DNB – Métropole – Septembre 2023

Métropole – Septembre 2023

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $84$ est pair : il est donc divisible par $2$.
    $8+4=12$ et $12$ est divisible par $3$ : $84$ est divisible par $3$.
    $84 = 4\times 21$ : $84$ est divisible par $4$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. On doit multiplier le volume de la pyramide $SA’B’C’D’$ par $2^3=8$ pour trouver celui de la pyramide $SABCD$.
    Réponse B
    $\quad$
  3. $(-2)^2+3\times (-2)-5=4-6-5=-7$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Les multiples de $2$ compris entre $1$ et $8$ sont : $2$, $4$, $6$ et $8$.
    La probabilité d’obtenir un multiple de $2$ est donc égale à $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. $D$ est l’image de $A$ par cette homothétie.
    $O$ appartient à $[AD]$ : le rapport de l’homothétie est négatif.
    $[FD]$ est l’image de $[AC]$ par cette homothétie et $FD>AC$. Le rapport de l’homothétie est donc inférieur à $-1$.
    Réponse A
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On peut écrire :
    $\quad$

    $\quad$
  2. Le script 1 est associé à la figure C.
    Le script 2 est associé à la figure A.
    Le script 3 est associé à la figure B.
    $\quad$
  3. Il s’agit de la rotation de centre $C$ et d’angle $60$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $5,9\times 10=59$.
    Le prix total pour $10$ entrées avec le tarif A est de $59$ €.
    $\quad$
    b. $30+4,4\times 10=74$.
    Le prix total pour $10$ entrées avec le tarif B est de $74$ €.
    $\quad$
  2. On a $f(x)=5,9x$ et $g(x)=30+4,4x$.
    $\quad$
  3. a. $5,90x=4,40x+30$ donc $1,50x=30$.
    Par conséquent $x=\dfrac{30}{1,5}$ soit $x=20$.
    La solution de l’équation est $20$.
    $\quad$
    b. Les tarifs A et B donnent le même prix à payer si on achète $20$ entrées.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*}\dfrac{12~500+13~700+\ldots+11~800}{12}&=\dfrac{144~600}{12} \\
    &=12~050\end{align*}$
    Il y a, en moyenne, $12~050$ entrées chaque mois.
    $\quad$
    b. L’étendue du nombre d’entrées par mois est égale à $13~800-10~200$ soit $3~600$.
    $\quad$
  5. Le volume de la piscine est :
    $\begin{align*} V&=50\times 25\times 3 \\
    &=3~750\end{align*}$
    Il faudra évacuer $3~750$ m$^3$ d’eau pour réaliser la vidange.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Le prix à payer par le groupe avec le tarif individuel est :
    $12\times 10+8\times 8=184$ €.
    $\quad$
    b. Le prix à payer par le groupe avec le tarif groupe est :
    $12\times 8,5+8\times 7=158$ €.
    $\quad$
    c. $\dfrac{158-184}{184}\approx -0,141~3$
    Le tarif de groupe permet d’obtenir une réduction d’environ $14,13~\%$.
    $\quad$
  2. La vitesse moyenne du funiculaire est :
    $\begin{align*} v&=\dfrac{448,5}{8\times 60+45} \\
    &\approx 0,85 \text{ m/s}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a donc $\dfrac{BC}{AC}=0,25$ ainsi $\dfrac{50}{AC}=0,25$ et $AC=\dfrac{50}{0,25}$
    Par conséquent $AC=200$ m.
    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. $M$ appartient à $[AB]$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AB&=AM+MB \\
    &=2,7+2,5\\
    &=5,2\text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AB^2=BH^2+AH^2$
    Ainsi $5,2^2=2^2+AH^2$
    Par conséquent $AH^2=23,04$.
    Donc $AH=4,8$ cm.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on a :

    $\begin{align*} \sin \widehat{ACH}&=\dfrac{AH}{AC} \\
    &=\dfrac{4,8}{8,5}\end{align*}$.
    Par conséquent $\widehat{ACH}\approx 34$°.
    $\quad$

  4. Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AC^2=AH^2+HC^2$ ainsi $8,5^2=4,8^2+HC^2$.
    Par conséquent $HC^2=49,21$.
    Donc $HC\approx 7$ cm.
    $\quad$
  5. Dans les triangles $ABC$ et $AMN$ :
    – $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ;
    – $M$ appartient à $[AB]$ ;
    – $N$ appartient à $[AC]$.
    D’après le théorème de Thalès :
    $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.
    Ainsi $\dfrac{2,7}{5,2}=\dfrac{AN}{8,5}$.
    Donc $AN=\dfrac{2,7\times 8,5}{5,2}$ soit $AN\approx 4,4$ cm.
    L’élève a donc tort.
    $\quad$
  6. L’aire du  triangle $AHC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times HC}{2} \\
    &\approx \dfrac{4,8\times 7}{2} \\
    &\approx 16,8\text{ cm}^2\end{align*}$.
    $\quad$

Énoncé

 

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