DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de DNB est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. on a
    $\begin{align*} \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{2}\\
    &=\dfrac{10}{6}-\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{7}{6}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $245\times 10^{-5}=2,45\times 10^{2}\times 10^{-5}=2,45\times 10^{-3}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La moyenne est $\dfrac{3+2+4+3+7+9+7}{7}=5$
    Réponse C
    $\quad$
  4. On range les durées dans l’ordre croissant : $2;3;3;4;7;7;9$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est à dire $4$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité d’obtenir un roi est $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
    Réponse A
    $\quad$
  6. Si une ville est située sur l’équateur alors sa latitude est nulle.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $18~000\times \dfrac{22}{100}=3~960$
    On pouvait également calculer $21~960-18~000=3~960$.
    Le montant TGC est égale à $3~960$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1~440}{24~000}=0,06$.
    Le taux TGC pour la main d’œuvre est égale à $6\%$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=\text{somme(E2:E5)}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. • Choisir un nombre : $4$
    • Soustraire 5 à ce nombre : $4-5=-1$
    • Multiplier le résultat par le nombre de départ : $-1\times 4=-4$
    Alice obtiendra bien $-4$ en appliquant le programme A.
    $\quad$
  2. • Choisir un nombre : $-3$
    • Mettre ce nombre au carré : $(-3)^2 = 9$
    • Soustraire 4 au résultat : $9-4=5$
    Lucie obtiendra $5$ en appliquant le programme B.
    $\quad$
  3. • Choisir un nombre : $x$
    • Soustraire 5 à ce nombre : $x-5$
    • Multiplier le résultat par le nombre de départ : $x\times (x-5)=x^2-5x$
    Le résultat du programme A est donc $x^2-5x$.
    $\quad$
  4. • Choisir un nombre : $x$
    • Mettre ce nombre au carré : $x^2$
    • Soustraire 4 au résultat : $x^2-4$
    Le résultat du programme B est donc $x^2-4$.
    $\quad$
  5. On doit donc résoudre l’équation $x^2-5x=x^2-4$ soit $-5x=-4$.
    Par conséquent $x=\dfrac{4}{5}$.
    Tom cherche donc le nombre $\dfrac{4}{5}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
    – $C$ appartient aux segments $[AE]$ et $[BD]$ ;
    – les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{DE}$
    Soit $\dfrac{300}{CE}=\dfrac{500}{700}=\dfrac{400}{DE}$
    Ainsi $DE=\dfrac{700\times 400}{500}=560$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
    D’une part $BC^2=500^2=250~000$
    D’autre part $AB^2+AC^2=400^2+300^2=160~000+90~000=250~000$
    Donc $BC^2=AB^2+AC^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{AB}{BC}$
    Donc $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{4}{5}$. Ainsi $\widehat{BAC} \approx 37$°
    Remarque : on pouvait utiliser ici les trois formules de trigonométrie.
    $\quad$
  4. $5\times 2~880=14~400$.
    La distance totale parcourue pour effectuer les $5$ tours du parcours est $14~400$ m, soit $14,4$ km.
    $\quad$
  5. $1$h$48$min $=1,8$h
    Ainsi la vitesse moyenne de Mattéo est $V=\dfrac{14,4}{1,8}=8$ km/h.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    D’après le théorème de Pythagore on a
    $AC^2=AB^2+BC^2$
    Soit $5,25^2=5^2+BC^2$
    Donc $27,562~5=25+BC^2$
    D’où $BC^2=2,562~5$
    Par conséquent $BC=\sqrt{2,562~5} \approx 1,6$ m.
    $\quad$
  2. Si Melvin soulève la corde par le milieu alors, d’après la question précédente, le sommet de la corde se trouve à la hauteur $\sqrt{2,562~5} \approx 1,6$.
    Melvin peut donc passer sous la corde sans se baisser.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. La somme des chiffres du nombre $102$ est $3$. Donc $102$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 102&=2\times 51\\
    &=2\times 3 \times 17\end{align*}$
    La décomposition en produits de facteurs premiers de $102$ est donc $2\times 3\times 17$.
    $\quad$
  3. $102$ est donc divisible par $2\times 3=6$, $2\times 17=34$ et $3\times 17=51$ (on pouvait également choisir $102$).
    $\quad$
  4. $85$ n’est pas divisible par $34$. Les étiquettes ne peuvent donc pas avoir $34$ cm de côté.
    $\quad$
  5. $\dfrac{85}{17}=5$ et $\dfrac{102}{17}=6$.
    Il pourra donc découper $5\times 6=30$ étiquettes.

