DNB – Polynésie – Juin 2015

Polynésie – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. Deux jetons sur huit portent le numéro 18. La probabilité qu’elle tire un jeton “18” est donc de $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
    b. Trois jetons sont des multiples de 5.
    La probabilité de tirer l’un d’entre eux est donc de $\dfrac{3}{8}$.
    $\quad$
  2. Parmi les sept jetons restant, il reste toujours trois multiples de 5.
    La probabilité qu’il tire l’un d’entre eux est donc de $\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{3}{8}$.
    $\quad$

Exercice 2

  1. a. A $100$ mètres de la tondeuse le niveau de bruit est d’environ $50$ décibels.
    $\quad$
    b. Si le niveau de bruit est égal à $60$ décibels, on se trouve à $30$ mètres de la tondeuse.
    $\quad$
  2. A $5$ mètres de la machine A, le niveau de bruit est de $85$ décibels.
    Pour la machine B, cela correspond au niveau de bruit à $10$ mètres.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3

  1. $\quad$
    DNB - polynésie - ex3
    $\quad$
  2. Dans le triangle $HKJ$, le plus grand côté est $[JK]$.
    D’une part $JK^2 = 4^2 = 16$
    D’autre part, $HK^2+HJ^2 = 2,4^2 + 3,2^2 = 5,76+10,24 = 16$
    Ainsi $JK^2 = HK^2 + HJ^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $HKJ$ est rectangle en $H$.
    Puisque les points $I$, $H$ et $K$ sont alignés, les droites $(IK)$ et $(JH)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $IJH$ rectangle en $H$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align*} IJ^2&= IH^2 + JH^2 \\\\
    46,24 &= IH^2 + 10,24 \\\\
    36&= IH^2 \\\\
    IH&= 6 \text{ cm}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Dans le triangle $HJK$ rectangle en $H$ on a :
    $\sin \widehat{HJK} = \dfrac{2,4}{4} = 0,6$
    Donc $\widehat{HJK} \approx 37°$.
    $\quad$
  5. Voir figure
    $\quad$
  6. Dans les triangles $IJH$ et $KHL$ :
    – $H\in [LJ]$ et $H \in [IK]$
    – $(JK)//(IJ)$
    D’après le théorème de Thalès on a :
    $$\dfrac{HK}{HI} = \dfrac{HL}{HJ} = \dfrac{LK}{IJ}$$
    Donc $\dfrac{2,4}{6} = \dfrac{LK}{IJ}$
    $\quad$
    Par conséquent $LK = \dfrac{2,4}{6} \times IJ = 0,4 \times IJ$

$\quad$

Exercice 4

  1. On appelle $x$ le nombre caché.
    On a ainsi $80 \times \left(1 – \dfrac{x}{100}\right) = 60$
    $\quad$
    Donc $1 – \dfrac{x}{100} = \dfrac{60}{80}$ soit $1 – \dfrac{x}{100} = 0,75$
    $\quad$
    Par conséquent $\dfrac{x}{100} = 0,25$ et $x=25$
    $\quad$
  2. $2048 = 2^{11}$
    $\quad$
  3. $(2x-1)^2 = (2x)^2 – 2 \times 2x + 1 = 4x^2 – 4x + 1$.
    Il a donc tort.
    $\quad$

Exercice 5

  1. $\dfrac{5~405,470}{13,629} \approx 396,62$.
    La voiture a donc effectué $396$ tours complets.
    $\quad$
  2. $\dfrac{5~405,470}{24} \approx 225$.
    Sa vitesse moyenne est d’environ $225$ km/h.
    $\quad$
  3. $205$ mph $=205 \times 1,609 \approx 330$ km/h
    La voiture n°37 est donc la plus rapide.
    $\quad$

Exercice 6

  1. $(7+1)^2 -9 = 8^2 – 9 = 64 – 9 = 55$
    $\quad$
  2. $(-6 + 1)^2 – 9 = (-5)^2 – 9 = 25 – 9 = 16$
    $\quad$
  3. Il a saisi $=A2+1$
    $\quad$
  4. On cherche la valeur de $x$ telle que $(x+1)^2 – 9 = 0$
    Soit $(x+1)^2 = 9$
    Par conséquent $x+1 = 3$ ou $x+1 = -3$
    D’où $x=2$ ou $x= -4$.
    Les nombres $2$ et $-4$ donne $0$ avec ce programme.
    $\quad$

Exercice 7

  1. Volume de la piscine : $V = 10 \times 4 \times 1,2 = 48 \text{ m}^3$.
    $\quad$
    $\dfrac{48}{14} \approx 3,43$ .
    Il faut donc moins de $4$ heures pour vider cette piscine.
    $\quad$
  2. Surface latérale à peindre : $S_1 =(10+4) \times 2 \times 1,2= 33,6 \text{ m}^2$
    Surface du fond : $S_2 = 10 \times 4 = 40 \text{ m}^2$
    Surface totale à peindre pour les deux couches $S = (33,6 + 40) \times 2 = 147,2 \text{ m}^2$.
    Quantité de peinture nécessaire : $\dfrac{147,2}{6} \approx 24,53$ litres.
    $\dfrac{24,53}{3} \approx 8,18$
    Il faut donc $9$ seaux de peinture.
    $\quad$
    Le coût sera donc de $9 \times 69,99 = 629,91$ euros.