DNB – Métropole – Septembre 2021

Métropole – Septembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} \dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}&=\dfrac{12}{21}+\dfrac{5}{21} \\
    &=\dfrac{17}{21}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer une boule verte est
    $\begin{align*} p&=\dfrac{4}{3+2+4} \\
    &=\dfrac{4}{9}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. Réponse B
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} 117&=3\times 39 \\
    &=3\times 3 \times 13\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} \dfrac{1}{(-2)\times (-2)\times (-2)}&=\dfrac{1}{(-2)^3} \\
    &=(-2)^{-3}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. L’étendue est $125-87=38$.
    $\quad$
  2. La masse moyenne des tortues est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{113+96+125+87+117+104+101}{7} \\
    &=\dfrac{743}{7} \\
    &\approx 106\end{align*}$
    La masse moyenne des $7$ tortues est environ égale à $106$ kg.
    $\quad$
  3. On range la série statistique dans l’ordre croissant. On obtient :
    $87~;~96~;~101~;~104~;~113~;~117~;~125$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$.
    La médiane est donc la $4\ieme$  valeur soit $104$.
    $\quad$
  4. Sur les $7$ tortues il y a $2$ mâles.
    $\dfrac{2}{7}  \approx 0,29$.
    Les mâles représentent donc environ $29\%$ de cet échantillon.
    L’affirmation est par conséquent fausse.
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On obtient successivement les nombres suivants :
    $2\to 4\to 16\to 12$
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $12$ comme résultat.
    $\quad$
    b. On obtient successivement les nombres suivants :
    $-8\to -6\to 36\to -28$
    Si on choisit $-8$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $-28$ comme résultat.
    $\quad$
  2. On a saisi $=\text{B}4-\text{B}2*\text{B}2$.
    $\quad$
  3. a. Si on choisit $x$ comme nombre de départ on obtient successivement les nombres suivants :
    $x\to x+2\to (x+2)^2 \to (x+2)^2-x^2$
    Le résultat final est $(x+2)^2-x^2$
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} (x+2)^2-x^2&=x^2+2\times 2 \times x+2^2-x^2 \quad \text{(identité remarquable)} \\
    &=x^2+4x+4-x^2\\
    &=4x+4\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le résultat final est $4(x+1)$ qui est un multiple de $4$.
    Le résultat du programme est bien toujours un multiple de $4$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Sur chaque figure, le triangle est équilatéral et la quadrilatère est un carré.
    $\quad$
    b. La valeur manquante est $100$.
    $\quad$
    c. La figure A est obtenue à l’aide du programme 3.
    La figure B est obtenue à l’aide du programme 1.
    La figure C est obtenue à l’aide du programme 2.
    $\quad$
  2. a. Le périmètre du triangle est $3\times 100$.
    On appelle $x$ la longueur d’un côté du carré.
    On a donc $4x=300$ soit $x=75$.
    On doit donc choisir la valeur $75$.
    $\quad$
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $\dfrac{10}{100}\times 139,90 = 13,99$.
    La réduction est de $13,99$ €.
    $\quad$
  2. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$.
    $\begin{align*} AC^2&= BC^2+BA^2 \\
    &=2,25^2+0,8^2 \\
    &=5,7025\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{5,7025} \approx 2,388$ m
    Par conséquent $AC<2,4$ et l’étagère ne touchera pas le plafond.
    $\quad$
  3. a. On a $C’E=\dfrac{2,25}{5}=0,45$.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $C’DE$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(DE)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $D$ appartient à $[AC’]$ et $E$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’D}{C’A}=\dfrac{C’E}{C’B’}=\dfrac{DE}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{0,45}{2,25}=\dfrac{DE}{0,8}$
    Donc $DE=\dfrac{0,45\times 0,8}{2,25}=0,16$.
    $\quad$
    c. Dans les triangles $C’HI$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(HI)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $H$ appartient à $[AC’]$ et $I$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’H}{C’A}=\dfrac{C’I}{C’B’}=\dfrac{HI}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{3\times 0,45}{2,25}=\dfrac{HI}{0,8}$
    Donc $HI=\dfrac{3\times 0,45\times 0,8}{2,25}=0,48$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1     20 points

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples).
Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.
Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

  1. $\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}=\ldots$
    Réponse A : $\dfrac{9}{21}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $\dfrac{9}{28}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse C : $\dfrac{17}{21}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  2. Une urne contient $3$ boules jaunes, $2$ boules bleues et $4$ boules vertes, indiscernables au toucher.
    On tire une boule au hasard.
    Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ?
    Réponse A : $\dfrac{4}{5}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $\dfrac{4}{9}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse C : $\dfrac{5}{9}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  3. Sur quelle figure a-t-on représenté une flèche et son image par une rotation de centre $O$ et d’angle $90$° ?
    Réponse A:
    Réponse B:
    Réponse C:
    $\quad$
  4. La décomposition en produit de facteurs premiers de $117$ est :
    Réponse A : $3\times 3\times 13$
    Réponse B : $9\times 13$
    Réponse C : $3\times 7\times 7$
    $\quad$
  5. $\dfrac{1}{(-2)\times (-2)\times (-2)}=\ldots$
    Réponse A : $(-2)^{-3}$
    Réponse B : $(-2)^3$
    Réponse C : $2^{-3}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     20 points

Sur l’île de Madagascar, un scientifique mène une étude sur les tortues vertes.

