DNB – Polynésie – Juin 2021

Polynésie – Juin 2021

DNB maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

 

Ex 1

Exercice 1

  1. a. Le quadrilatère $quad1$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $6$.
    $\quad$
    b. Le quadrilatère $quad2$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $1$.
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro $2$
    $\quad$
  2. Pour tout nombre $x$ on a
    $\begin{align*} (2x-3)(-5+2x)-4+6x&=-10x+4x^2+15-6x-4+6x \\
    &=4x^2-10x+11
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(x+6)(5x-2)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x+6=0$ ou $5x-2=0$
    Soit $x=-6$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
    Les solutions de l’équation sont $-6$ et $\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} 1~386&=2\times 693 \\
    &=2\times 3\times 231 \\
    &=2\times 3\times 3 \times 77 \\
    &=2\times 3^2\times 7\times 11\end{align*}$
    $\begin{align*} 1~716&=2\times 858 \\
    &=2\times 2\times 429 \\
    &=2^2 \times 3\times 143 \\
    &=2^2\times 3\times 11\times 13\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} \dfrac{1~386}{1~716}&=\dfrac{2\times 3^2\times 7\times 11}{2^2\times 3\times 11\times 13} \\
    &=\dfrac{3\times 7}{2\times 13} \\
    &=\dfrac{21}{26}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $\quad$

    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte C est :
    $\begin{align*} p_C&=\dfrac{50}{350+50} \\
    &=\dfrac{50}{400}\\\
    &=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte A est : $p_A=\dfrac{1}{10}$.
    La probabilité de tirer un jeton noir dans la boîte B est : $p_B=0,15$.
    Or $\dfrac{1}{8}=0,125$ et $\dfrac{1}{10}=0,1$
    Par conséquent $p_B>p_C>p_A$
    Maxime a donc intérêt à tenter sa chance avec la boîte B.
    $\quad$
  3. Soit $N$ le nombre de jetons contenus dans la boîte B.
    On a donc $\dfrac{18}{N}=0,15$ soit $N=\dfrac{18}{0,15}$.
    Par conséquent $N=120$.
    La boîte B contient donc $120$ jetons.
    $\quad$
  4. Soit $n$ le nombre de jetons blancs à ajouter dans la boîte C.
    On veut que $\dfrac{50+10}{350+10+n}=\dfrac{1}{8}$
    C’est-à-dire $\dfrac{60}{360+n}=\dfrac{1}{8}$
    Donc $360+n=8\times 60$
    Par conséquent $360+n=480$ et $n=120$.
    Il faut donc ajouter également $120$ jetons blancs pour que la probabilité de tirer un jeton noir reste égale à $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Dans le triangle $ABC$, le plus grand côté est $[AB]$.
    D’une part $AB^2=17^2=289$
    D’autre part $AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$
    Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$.
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} A_{ABC}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
    &=\dfrac{8\times 15}{2} \\
    &=60\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est égale à $60$ cm$^2$.
    $\quad$
  3. Dans le triangle $BAC$ rectangle en $A$ on a $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{8}{17}$.
    Par conséquent, d’après la calculatrice, $\widehat{BAC} \approx 62$°.
    $\quad$
  4. Les droites $(AD)$ et $(BE)$ dont perpendiculaires.
    Le triangle $CDE$ est donc rectangle en $C$.
    D’après le théorème de Pythagore :
    $DE^2=CE^2+CD^2$
    Par conséquent $169=144+CD^2$ soit $CD^2=25$
    Ainsi $CD=5$
    Le périmètre du triangle $CDE$ est $P=5+12+13=30$ cm.
    $\quad$
  5. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
    – $C$ appartient à $[AD]$ et $[BE]$;
    – $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$
    Or $\dfrac{4}{5}\neq \dfrac{5}{8}$
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient la figure suivante :
    $\quad$
    $\quad$
  2. La variable s’appelle “Longueur”. Elle correspond à la longueur du côté de l’hexagone régulier.
    $\quad$
  3. On obtient la figure 2.
    $\quad$
  4. On supprime la ligne $9$ et on modifie la ligne $5$ pour obtenir :
    $\quad$
    $\quad$
  5. On modifie les lignes C et D de la façon suivante :
    $\quad$

