DNB – Métropole – Septembre 2021

Métropole – Septembre 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. On a
    $\begin{align*} \dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}&=\dfrac{12}{21}+\dfrac{5}{21} \\
    &=\dfrac{17}{21}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer une boule verte est
    $\begin{align*} p&=\dfrac{4}{3+2+4} \\
    &=\dfrac{4}{9}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. Réponse B
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} 117&=3\times 39 \\
    &=3\times 3 \times 13\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} \dfrac{1}{(-2)\times (-2)\times (-2)}&=\dfrac{1}{(-2)^3} \\
    &=(-2)^{-3}\end{align*}$
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. L’étendue est $125-87=38$.
    $\quad$
  2. La masse moyenne des tortues est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{113+96+125+87+117+104+101}{7} \\
    &=\dfrac{743}{7} \\
    &\approx 106\end{align*}$
    La masse moyenne des $7$ tortues est environ égale à $106$ kg.
    $\quad$
  3. On range la série statistique dans l’ordre croissant. On obtient :
    $87~;~96~;~101~;~104~;~113~;~117~;~125$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$.
    La médiane est donc la $4\ieme$  valeur soit $104$.
    $\quad$
  4. Sur les $7$ tortues il y a $2$ mâles.
    $\dfrac{2}{7}  \approx 0,29$.
    Les mâles représentent donc environ $29\%$ de cet échantillon.
    L’affirmation est par conséquent fausse.
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On obtient successivement les nombres suivants :
    $2\to 4\to 16\to 12$
    Si on choisit $2$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $12$ comme résultat.
    $\quad$
    b. On obtient successivement les nombres suivants :
    $-8\to -6\to 36\to -28$
    Si on choisit $-8$ comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient $-28$ comme résultat.
    $\quad$
  2. On a saisi $=\text{B}4-\text{B}2*\text{B}2$.
    $\quad$
  3. a. Si on choisit $x$ comme nombre de départ on obtient successivement les nombres suivants :
    $x\to x+2\to (x+2)^2 \to (x+2)^2-x^2$
    Le résultat final est $(x+2)^2-x^2$
    $\quad$
    b. On a
    $\begin{align*} (x+2)^2-x^2&=x^2+2\times 2 \times x+2^2-x^2 \quad \text{(identité remarquable)} \\
    &=x^2+4x+4-x^2\\
    &=4x+4\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le résultat final est $4(x+1)$ qui est un multiple de $4$.
    Le résultat du programme est bien toujours un multiple de $4$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Sur chaque figure, le triangle est équilatéral et la quadrilatère est un carré.
    $\quad$
    b. La valeur manquante est $100$.
    $\quad$
    c. La figure A est obtenue à l’aide du programme 3.
    La figure B est obtenue à l’aide du programme 1.
    La figure C est obtenue à l’aide du programme 2.
    $\quad$
  2. a. Le périmètre du triangle est $3\times 100$.
    On appelle $x$ la longueur d’un côté du carré.
    On a donc $4x=300$ soit $x=75$.
    On doit donc choisir la valeur $75$.
    $\quad$
    b. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $\dfrac{10}{100}\times 139,90 = 13,99$.
    La réduction est de $13,99$ €.
    $\quad$
  2. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$.
    $\begin{align*} AC^2&= BC^2+BA^2 \\
    &=2,25^2+0,8^2 \\
    &=5,7025\end{align*}$
    Ainsi $AC=\sqrt{5,7025} \approx 2,388$ m
    Par conséquent $AC<2,4$ et l’étagère ne touchera pas le plafond.
    $\quad$
  3. a. On a $C’E=\dfrac{2,25}{5}=0,45$.
    $\quad$
    b. Dans les triangles $C’DE$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(DE)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $D$ appartient à $[AC’]$ et $E$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’D}{C’A}=\dfrac{C’E}{C’B’}=\dfrac{DE}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{0,45}{2,25}=\dfrac{DE}{0,8}$
    Donc $DE=\dfrac{0,45\times 0,8}{2,25}=0,16$.
    $\quad$
    c. Dans les triangles $C’HI$ et $C’AB’$ :
    – les droites $(HI)$ et $(AB’)$ sont parallèles;
    – $H$ appartient à $[AC’]$ et $I$ appartient à $[B’C’]$
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{C’H}{C’A}=\dfrac{C’I}{C’B’}=\dfrac{HI}{AB’}$
    Par conséquent $\dfrac{3\times 0,45}{2,25}=\dfrac{HI}{0,8}$
    Donc $HI=\dfrac{3\times 0,45\times 0,8}{2,25}=0,48$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

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