Réponse A : $2$
   Réponse B : $1$
   Réponse C : $4$
   $\quad$

3. Soit $f$ la fonction définie par : $$f~:~x\mapsto 3x^2-7$$
   Quelle affirmation est correcte ?
   Réponse A : $29$ est l’image de $2$ par la fonction $f$
   Réponse B : $f(3)=20$
   Réponse C : $f$ est une fonction affine
   $\quad$
4. On a relevé les performances, en mètres, obtenues au
   lancer du poids par un groupe de $13$ élèves d’une classe.
   $3,41$ m ; $5,25$ m ; $5,42$ m ; $4,3$ m ; $6,11$ m ; $4,28$ m ; $5,15$ m ; $3,7$ m ; $6,07$ m ; $5,82$ m ; $4,62$ m ; $4,91$ m ; $4,01$ m
   Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?
   Réponse A : $7$
   Réponse B : $4,91$
   Réponse C : $5,15$
   $\quad$
5. On considère la configuration suivante, dans laquelle les
   triangles $LAC$ et $BUT$ sont semblables.
   

   Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $LAC$ pour obtenir l’aire du triangle $BUT$ ?
   Réponse A : $3$
   Réponse B : $6$
   Réponse C : $9$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.
Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».

1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   \text{Proposition 1}&\text{Proposition 2}&\text{Proposition 3} \\
   2^2\times 9\times 7&2\times 2\times 3\times 21&2^2\times 3^2\times 7\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$.
   $\quad$
2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est à dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.
   a. Peut-elle faire $36$ paquets ?
   $\quad$
   b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?
   $\quad$
   c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?
   $\quad$
3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.
   Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre »
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

•  un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
• un carré de côté $x$.

1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
   Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
   ~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$
   $\quad$
2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
   $\quad$
3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
   On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
   Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.

   $\quad$

4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
   $\quad$
5. Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
   Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.
On considère la situation suivante :

• Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
• Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
• En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ($1$ ml).

$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{Caractéristiques de la vasque}\\
\quad \text{Diamètre intérieur : $40$ cm}\\
\quad \text{Hauteur intérieure : $15$ cm}\\
\quad \text{Masse : $25$ kg}\\
\hline
\end{array}$

Rappels : 

$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Volume du cylindre $=\pi\times$ rayon$^2\times$ hauteur}\\
1 \text{ dm}^3=1 \text{ litre}\\
\hline
\end{array}$

1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86~400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.
   $\quad$
2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.
   $\quad$
3. Montrer que la vasque a un volume de $18,85$ litres, arrondi au centilitre près.
   $\quad$
4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.
   $\quad$
5. À la fin du XIXe siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en 2004.
   En 2018, la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.
   Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre 2004 et 2018. On arrondira ce pourcentage à l’unité.
   $\quad$

$\quad$