    $\quad$

 

Ex 5

Exercice 5

  1. a. Graphiquement, $200$ tours Eiffel coûtent $500$ euros chez le fournisseur A.
    $\quad$
    b. Graphiquement, en dépensant $1~300$ euros chez le fournisseur B elle a acheté $600$ tours Eiffel.
    $\quad$
  2. La représentation graphique de prix du fournisseur A en fonction du nombre de tours Eiffel est une droite passant par l’origine du repère. Les prix sont donc proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées.
    La représentation graphique de prix du fournisseur B en fonction du nombre de tours Eiffel n’est une droite. Les prix ne sont donc pas proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées.
    $\quad$
  3. a. On appelle $k$ le coefficient directeur de $f$.
    On a donc $100k=250$ soit $k=\dfrac{250}{100}$ d’où $k=2,5$.
    Par conséquent $f(x)=2,5x$.
    $\quad$
    b. Ainsi $f(1~000)=2,5\times 1~000= 2~500$
    $\quad$
    c. Graphiquement, $1~000$ tours Eiffel coûtent $1~800<2~500$ euros chez le fournisseur B.
    Nora doit donc choisir le fournisseur B.
    $\quad$
  4. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de tours Eiffel}&1&100&200&1~000&x\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Prix payé en euros avec}\\\text{le fournisseur C}\end{array}&~~152~~&~~350~~&~~550~~&~2~150~&150+2x\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le nombre de tours Eiffel achetées chez le fournisseur C avec $580$ euros.
    On a donc $150+2x=580$ soit $2x=430$ et par conséquent $x=215$.
    On peut donc acheter $215$ tours Eiffel en dépensant $580$ euros chez le fournisseur C.
    $\quad$
    c. $2,5x=150+2x$ revient à $0,5x=150$ soit $x=300$
    La solution de l’équation est $300$.
    Il faut acheter $300$ tours Eiffel pour payer le même montant avec les fournisseurs A et C.
    $\quad$

 

Énoncé

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement,
la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non
abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire. 

Exercice 1 (22 points)

Cet exercice est constitué de 5 questions indépendantes.

  1. Sur la figure ci-dessous, chacun des quadrilatères $quad1$, $quad2$ et $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par une transformation.
    $\quad$

    Recopier les trois phrases ci-dessous sur la copie et compléter, sans justifier, chacune d’elles par le numéro de l’une des transformations proposées dans le tableau qui suit :
    a. Le quadrilatère $quad1$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    b. Le quadrilatère $quad2$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $quad3$ est l’image du quadrilatère $TRAP$ par la transformation numéro …
    $\quad$
    Transformation numéro 1 : translation qui transforme le point $D$ en le point $E$.
    Transformation numéro 2 : rotation de centre $A$ et d’angle $90$° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
    Transformation numéro 3 : symétrie centrale de centre $D$.
    Transformation numéro 4 : translation qui transforme le point $E$ en le point $D$.
    Transformation numéro 5 : rotation de centre $A$ et d’angle $120$° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
    Transformation numéro 6 : symétrie axiale d’axe $(DE)$.
    $\quad$
  2. Développer et réduire l’expression suivante : $(2x-3)(-5 + 2x)-4 + 6x$
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation suivante : $(x + 6)(5x-2) = 0$.
    $\quad$
  4. a. Décomposer, sans justifier, en produits de facteurs premiers les nombres $1~386$ et $1~716$.
    $\quad$
    b. En déduire la forme irréductible de la fraction : $\dfrac{1~386}{1~716}$
    $\quad$
  5. Les coordonnées géographiques de la ville appelée Jokkmokk sont environ : $67$° Nord et $19$° Est.
    Placer approximativement la ville de Jokkmokk sur le planisphère en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (16 points)

Un professeur propose un jeu à ses élèves.
Ils doivent tirer un jeton dans une boîte de leur choix et gagnent lorsqu’ils tombent sur un jeton
noir. Le professeur leur précise que :

  • La boîte A contient $10$ jetons dont $1$ jeton noir
  • La boîte B contient $15\%$ de jetons noirs
  • La boîte C contient exactement $350$ jetons blancs et $50$ jetons noirs.