Ex 7

Exercice 7

Partie 1

  1. Le volume de la partie cylindrique, dont le rayon est $R=\dfrac{6}{2}=3$ m, est :
    $\begin{align*} V_1&=3^2\pi \times 2 \\
    &=18\pi\end{align*}$
    Ainsi $V_1=18$ m$^3$.
    $\quad$
  2. Le volume de la partie conique est :
    $\begin{align*} V_2&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 1 \\
    &=3\pi\end{align*}$
    Ainsi $V_2=3\pi$ m$^3 \approx 9$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Le volume de la case est donc :
    $\begin{align*} V&=V_1+V_2 \\
    &=18\pi +3\pi \\
    &=21\pi \\
    &\approx 66\end{align*}$
    Le volume total de la case esr environ $66$ m$^3$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Si le diamètre est de $7$m alors, graphiquement, le volume de la case est environ égal à $90$ m$^3$.
    $\quad$

    $\quad$
  2. $V$ est une fonction linéaire.
    $\quad$
  3. $V$ est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    $V(10)=125$. La droite passe donc également par le point de coordonnées $(10;125)$.
    $\quad$
  4. $V(6)=12,5\times 6 =75>66$
    Nolan devrait donc choisir la maison en forme de prisme.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. On peut utiliser le programme suivant :

    $\quad$
  2. Avec le script proposé on obtient la figure $2$.
    On tourne de $90$°, on ne peut donc pas obtenir de triangles.
    On répète $12$ fois le schéma. On ne peut donc pas obtenir la figure $1$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM)    18 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une
seule des trois réponses proposées est exacte.
Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

  1. $\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}$ est égal à :
    Réponse A : $\dfrac{2}{3}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $2$
    Réponse C : $\dfrac{7}{6}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  2. L’écriture scientifique de $245\times 10^{-5}$ est :
    Réponse A : $245\times 5$
    Réponse B : $2,45\times 10^{-3}$
    Réponse C : $2,45\times 10^{-7}$
    $\quad$

On donne les durées en minutes entre les différents arrêts d’une ligne de bus : $$3~;~2~;~4~;~3~;~7~;~9~;~7$$

  1. La durée moyenne est :
    Réponse A : $3$ min
    Réponse B : $4$ min
    Réponse C : $5$ min
    $\quad$
  2. La durée médiane est :
    Réponse A : $3$ min
    Réponse B : $4$ min
    Réponse C : $5$ min
    $\quad$
  3. Un jeu de $32$ cartes comporte $4$ rois.
    On tire au hasard une carte du jeu. Quelle est la probabilité d’obtenir un roi?
    Réponse A : $\dfrac{1}{8}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse B : $\dfrac{1}{32}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    Réponse C : $\dfrac{3}{32}\phantom{\dfrac{1^1}{1^1}}$
    $\quad$
  4. Une ville située sur l’équateur peut avoir pour coordonnées :
    Réponse A : $(45$° N ; $45$° E$)$
    Réponse B : $(78$° N ; $0$° E$)$
    Réponse C : $(0$° N ; $78$° O$)$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (La facture)   8 points

Un prix TTC (Toutes Taxes Comprises) s’obtient en ajoutant la taxe appelée TGC (Taxe Générale sur la Consommation) au prix HT (Hors Taxes).
En Nouvelle-Calédonie, il existe quatre taux de TGC selon les cas : $22\%$, $11\%$, $6\%$ et $3\%$.

Alexis vient de faire réparer sa voiture chez un carrossier.
Voici un extrait de sa facture qui a été tâchée par de la peinture.
Les colonnes $\text{B}$, $\text{D}$ et $\text{E}$ désignent des prix en francs.

  1. Quel est le Montant TGC pour le pare choc ?
    $\quad$
  2. Quel est le pourcentage de la TGC qui s’applique à la main d’œuvre ?
    $\quad$
  3. La facture a été faite à l’aide d’un tableur.
    Quelle formule a été saisie dans la cellule $\text{E6}$ pour obtenir le total à payer ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (Programmes de calcul)   11 points

On donne les deux programmes de calcul suivants :

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Programme A}&\textbf{Programme B}\\
\begin{array}{l} \bullet~~ \text{Choisir un nombre} \\\bullet~~ \text{Soustraire }5 \text{ à ce nombre}\\
\bullet~~ \text{Multiplier le résultat par le nombre de départ}\end{array}&
\begin{array}{l} \bullet~~ \text{Choisir un nombre} \\\bullet~~ \text{Mettre ce nombre au carré}\\
\bullet~~ \text{Soustraire }4 \text{ au résultat}\end{array}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Alice choisit le nombre $4$ et applique le programme A.
    Montrer qu’elle obtiendra $-4$.
    $\quad$
  2. Lucie choisit le nombre $-3$ et applique le programme B.
    Quel résultat va-t-elle obtenir ?
    $\quad$

Tom souhaite trouver un nombre pour lequel des deux programmes de calculs donneront le même résultat. Il choisit $x$ comme nombre de départ pour les deux programmes.

