Nouvelle Calédonie – Mars 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1 : QCM

1. $(x-3)(3x+2)=0$ est une équation produit.
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $x-3=0$ ou $3x+2=0$
   Soit $x=3$ ou $3x=-2$
   d’où $x=3$ ou $x=-\dfrac{2}{3}$
   Réponse B
   $\quad$
2. Un trimestre correspond à $3$ mois.
   La plante mesurera donc $56\times\left(1+\dfrac{15}{100}\right) = 56\times 1,15 = 64,4$ cm
   Réponse A
   $\quad$
3. $f(1)=-3$
   Réponse C
   $\quad$
4. Pour calculer le PGCD on utilise l’algorithme d’Euclide :
   $189 = 1\times 108 + 81$
   $108= 1\times 81 + 27$
   $81 = 3 \times 27  +0$
   Le PGCD est le dernier reste non nul. C’est donc $27$.
   Réponse C
   $\quad$
5. $\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=\sqrt{9} \times \sqrt{5}=3\sqrt{5}$
   Réponse B
   $\quad$

Exercice 2 : Le cercle

1. $\quad$
   
2. voir figure.
   $\quad$
3. Le point $D$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Par conséquent le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
   $\quad$
4. La somme des angles d’un triangle vaut $180°$.
   Par conséquent $\widehat{BAD}=180-90-37 = 53°$
   $\quad$

Exercice 3 : La kermesse

1. Les $6$ secteurs sont superposables. Donc la probabilité qu’elle gagne un ballon et de $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
2. Les sucreries concernent $3$ secteurs.
   La probabilité de gagner un des sucreries est donc de $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
3. La probabilité de gagner du chocolat puis une petite voiture est $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.
   $\quad$

Exercice 4 : La course

1. On appelle $V$ le nombre de vélos et $T$ le nombre de tricycles.
   On obtient donc le système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases} V+T=64\\2V+3T=151\end{cases} &\ssi \begin{cases} V=64-T\\2(64-T)+3T=151\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} V=64-T\\128-2T+3T=151\end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} T=151-128\\V=64-T \end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} T=23\\V=41\end{cases}
   \end{align*}$
   $41$ vélos et $23$ tricycles sont engagés dans cette course.
   $\quad$
2. $41\times 500+23\times 400=29~700$.
   L’association recevra donc $29~700$ F.
   $\quad$

Exercice 5 : La pêche aux crabes

1. La moyenne est donnée par $\dfrac{29+9+10+\ldots+12}{15} = 14,4$.
   $\quad$
2. On réordonne la série :$$8-8-9-10-10-10-12-13-16-16-18-18-22-23-23$$
   $\dfrac{15}{2}=7,5$.
   La médiane est donc la $8^{\text{ème}}$ valeur soit $13$.
   $\quad$
3. $8$ crabes mesurent moins de $14$ cm.
   La proportion est donc de $\dfrac{8}{15}$.
   $\quad$

Exercice 6 : La géode

1. Le rayon de la sphère est de $13$ m. Le volume de la salle est donc :
   $V_{salle} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times \pi \times 13^3 \approx 4~601$ m$^3$.
   $\quad$
2. a. On va raisonner sur cette figure.
   
   Le triangle $ABC$ est équilatéral. Donc le pied de la hauteur $D$ est le milieu du segment $[AB]$.
   Par conséquent $AD=60$.
   Dans le triangle $ADC$ rectangle en $D$, on applique le théorème de Pythagore.
   $AC^2=AD^2+DC^2$
   Soit $120^2=60^2+DC^2$
   Par conséquent $14~400=3~600+DC^2$
   D’où $10~800=DC^2$
   Donc $DC=\sqrt{10~800} \approx 104$ cm.
   $\quad$
   b. L’aire du triangle est donc $A=\dfrac{AB\times DC}{2}=\dfrac{120 \times 104}{2}=6~240$ cm$^2$.
   $\quad$
3. L’aire totale de ces triangles est :
   $A_{\text{totale}} = 6~433 \times 6~240 = 40~141~920$ cm$^2$ $\approx 4~014$ m$^2$.
   $\quad$

Exercice 7 : Le club de sport

1. Elle a saisi la formule $=5000+A4*7900$.
   $\quad$
2. On appelle $N$ le nombre de mois durant lesquels Mathilde est abonnée.
   On cherche donc à résoudre $5~000+7~900N\le 90~000$
   Soit $7~900N\le85~000$
   Donc $N\le \dfrac{85~000}{7~900}$
   Or $\dfrac{85~000}{7~900} \approx 10,8$.
   C’est donc à partir du $11^{\text{ème}}$ mois que le tarif B devient plus intéressant que le tarif A.
   $\quad$
3. Le tarif A est toujours le même.
   Donc la droite $g$ correspond au tarif B.
   $\quad$

Exercice 8 : Le faré

1. Dans le triangle $ACH$, le plus grand côté est $[CH]$.
   D’une part $AC^2 = 3,6^2 = 12,96$
   D’autre part
   $\begin{align*} AH^2+CH^2&=2,88^2+2,16^2\\
   &=8,2944+4,6656\\
   &=12,96
   \end{align*}$
   Donc $AC^2=AH^2+CH^2$.
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ACH$ est rectangle en $H$.
   $\quad$
2. a. Dans les triangles $ABC$ et $DEC$ :
   – $D$ appartient à $[AC]$;
   – $E$ appartient à $[BC]$;
   – Les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès, on a donc :
   $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{DE}{AB}$
   Les segments $[CD]$,$[DG]$ et $[AG]$ sont tous de même longueur.
   Par conséquent $\dfrac{1}{3}=\dfrac{DE}{4,08}$
   Donc $DE=\dfrac{4,08}{3}=1,36$ m.
   $\quad$
   b. La longueur totale des traverses est :
   $L=4(AB+GF+DE)=4\times(4,08+2,72+1,36)=32,64$.
   Il faut donc $32,64$ m de traverses pour refaire la toiture.
   $\quad$