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

La tortue verte a pour nom scientifique :
« Chelonia Mydas ».
La carapace mesure en moyenne $115$ cm et l’animal
pèse entre $80$ et $130$ kg.
Elle est classée comme espèce « En Danger ».

Afin de surveiller la bonne santé des tortues, elles sont régulièrement pesées.

Voici les données relevées par ce scientifique en mai 2021.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{c}\text{Lettres de}\\\text{marquage}\end{array}&~~\text{A-001}~~&~~\text{A-002}~~ &\text{A-003} &~~\text{A-004}~~ &~~\text{A-005}~~ &~~\text{A-006} ~~&~~\text{A-007}~~\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Sexe de la}\\\text{tortue}\end{array}&\text{Mâle}&\text{Femelle}&\text{Femelle }&\text{Femelle}&\text{Mâle}&\text{Femelle}&\text{Femelle}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Masse}\\\text{(en kg)}\end{array}&113& 96& 125& 87& 117& 104& 101\\
\hline
\end{array}$$

  1. . Calculer l’étendue de cette série statistique.
    $\quad$
  2. Calculer la masse moyenne de ces $7$ tortues. Arrondir le résultat à l’unité.
    $\quad$
  3. Déterminer la médiane de cette série statistique. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. Est-il vrai que les mâles représentent moins de $20 \%$ de cet échantillon ?
    $\quad$
  5. L’île de Madagascar a pour coordonnées géographiques ($20$° Sud ; $45$° Est).
    Placer une croix sur le planisphère fourni en annexe afin de marquer la position de l’île de Madagascar.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     20 points

On considère le programme de calcul ci-dessous.

  • Choisir un nombre.
  • Ajouter $2$ à ce nombre.
  • Prendre le carré du résultat précédent.
  • Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

On a utilisé la feuille de calcul ci-dessous pour appliquer ce programme de calcul au nombre $5$ ; le résultat obtenu est $24$.

 

  1. Pour les questions suivantes, faire apparaître les calculs sur la copie.
    a. Si on choisit $2$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $12$ comme résultat.
    $\quad$
    b. Si on choisit $-8$ comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?
    $\quad$
  2. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule $\text{B5}$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \phantom{123456789000000}&\phantom{123456789000000}&\phantom{123456789000000}\\
    \text{=B4}-\text{B2}*\text{B2}&\text{B2}+2&\text{=B3}*\text{B3}\\
    \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. a. Si l’on choisit $x$ comme nombre de départ, exprimer en fonction de $x$, le résultat final de ce programme de calcul.
    $\quad$
    b. Montrer que $(x+2)^2-x^2=4x+4$.
    $\quad$
  4. Si on choisit un nombre entier au départ, est-il exact que le résultat du programme est toujours un multiple de $4$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     20 points

Voici trois programmes réalisés avec l’application Scratch.

  1. Ils donnent les trois figures suivantes constituées de triangles et de quadrilatères identiques.

    a. Quelle est la nature du triangle et du quadrilatère sur chaque figure ? Aucune justification n’est attendue.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur manquante à la ligne 8 dans ces 3 programmes ?
    $\quad$
    c. Indiquer sur la copie, pour chaque figure, le numéro du programme qui permet de l’obtenir.
    $\quad$
  2. a. Maintenant nous allons modifier les programmes précédents pour construire d’autres figures pour lesquelles le périmètre du quadrilatère est égal au périmètre du triangle. Quelle valeur du pas doit-on alors choisir à la ligne 8 de chaque programme ?
    $\quad$
    b. Représenter la figure A obtenue avec cette nouvelle valeur, en prenant $1$ cm pour $25$ pas.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5     20 points

Une famille a acheté une étagère qu’elle souhaite placer le long d’un mur.

  1. L’étagère était affichée au prix de $139,90$ €. La famille a obtenu une réduction de $10 \%$.
    Quel a été le montant de cette réduction ?
    $\quad$
  2. Voici l’image de profil qu’on peut voir sur le guide de montage de l’étagère ; ce dessin n’est pas à l’échelle.L’étagère a été montée à plat sur le sol de la pièce ; elle est donc en position 1.
    On veut s’assurer qu’elle ne touchera pas le plafond au moment de la relever pour atteindre la position 2. On ne dispose d’aucun instrument de mesure.
    Avec les données du schéma précédent, vérifier que l’étagère ne touchera pas le plafond.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on supposera que le meuble a pu être disposé contre le mur.
    On installe maintenant quatre tablettes horizontales régulièrement espacées et représentées ici par les segments $[DE]$, $[FG]$, $[HI]$ et $[JK]$.

    a. Calculer la longueur $C’E$.
    $\quad$
    b. Calculer la longueur de la tablette $[DE]$.
    $\quad$
    c. Calculer la longueur de la tablette $[HI]$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{Rappels des données}\\
    B’C’ = 2,25 \text{ m}\\
    AB’ = 0,80 \text{ m}\\
    \hline
    \end{array}$$