  1. Montrer que le résultat du programme A peut s’écrire $x^2-5x$.
    $\quad$
  2. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme B.
    $\quad$
  3. Quel est le nombre que Tom cherche ?
    $\quad$

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (La régate)   16 points

Dans la figure suivante, on donne les distances en mètres :
$AB = 400$, $AC = 300$, $BC = 500$ et $CD = 700$.

Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$
Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles

  1. Calculer la longueur $DE$.
    $\quad$
  2. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
    $\quad$
  3. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$. Arrondir au degré.
    $\quad$

Lors d’une course les concurrents doivent effectuer plusieurs tours du parcours représenté ci-dessus. Ils partent du point $A$, puis passent par les points $B$, $C$, $D$ et $E$ dans cet ordre puis de nouveau par le point $C$ pour ensuite revenir au point $A$.

Mattéo, le vainqueur, a mis $1$ h $48$ min pour effectuer les $5$ tours du parcours.
La distance parcourue pour faire un tour est $2~880$ m.

  1. Calculer la distance totale parcourue pour effectuer les $5$ tours du parcours.
    $\quad$
  2. Calculer la vitesse moyenne de Mattéo. Arrondir à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (La corde)   7 points

Le triangle $ABC$ rectangle en $B$ ci-dessous est tel que $AB$ = $5$ m et $AC$ = $5,25$ m.

  1. Calculer, en m, la longueur $BC$.
    Arrondir au dixième.

Une corde non élastique de $10,5$ m de long est fixée au sol par ses deux extrémités entre deux poteaux distants de $10$ m.

 

  1. Melvin qui mesure $1,55$ m pourrait-il passer sous cette corde sans se baisser en la soulevant par le milieu ?
    $\quad$

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.

$\quad$

$\quad$

Exercice 6 (Les étiquettes)   14 points

  1. Justifier que le nombre 102 est divisible par $3$.
    $\quad$
  2. On donne la décomposition en produits de facteurs premiers de $85$ : $85 = 5 \times 17$.
    Décomposer $102$ en produits de facteurs premiers.
    $\quad$
  3. Donner $3$ diviseurs non premiers du nombre $102$.
    $\quad$

Un libraire dispose d’une feuille cartonnée de $85$ cm x $102$ cm.
Il souhaite découper dans celle-ci, en utilisant toute la feuille, des étiquettes carrées.
Les côtés de ces étiquettes ont tous la même mesure.

  1. Les étiquettes peuvent-elles avoir $34$ cm de côté ? Justifier.
    $\quad$
  2. Le libraire découpe des étiquettes de $17$ cm de côté.
    Combien d’étiquettes pourra-t-il découper dans ce cas ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 7 (L’habitation)   15 points

Nolan souhaite construire une habitation.
Il hésite entre une case et une maison en forme de prisme droit.
La case est représentée par un cylindre droit d’axe $(OO’)$ surmontée d’un cône de révolution de sommet $S$.

Les dimensions sont données sur les figures suivantes.
$x$ représente à la fois le diamètre de la case et la longueur $\boldsymbol{[AB]}$ du prisme droit.

Partie 1 :
Dans cette partie, on considère que $x = 6$ m.

  1. Montrer que le volume exact de la partie cylindrique de la case est $18\pi$ m$^3$.
    $\quad$
  2. Calculer le volume de la partie conique. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  3. En déduire que le volume total de la case est environ $66$ m$^3$.
    $\quad$

Partie 2 :
Dans cette partie, le diamètre est exprimé en mètres, le volume en m$^3$.
Sur l’annexe, on a représenté la fonction qui donne le volume total de la case en fonction de son diamètre $x$.

  1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du volume d’une case de $7$ m
    de diamètre.
    Tracer des pointillés permettant la lecture.
    $\quad$

La fonction qui donne le volume de la maison en forme de prisme droit est définie par $$V(x) = 12,5 x$$

  1. Calculer l’image de $8$ par la fonction $V$.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la fonction $V$ ?
    $\quad$
  3. Sur l’annexe, tracer la représentation graphique de la fonction $V$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Exercice 8 (Scratch)   11 points

Le script suivant permet de tracer un carré de côté $50$ unités.

  1. Sur l’annexe, compléter le script pour obtenir un triangle équilatéral de coté $80$ unités.
    $\quad$

On a lancé le script suivant :

  1. Entourer sur l’annexe, la figure obtenue avec ce script.
    $\quad$

Annexe

Question 1 :

Question 2 :

$\quad$

$\quad$