Les jetons sont indiscernables au toucher. Une fois que l’élève a choisi sa boîte, le tirage se fait au hasard.

  1. Montrer que, dans la boîte C, la probabilité de tirer un jeton noir est $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$
  2. C’est le tour de Maxime. Dans quelle boîte a-t-il intérêt à tenter sa chance ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. La boîte B contient $18$ jetons noirs. Combien y a-t-il de jetons au total dans cette boîte ?
    $\quad$
  4. On ajoute $10$ jetons noirs dans la boîte C. Déterminer le nombre de jetons blancs à ajouter dans la boîte C pour que la probabilité de tirer un jeton noir reste égale à $\dfrac{1}{8}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (21 points)

Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, le point $C$ est le point d’intersection des droites $(BE)$ et $(AD)$.

  1. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
    $\quad$
  2. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
  4. Calculer le périmètre du triangle $CDE$.
    $\quad$
  5. Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (19 points)

On donne le programme suivant :

On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie que l’on est orienté vers la droite.

  1. On prendra dans cette question 1 mm pour un pixel.
    Représenter en vraie grandeur sur votre copie la figure que trace le bloc Motif lorsque Longueur vaut $30$ pixels.
    $\quad$
  2. Ce programme utilise une variable, quel est son nom ? À quoi correspond-elle sur la figure réalisée par le bloc Motif ?
    $\quad$
  3. Laquelle de ces trois figures obtient-on lorsqu’on exécute ce programme ? Indiquer sur la copie le numéro de la bonne proposition parmi les trois suivantes. On expliquera son choix
    $\quad$
    $\quad$
  4. Modifier le programme précédent pour obtenir la figure ci-dessous. Pour cela, indiquer les numéros des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter :
    $\quad$$\quad$
  5. On souhaite modifier le bloc Motif afin qu’il permette de tracer un carré. Pour cela, indiquer les lettres des instructions à supprimer ou à modifier, et préciser les modifications à apporter.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 5 (22 points)

Nora veut ouvrir un magasin de souvenirs à Paris et proposer à la vente des tours Eiffel miniatures.
Elle contacte deux fournisseurs qui lui envoient chacun sous forme de graphiques le prix à leur payer en fonction du nombre de tours Eiffel achetées.

  1. Par lecture graphique, avec la précision qu’elle permet, et sans justification,
    a. Déterminer le prix à payer pour acheter $200$ tours Eiffel chez le fournisseur A.
    $\quad$
    b. Nora a dépensé $1~300$ euros chez le fournisseur B. Combien de tours Eiffel lui a-t-elle achetées ?
    $\quad$
  2. Ces fournisseurs proposent-ils des prix proportionnels au nombre de tours Eiffel achetées ?
    $\quad$
  3. a. Pour le fournisseur A, on admet que le prix des tours Eiffel est donné par la fonction linéaire $f$ représentée ci-dessus. On a en particulier $f(100) = 250$. Déterminer l’expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. Calculer $f(1~000)$.
    $\quad$
    c. Nora veut acheter $1~000$ tours Eiffel. Quel est le fournisseur le moins cher dans ce cas-là ?
    $\quad$
  4. Nora contacte un troisième fournisseur, le fournisseur C, qui lui demande un paiement initial de $150$ euros pour avoir accès à ses articles, en plus d’un prix unitaire de $2$ euros par tour Eiffel.
    a. Remplir le tableau des tarifs sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Avec $580$ euros, combien de tours Eiffel peut acheter Nora chez le fournisseur C ?
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation suivante : $2,5x = 150 + 2x$.
    Expliquer à quoi correspond la solution trouvée.
    $\quad$

ANNEXE

  1. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nombre de tours Eiffel}&1&100&200&1~000&x\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Prix payé en euros avec}\\\text{le fournisseur C}\end{array}&~~152~~&~~350~~&~~\phantom{550}~~&~~\phantom{550}~~&~~\phantom{550}~~\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$