DNB – Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

Nouvelle Calédonie – Décembre 2020

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de DNB est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. on a
    $\begin{align*} \dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{2}\\
    &=\dfrac{10}{6}-\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{7}{6}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $245\times 10^{-5}=2,45\times 10^{2}\times 10^{-5}=2,45\times 10^{-3}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. La moyenne est $\dfrac{3+2+4+3+7+9+7}{7}=5$
    Réponse C
    $\quad$
  4. On range les durées dans l’ordre croissant : $2;3;3;4;7;7;9$
    $\dfrac{7}{2}=3,5$ : la médiane est donc la $4\ieme$ valeur, c’est à dire $4$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité d’obtenir un roi est $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
    Réponse A
    $\quad$
  6. Si une ville est située sur l’équateur alors sa latitude est nulle.
    Réponse C
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $18~000\times \dfrac{22}{100}=3~960$
    On pouvait également calculer $21~960-18~000=3~960$.
    Le montant TGC est égale à $3~960$.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1~440}{24~000}=0,06$.
    Le taux TGC pour la main d’œuvre est égale à $6\%$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=\text{somme(E2:E5)}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. • Choisir un nombre : $4$
    • Soustraire 5 à ce nombre : $4-5=-1$
    • Multiplier le résultat par le nombre de départ : $-1\times 4=-4$
    Alice obtiendra bien $-4$ en appliquant le programme A.
    $\quad$
  2. • Choisir un nombre : $-3$
    • Mettre ce nombre au carré : $(-3)^2 = 9$
    • Soustraire 4 au résultat : $9-4=5$
    Lucie obtiendra $5$ en appliquant le programme B.
    $\quad$
  3. • Choisir un nombre : $x$
    • Soustraire 5 à ce nombre : $x-5$
    • Multiplier le résultat par le nombre de départ : $x\times (x-5)=x^2-5x$
    Le résultat du programme A est donc $x^2-5x$.
    $\quad$
  4. • Choisir un nombre : $x$
    • Mettre ce nombre au carré : $x^2$
    • Soustraire 4 au résultat : $x^2-4$
    Le résultat du programme B est donc $x^2-4$.
    $\quad$
  5. On doit donc résoudre l’équation $x^2-5x=x^2-4$ soit $-5x=-4$.
    Par conséquent $x=\dfrac{4}{5}$.
    Tom cherche donc le nombre $\dfrac{4}{5}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
    – $C$ appartient aux segments $[AE]$ et $[BD]$ ;
    – les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{DE}$
    Soit $\dfrac{300}{CE}=\dfrac{500}{700}=\dfrac{400}{DE}$
    Ainsi $DE=\dfrac{700\times 400}{500}=560$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[BC]$.
    D’une part $BC^2=500^2=250~000$
    D’autre part $AB^2+AC^2=400^2+300^2=160~000+90~000=250~000$
    Donc $BC^2=AB^2+AC^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ on a $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{AB}{BC}$
    Donc $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{4}{5}$. Ainsi $\widehat{BAC} \approx 37$°
    Remarque : on pouvait utiliser ici les trois formules de trigonométrie.
    $\quad$
  4. $5\times 2~880=14~400$.
    La distance totale parcourue pour effectuer les $5$ tours du parcours est $14~400$ m, soit $14,4$ km.
    $\quad$
  5. $1$h$48$min $=1,8$h
    Ainsi la vitesse moyenne de Mattéo est $V=\dfrac{14,4}{1,8}=8$ km/h.
    $\quad$

Ex 5

Exercice 5

  1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    D’après le théorème de Pythagore on a
    $AC^2=AB^2+BC^2$
    Soit $5,25^2=5^2+BC^2$
    Donc $27,562~5=25+BC^2$
    D’où $BC^2=2,562~5$
    Par conséquent $BC=\sqrt{2,562~5} \approx 1,6$ m.
    $\quad$
  2. Si Melvin soulève la corde par le milieu alors, d’après la question précédente, le sommet de la corde se trouve à la hauteur $\sqrt{2,562~5} \approx 1,6$.
    Melvin peut donc passer sous la corde sans se baisser.
    $\quad$

Ex 6

Exercice 6

  1. La somme des chiffres du nombre $102$ est $3$. Donc $102$ est divisible par $3$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} 102&=2\times 51\\
    &=2\times 3 \times 17\end{align*}$
    La décomposition en produits de facteurs premiers de $102$ est donc $2\times 3\times 17$.
    $\quad$
  3. $102$ est donc divisible par $2\times 3=6$, $2\times 17=34$ et $3\times 17=51$ (on pouvait également choisir $102$).
    $\quad$
  4. $85$ n’est pas divisible par $34$. Les étiquettes ne peuvent donc pas avoir $34$ cm de côté.
    $\quad$
  5. $\dfrac{85}{17}=5$ et $\dfrac{102}{17}=6$.
    Il pourra donc découper $5\times 6=30$ étiquettes.

Ex 7

Exercice 7

Partie 1

  1. Le volume de la partie cylindrique, dont le rayon est $R=\dfrac{6}{2}=3$ m, est :
    $\begin{align*} V_1&=3^2\pi \times 2 \\
    &=18\pi\end{align*}$
    Ainsi $V_1=18$ m$^3$.
    $\quad$
  2. Le volume de la partie conique est :
    $\begin{align*} V_2&=\dfrac{1}{3}\times \pi \times 3^2\times 1 \\
    &=3\pi\end{align*}$
    Ainsi $V_2=3\pi$ m$^3 \approx 9$ m$^3$.
    $\quad$
  3. Le volume de la case est donc :
    $\begin{align*} V&=V_1+V_2 \\
    &=18\pi +3\pi \\
    &=21\pi \\
    &\approx 66\end{align*}$
    Le volume total de la case esr environ $66$ m$^3$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Si le diamètre est de $7$m alors, graphiquement, le volume de la case est environ égal à $90$ m$^3$.
    $\quad$

    $\quad$
  2. $V$ est une fonction linéaire.
    $\quad$
  3. $V$ est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    $V(10)=125$. La droite passe donc également par le point de coordonnées $(10;125)$.
    $\quad$
  4. $V(6)=12,5\times 6 =75>66$
    Nolan devrait donc choisir la maison en forme de prisme.
    $\quad$

Ex 8

Exercice 8

  1. On peut utiliser le programme suivant :

    $\quad$
  2. Avec le script proposé on obtient la figure $2$.
    On tourne de $90$°, on ne peut donc pas obtenir de triangles.
    On répète $12$ fois le schéma. On ne peut donc pas obtenir la figure $1$.
    $\quad$

Énoncé

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